04 第32讲　平面向量的综合问题【答案】作业高考数学练习

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这是一份04 第32讲　平面向量的综合问题【答案】作业高考数学练习，共5页。试卷主要包含了B　[解析] 方法一等内容，欢迎下载使用。

2.D [解析] ∵BD=AD-AB,AC=AD+DC=AD+12AB,∴BD·AC=(AD-AB)·AD+12AB=AD2-12AB·AD-12AB2=4-4cs∠BAD-8=-6,∴cs∠BAD=12.故选D.
3.B [解析] 方法一:如图,作出向量a,b,a-b,过向量a的终点A向向量b作垂线,垂足为M,则向量OM就是a在b方向上的投影向量,因为|a|=3,|b|=23,且a⊥(a-b),所以在直角三角形OAB中,|a-b|=3,所以|OM|=332,所以OM=34b.故选B.
方法二:由a⊥(a-b),得a·(a-b)=0,即|a|2-a·b=0,所以a·b=9,所以a在b方向上的投影向量为a·b|b|×b|b|=923×b23=34b.故选B.
4.C [解析] ∵D,P,C三点共线,∴λ+12=1,∴λ=12,∵BC=AC-AB,AP=12AC+13AB,∴AP·BC=12AC2-16AB·AC-13AB2=8-1-3=4.故选C.
5.ABD [解析] 对于A,因为O为AD的中点,D为BC的中点,所以AO=OD=12(OB+OC),故A正确;对于B,OB=OA+AB=-12AD+AB=-12×12(AB+AC)+AB=34AB-14AC=34AB-12AE,故B正确;对于C,根据三角形重心的性质得OB=2EO,所以OB+OE=-OE,故C错误;对于D,根据三角形外心的性质得OD⊥BC,则OB·BC=(OD+DB)·BC=-12BC2=-8,故D正确.故选ABD.
6.-23 [解析] 由圆的性质可得∠BOC=2∠BAC=150°,OA=OB=OC=2,所以OB·OC=|OB|·|OC|cs∠BAC=2×2×cs 150°=-23.
7.C [解析] 设AB=a,AC=b,BM=λBC,则有AM=AB+λBC=AB+λ(AC-AB)=(1-λ)AB+λAC=(1-λ)a+λb,
由余弦定理得cs∠BAC=AB2+AC2-BC22AB·AC=72+92-822×7×9=1121,∵AM⊥BC,∴AM·BC=0,即[(1-λ)a+λb]·(b-a)=0,即(1-2λ)a·b-(1-λ)a2+λb2=0,
∵a·b=|a|·|b|cs∠BAC=7×9×1121=33,a2=49,b2=81,∴λ=14,又BN=12BC,∴MN=BN-BM=14BC,∴MN·BC=14BC2=16.故选C.
8.D [解析] ∵AD=AB+BD=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,BE=BA+AE=-AB+13AC,∴AD·BE=23AB+13AC·-AB+13AC=-23AB2-19AB·AC+19AC2=-23×22-19×2×2×12+19×22=-229.故选D.
9.D [解析] 因为AB|AB|+AC|AC|·BC=0,所以∠BAC的平分线与BC垂直,所以AB=AC.
因为cs∠BAC=AB·AC|AB||AC|=AB|AB|·AC|AC|=32,∠BAC∈(0°,180°),所以∠BAC=30°,所以∠ABC=12×(180°-
∠BAC)=75°,故选D.
10.ACD [解析] 对于A,由三角形重心的性质可知,GA+GB+GC=0,故A正确;对于B,AC在AB上的投影向量为|AC|cs 120°AB|AB|=4×-12×AB2=-AB,故B错误;对于C,∵G是△ABC的重心,∴GB=-13(BA+BC)=-13(BA+BA+AC)=13(2AB-AC),AG=13(AB+AC),∴GB·AG=13(2AB-AC)·13(AB+AC)=19(2AB2+AB·AC-AC2)=19×8+2×4×-12-16=-43,∴GA·GB=43,故C正确;对于D,取BC的中点D,连接PD,AD,取AD的中点M,连接PM,则PA+PD=2PM,AD=12(AB+AC),∴AD2=14(AB2+2AB·AC+AC2)=14×(4-8+16)=3,∴AP·(BP+CP)=PA·(PB+PC)=2PA·PD=2×14[(PA+PD)2-(PA-PD)2]=2PM2-12DA2=2PM2-32,当P,M重合时,PM2=0,此时AP·(BP+CP)取得最小值-32,故D正确.故选ACD.
