03 第31讲　平面向量的数量积 【答案】作业高考数学练习

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2.B [解析] 因为向量AB=12,-32,BC=32,-12,所以cs=AB·BC|AB||BC|=
12×32+-32×-12122+-322×322+-122=32,又0°≤≤180°,所以=30°,所以=180°-30°=150°,即∠ABC=150°.故选B.
3.A [解析] 因为向量a在向量b上的投影向量是-32b,所以|a|cs=-32|b|,所以a·b=|a||b|cs=-32|b|·|b|=-32|b|2=-32×2=-3.故选A.
4.A [解析] 因为F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F2=(-3,7),又A(1,0),B(2,4),所以AB=(1,4),所以W=(F1+F2)·AB=-3+7×4=25.故选A.
5.3 [解析] 因为向量a,b为单位向量,a,b的夹角为π3,所以|a|=1,|b|=1,a·b=|a|·|b|csπ3=12,所以|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4×12+4=3,所以|a-2b|=3.
6.23 [解析] a+b=(1,2)+(-2,1)=(-1,3),因为(a+b)⊥c,所以(a+b)·c=(-1,3)·(2,t)=-2+3t=0,解得t=23.
7.B [解析] 因为|a-b|=3,所以a2-2a·b+b2=3,又|a|=2,|b|=1,所以a·b=1,所以cs=a·b|a||b|=12,又∈[0,π],所以=π3.故选B.
8.C [解析] 由a+b+c=0,得c=-a-b,因为(a-b)⊥c,所以(a-b)·(-a-b)=0,即|b|2-|a|2=0,所以|a|2=|b|2=1.因为a⊥b,所以a·b=0,又c=-a-b,所以|c|2=(-a-b)2=|a|2+2a·b+|b|2=2.综上,|a|2+|b|2+|c|2=1+1+2=4.故选C.
9.A [解析] 依题意得MN=AN-AM=12(AB+AC)-12(AD+AE)=12(AB+AC)-1223AB+13AC=16AB+13AC,BC=AC-AB,因为MN⊥BC,所以MN·BC=0,即16AB+13AC·(AC-AB)=0,即-16|AB|2+13|AC|2-16|AB|·|AC|cs A=0,即-16×3+13×2-16×3×2×cs A=0,解得cs A=66.故选A.
10.AD [解析] 对于A,|a|=12+32=10,故A正确;对于B,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),因为(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,所以2a-b与b不垂直,故B错误;对于C,因为cs=a·b|a||b|=(1,3)·(-2,1)1+9×4+1=152=210>0,所以a与b的夹角为锐角,故C错误;对于D,a在b上的投影向量的模为|a·b||b|=|(1,3)·(-2,1)|4+1=55,故D正确.故选AD.
11.AC [解析] 以A为坐标原点,以AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),E2,12,F(1,1),∴AB=a=(2,0),AD=b=(0,1),AE=2,12,AF=(1,1),EF=-1,12.对于A,设EF=xa+yb,则-1,12=(2x,y),∴x=-12,y=12,∴EF=-12a+12b,故A正确;对于B,∵EF·AF=-1+12=-12≠0,∴EF与AF不垂直,故B不正确;对于C,AE·AF=2+12=52,故C正确;对于D,cs=AE·AF|AE||AF|=5222+122×2=53434,故D不正确.故选AC.
12.2 [解析] 如图,延长AP,过点C作AP的延长线的垂线,交延长线于点E,则AC在AP上的投影向量为AE,设O为AC与BD的交点,则O为AC的中点,所以易知PO∥CE,因为AP=1,所以AE=2,所以AP·AC=|AP|·|AE|=2.
13.7 [解析] 因为|a|=(xe1+ye2)2=
x2|e1|2+y2|e2|2+2xye1·e2=x2+y2+xy,所以|m|=1+4+2=7,|n|=1+1-1=1,因为m·n=(e1+2e2)·(e1-e2)=|e1|2+e1·e2-2|e2|2=1+12-2=-12,所以|m+n|=(m+n)2=|m|2+|n|2+2m·n=7+1-1=7.
14.解:(1)∵a=(4,3cs α),b=(1,2tan α),且a∥b,∴8tan α-3cs α=0,∴8sin α=3cs2α=3-3sin2α,∴3sin2α+8sin α-3=0,即(3sin α-1)(sin α+3)=0,可得sin α=13.
(2)∵a⊥b,∴a·b=4+6cs αtan α=0,∴sin α=-23,
又α∈-π2,0,∴cs α=53,
∴sin 2α=2sin αcs α=-459,cs 2α=2cs2α-1=19,
∴cs2α+π3=19×12+459×32=1+41518.
15.解:(1)∵AD=λBC,∴AD∥BC,∵∠B=60°,∴∠DAB=120°,∴AD·AB=6λ×3×cs 120°=-32,∴λ=16.
(2)过点A作AO⊥BC,垂足为O,则OB=32,OC=92,AO=332.以O为坐标原点,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D1,332.设M(x,0),则N(x+1,0),-32≤x≤72,∴DM=x-1,-332,DN=x,-332,∴DM·DN=x2-x+274=x-122+132,
∴当x=12时,DM·DN取得最小值132.
16.BCD [解析] 由题意知|a|=2,|c|=1,|a-b|=|b-c|=1,设OA=a,OB=b,OC=c,不妨设C(1,0),如图.动点A在以O为圆心,2为半径的圆上,动点B在以C为圆心,1为半径的圆上,且满足|AB|=1,圆C的方程是(x-1)2+y2=1.当点B在圆C上运动时,由|AB|+|OB|≥|OA|,得|OB|≥1,当且仅当O,A,B三点共线时取等号.由图易知|OB|≤2,即1≤|b|≤2,故选项A不可能成立,选项B可能成立.设B(x,y),则b·c=(x,y)·(1,0)=x,由x2+y2=1,(x-1)2+y2=1,解得x=12,y=±32,
∴x≥12,又x≤2,∴12≤x≤2,∴b·c∈12,2,故选项C,D均可能成立.故选BCD.
17.132 5714 [解析] 在平面四边形ABCD中,∵AB=BC=2CD=2,∠ABC=60°,∴△ABC是边长为2的等边三角形,在Rt△ADC中,∵AC=2,CD=1,∠ADC=90°,
∴∠ACD=60°,∵BE=EF=FG=GC,∴E,F,G是边BC的四等分点.建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),B(-1,0),C(1,0),D32,32,E-12,0,F(0,0),G12,0,∴2AE·DC+AE·AF=2-12,-3·-12,-32+-12,-3·(0,-3)=132.设P(x,0),-1≤x≤1,∴PA·PC
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(进群送往届全部资料)=(-x,3)·(1-x,0)=x2-x=x-122-14,∴当x=12时,PA·PC取得最小值,此时P12,0,∴cs∠PDC=cs=
-1,-32·-12,-32(-1)2+-322×-122+-322=5714.