04 第4讲　基本不等式 【答案】听课高考数学复习练习

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【知识聚焦】
1.(1)a>0,b>0 (2)a=b (3)a+b2
2.(1)2ab (2)2 3.(1)2p (2)p24
【对点演练】
1.±1 2 [解析] x2+1x2≥2x2×1x2=2,当且仅当x=±1时,等号成立,则x2+1x2的最小值为2.
2.3 [解析] 因为x>1,所以x-1>0,所以x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2(x-1)×1x-1+1=3,当且仅当x-1=1,即x=2时,等号成立.
3.40 9 [解析] 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m,y m,则篱笆的长度为2(x+y)m.由题知xy=100,由x+y2≥xy,可得x+y≥2xy=20,所以2(x+y)≥40,当且仅当x=y=10时,等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时,所用篱笆最短,此时所用篱笆的长度是40 m.若矩形菜园和墙平行的边长为x(00,n>0,m+n=2mn,所以2mn=m+n≥2mn,所以mn≥1,当且仅当m=n=1时等号成立,故A正确;当m=n=1时,m+n=1+1>2,故B错误;因为mn≥1,所以m2+n2≥2mn≥2,当且仅当m=n=1时等号成立,故C正确;当m=n=1时,2m+n=30,a2+b2-ab=2,且a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),可得ab+2≥2ab,解得ab≤2,又1a+1b≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),2ab≥2,所以1a+1b≥2,故A错误,B正确;对于C,由a>0,b>0,a2+b2-ab=2,且ab≤(a+b)24(当且仅当a=b时,等号成立),得(a+b)2-2=3ab≤3(a+b)24,解得(a+b)2≤8,即a+b≤22,故C正确;对于D,由a>0,b>0,a2+b2-ab=2,且ab≤a2+b22(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2-2=ab≤a2+b22,解得a2+b2≤4,故D错误.故选BC.
例2 [思路点拨] (1)由已知得x+1>1,将y=2+3x+4x+1变形为y=3(x+1)+4x+1-1,再利用基本不等式求原函数的最小值.(2)将x1-2x2变形为22·2x2(1-2x2),再利用基本不等式求解.
(1)A (2)24 [解析] (1)∵x>0,∴x+1>1,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥23(x+1)·4x+1-1=43-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=233-1时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为43-1.故选A.
(2)∵00,∴x1-2x2=22·2x21-2x2=22·2x2(1-2x2)≤22·2x2+1-2x22=24,当且仅当2x2=1-2x2,即x=12时等号成立,故x1-2x2的最大值为24.
例3 [思路点拨] (1)把a+b=2化为14[(a+1)+(b+1)]=1,根据“乘1法”,运用基本不等式即可求解.(2)把12a+12b+8a+b中的1换成ab,变形为ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b,利用基本不等式求解.
(1)C (2)4 [解析] (1)依题意,因为a+b=2,所以(a+1)+(b+1)=4,则2a+1+8b+1=14[(a+1)+(b+1)]2a+1+8b+1=142(b+1)a+1+8(a+1)b+1+10≥14×(2×4+10)=92,当且仅当a=13,b=53时,等号成立.故选C.
(2)∵a>0,b>0,∴a+b>0,又ab=1,∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4,当且仅当a=2-3,b=2+3或a=2+3,b=2-3时,等号成立.
例4 [思路点拨] (1)根据题意得出2b=1-1a,代入a4-2b,利用基本不等式求最小值即可.(2)先对已知式子变形得y=1-x22x,然后代入x2+y2中,整理后利用基本不等式即可求出结果.
(1)A (2)5-12 [解析] (1)因为正实数a,b满足2a+b=ab,所以2b+1a=1,所以2b=1-1a>0,解得a>1,所以a4-2b=a4-1-1a=a4+1a-1≥2a4·1a-1=2×12-1=0,当且仅当a=2,b=4时取等号,所以a4-2b的最小值为0.故选A.
(2)因为xy>0,所以x≠0,又x2+2xy=1,所以y=1-x22x,所以x2+y2=x2+1-x22x2=x2+1-2x2+x44x2=5x24+14x2-12≥25x24·14x2-12=5-12当且仅当5x24=14x2时取等号,所以x2+y2的最小值为5-12.
【应用演练】
1.C [解析] 由题意得x-2>0,则f(x)=x2-2x+4x-2=(x-2)2+2(x-2)+4x-2=x-2+4x-2+2≥2(x-2)×4x-2+2=6,当且仅当x-2=4x-2,即x=4时,等号成立,所以a=4.故选C.
2.A [解析] ∵x+y=1,∴x+y+1=2,∴12x+xy+1=12(x+y+1)2x+xy+1=14+y+14x+xy+1,∵x>0,y>0,∴y+14x>0,xy+1>0,∴12x+xy+1=14+y+14x+xy+1≥14+2y+14x·xy+1=54,当且仅当y+14x=xy+1,即x=23,y=13时等号成立.故选A.
3.B [解析] 由ab+2a-2=0,得a=2b+2,所以4a+b=8b+2+b=8b+2+(b+2)-2≥28b+2·(b+2)-2=42-2,当且仅当a=22,b=22-2时取等号.故选B.
4.ABD [解析] 对于A,由a2+b2≥2ab,得2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时,等号成立,结合a+b=2,可得2(a2+b2)≥2,所以a2+b2≥1,故A正确;对于B,1a+2b=22(a+b)1a+2b=223+ba+2ab,因为ba+2ab≥2ba·2ab=22,当且仅当ba=2ab,即a=2-2,b=22-2时,等号成立,所以1a+2b≥22×(3+22)=2+322,故B正确;对于C,由a>0,b>0且a+b=2,可得a-b=a-(2-a)=2a-2>-2,所以2a-b>2-2,而2-2=12212不一定成立,故C错误;对于D,由(a+b)2≤2(a+b)=22,可知a+b≤22=234,故D正确.故选ABD.
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6.1 [解析] 由1x+y=2,可得1x=2-y,则x=12-y,由y>0,x=12-y>0,可得00,所以2x+7200x≥214 400=240,当且仅当x=60时,等号成立,则S≤-240+1808=1568,即当AB=60 m,BC=30 m时,种植花卉区域的面积取得最大值,最大值是1568 m2,故选C.
(2)根据题意,设y1=k1x(x>0,k1∈R),y2=k2x(x>0,k2∈R),则4=k110,16=10k2,解得k1=40,k2=85,所以y1=40x(x>0),y2=8x5(x>0),所以y1+y2=40x+8x5≥240x·8x5=16,当且仅当40x=8x5,即x=5时等号成立,故要使两项费用之和最小,仓库到车站的距离应为5 km.