11.-29 [解析] 在△ABC中,因为D,E分别为AC,BC的中点,AE交BD于点M,所以M为△ABC的重心,所以ME=13AE=13(AB+BE)=13AB+12BC=13AB+12AC-12AB=16(AB+AC),MD=13BD=13(AD-AB)=1312AC-AB=16(AC-2AB),因为AB·AC=|AB|·|AC|csπ3=4×6×12=12,所以ME·MD=136(AC+AB)·(AC-2AB)=136(AC2-AB·AC-2AB2)=136×(62-12-2×42)=-29.
12.23 [解析] AB|AB|表示与AB共线的单位向量,AC|AC|表示与AC共线的单位向量,∵OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,∴OP-OA=AP=λAB|AB|+AC|AC|,∴点P在∠BAC的平分线上,即AD为∠BAC的平分线.在△ABD中,∠BAD=π3,AD=|AD|=1,利用正弦定理知BD=ADsinB×sinπ3=32sinB.同理,在△ACD中,CD=ADsinC×sinπ3=32sinC.∴BC=BD+CD=32sinB+32sinC=321sinB+1sinC,其中B+C=π3,分析可知当B=C=π6时,BC取得最小值,即BCmin=32×2×1sinπ6=23.
13.20 [解析] 不妨设a=(1,0),b=(x,y),则2a-b=(2-x,-y),则|2a-b|=(2-x)2+y2=2,即(x-2)2+y2=4,(a+b)·b=(1+x,y)·(x,y)=x(x+1)+y2=x2+x+y2=x+122+y2-14.取B(2,0),C-12,0,则|BC|=52,设点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=4上,则x+122+y2表示|PC|2,所以x+122+y2的最大值为52+22=814,所以x+122+y2-14的最大值为814-14=20.
14.解:(1)如图所示,DN=CN-CD=34CA+DC=-34AC+23BC=-34AC+23(AC-AB)=-23AB-112AC,EM=BM-BE=-12AB-23BC=-12AB-23(AC-AB)=16AB-23AC.
(2)由题易知BC=2,设BD=λBC,0≤λ≤23,则BE=λ+13BC,所以AD·AE=(AB+BD)·(AB+BE)=AB2+(BD+BE)·AB+BD·BE=2+λBC+λ+13BC·AB+λλ+13BC2=2+2λ+13×2×2×cs3π4+λλ+13×4=4λ-132+89,
因为0≤λ≤23,所以AD·AE的取值范围是89,43.
15.ACD [解析] ∵|a|=1,|b|=2且a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0,即a·b=|a|2=1.对于A选项,∵a·b=1,|a|=1,|b|=2,∴|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=4+4+4=12,∴|2a+b|=23,故A选项正确;对于B选项,∵a·b=1,|a|=1,|b|=2,∴a在b上的投影向量为|a|·cs·b|b|=a·bb2·b=14b,故B选项错误;对于C选项,如图,根据题意可设a=OA=(1,0),则易得b=OB=(1,3),设c=OC,2a=OP=(2,0),∵=30°,∴=30°,即=30°,易知△OBP是边长为2的正三角形,作正三角形BPQ,则点C在以Q为圆心,2为半径的圆的优弧BP上(不含两端点B,P),或点C在以O为圆心,2为半径的圆的优弧BP上(不含两端点B,P),由图可知|OC|的最
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(进群送往届全部资料)大值为|OQ|+2=23+2,故C选项正确;对于D选项,a=(1,0),b=(1,3),设m=(x,y),∵m·a=2,∴(x,y)·(1,0)=2,即x=2,∴m=(2,y),y∈R,∴m·(m-b)=(2,y)·(1,y-3)=2+y(y-3)=y-322+54≥54,故D选项正确.故选ACD.
16.B [解析] 设a=(1,0),b=(x,y),由|a-b|=2|b|,可得(x-1)2+y2=4(x2+y2),化简可得3x2+3y2+2x-1=0,即x+132+y2=49,所以点(x,y)的轨迹是以-13,0为圆心,23为半径的圆.设c=(x0,y0),由|c-a|+|c+a|=22,可得(x0-1)2+y02+(x0+1)2+y02=22,所以点(x0,y0)的轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,22为长轴长的椭圆,其方程为x22+y2=1.设b,c的夹角为θ,则b·c=|b|·|c|cs θ,由圆与椭圆的性质可得,|b|≤23+13=1,|c|≤2,cs θ≤1,故当b与c同向且|b|=1,|c|=2时,b·c取得最大值2.故选B.