04 第32讲　平面向量的综合问题 【正文】听课高考数学练习

这是一份04 第32讲　平面向量的综合问题 【正文】听课高考数学练习，共6页。试卷主要包含了三角形 “四心”的概念与性质，向量在物理中的应用，极化恒等式，三角形面积公式的向量表示等内容，欢迎下载使用。

1.用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用 表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 ;
(2)通过 ,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
2.三角形 “四心”的概念与性质
(1)重心——三角形的三条中线的交点.
(2)垂心——三角形的三条垂线的交点.
(3)内心——三角形的三个内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心).
(4)外心——三角形的三条垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心).
(5)各心的性质:重心将中线长度分成2∶1;垂线与对应边垂直;角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心到三角形各顶点的距离相等.
3.向量在物理中的应用
(1)向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是既有大小又有方向的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法的三角形和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的合成有着密切的联系.
(2)用向量法解决物理问题的一般步骤:
①问题的转化:把物理问题转化成数学问题.
②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
③参数的获取:求出数学模型的相关解.
④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.
常用结论
1.“四心”向量形式的条件:
已知H,G,O,I是△ABC所在平面上的任意点,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边.
(1)H为垂心⇔HA·HB=HB·HC=HC·HA⇔|HA|2+|BC|2=|HB|2+|CA|2=|HC|2+|AB|2.
(2)G为重心⇔GA+GB+GC=0.
(3)O为外心⇔(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0 ⇔ |OA|=|OB|=|OC|⇔OA2=OB2=OC2.
(4)I为内心⇔aIA+bIB+cIC=0.
2.平面向量与平面几何综合的有关结论
(1)若MA,MB为非零向量,则MA·MB=0⇔MA⊥MB;MA·MB<0⇔∠AMB是钝角或两向量反向共线;MA·MB>0⇔∠AMB是锐角或两向量同向共线.
(2)λMA|MA|+MB|MB|=MP⇔MP是∠AMB的平分线.
(3)在▱ABCD中,(AB+AD)·(AB-AD)=0⇔▱ABCD是菱形;|AB+AD|=|AB-AD|⇔▱ABCD是矩形.
3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论
(1)在平面四边形ABCD中,有AC·BD=(AD2+BC2)-(AB2+CD2)2.
(2)在平面四边形ABCD中,若AC⊥BD,则有AD2+BC2=AB2+CD2.
(3)在平面四边形ABCD中,有cs=(AD2+BC2)-(AB2+CD2)2|AC||BD|.
4.极化恒等式:a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]
即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14.
5.三角形面积公式的向量表示
平面上O,A,B三点不共线,设OA=a=(x1,y1),OB=b=(x2,y2),则△OAB的面积S△OAB=12a2b2-(a·b)2=12|x1y2-x2y1|.
题组一 常识题
1.[教材改编] 在四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为 .
2.[教材改编] 某人在无风的条件下骑自行车的速度为v1,若风速为v2(|v1|>|v2|),则顺风行驶的速度的大小为 .
3.[教材改编] 已知△ABC是边长为2的正三角形,P为线段AB上一点(包含端点),则PB·PC的取值范围为 .
题组二 常错题
◆索引:不理解各心的概念致误.
4.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的 心.
5.已知点P是△ABC的内心(三个内角的平分线交点)、外心(三条边的中垂线的交点)、重心(三条中线的交点)、垂心(三个高的交点)之一,且满足2AP·BC=AC2-AB2,则点P一定是△ABC的 .
平面向量与三角形的“四心”
例1 (1)点M,N,P在△ABC所在平面内,且满足MA+MB+MC=0,|NA|=|NB|=|NC|,PA·PB=PB·PC=PC·PA,则M,N,P依次是△ABC的( )
A.重心,外心,内心B.重心,外心,垂心
C.外心,重心,内心D.外心,重心,垂心
(2)O为△ABC所在平面内一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A·OA+sin B·OB+sin C·OC=0,则点O为△ABC的( )
A.垂心B.外心
C.内心D.重心
总结反思
已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点.
(1)若动点P满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的重心;
(2)若动点P满足OP=OB+OC2+λAB|AB|csB+AC|AC|csC,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的外心.
(3)若动点P满足OP=OA+λAB|AB|csB+AC|AC|csC,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的垂心.
(4)若动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的内心.
变式题 (1)已知点O为△ABC的外心,AB=2,则AB·AO=( )
A.-1B.1
C.2D.4
(2)设O,H分别为斜三角形ABC的外心与垂心,若OH=m(OA+OB+OC)(m∈R),则m= .
平面向量基本定理与数量积综合问题
例2 (1)[2023·福州一中月考] 在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为平面ABCD内一点,且AE=xAB+1-x3AD,x∈[0,1],则DE·DC的最小值为( )
A.-2B. -43
C. -23D. -12
(2)[2023·安徽定远中学一诊] 在△ABC中,点D在边BC上,且BD=2CD,AB·AD=4AC·AD,记BD,CD的中点分别为E,F,且AE=EF,则cs∠EAF=( )
A.14B.158
C.154D.78
总结反思
有关平面向量数量积问题的解题策略
(1)直接根据数量积定义进行运算a·b=|a||b|cs θ,进而得出最值或范围.
(2)建立坐标系,引入坐标运算,即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数,进而求得最值.
(3)基底表示,即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示,进而转化为“基底向量”的数量积.
(4)通过几何意义,利用数形结合的思想求得最值或范围.
变式题 [2023·天津河北区二模] 在△ABC中,内角B,C所对的边分别为b,c,点O为△ABC的外心,若b2+c2=2b,则BC·AO的取值范围是( )
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平面向量数量积与构图
例3 [2023·重庆九龙坡区三模] 已知a,b均为单位向量,且夹角为π3,若向量c满足(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最大值为( )
A.7+32B.7-32
C.11+72D.7+32
总结反思
条件中的向量运算结果如果可构成特殊的几何图形(如直线或圆等),且所求向量问题与几何图形中的某条线段或角相关,可考虑利用几何意义处理.
变式题 [2023·北京丰台区三模] 已知a,b,c都是平面向量,且|a|=|4a-b|=1,若=π6,则|b-c|的最小值为( )
A.1B.3C.2D.3