05 第33讲　复数 【正文】听课高考数学练习

这是一份05 第33讲　复数 【正文】听课高考数学练习，共7页。试卷主要包含了复数的运算，实系数一元二次方程虚根成对等内容，欢迎下载使用。

1.复数的有关概念
(1)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作 ,a叫作复数的 ,b叫作复数的 .若 ,则a+bi为实数;若 ,则a+bi为虚数;若 ,则a+bi为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di⇔ (a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔ (a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量OZ=(a,b)的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作 或 ,即|z|=|a+bi|= .一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=|z|.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点 (a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ(O为坐标原点).
3.复数的运算
(1)复数的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= .(复数的加法满足交换律、结合律)
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= .
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= .(复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律)
④除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)= (c+di≠0).
(2)复数加、减运算的几何意义
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即OZ=OZ1+OZ2,Z1Z2=OZ2-OZ1.
常用结论
1.in(n∈N)的周期性:
①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;
②i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
2.复数模的性质:
①|z|2=|z|2=z·z;②|z1·z2|=|z1|·|z2|;③z1z2=|z1||z2|(z2≠0);④|zn|=|z|n.
3.复数模的几何意义:
①|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离;
②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
4.实系数一元二次方程虚根成对:若实系数一元二次方程有虚根,则两根互为共轭复数.
5.复数z的方程在复平面内表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,a和b为半径的两圆所夹的圆环.
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
题组一 常识题
1.[教材改编] 若复数z=m2-1+(m-1)i为纯虚数,则m= .
2.[教材改编] 在复平面内,向量AB对应的复数是2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对应的复数是 .
3.[教材改编] 已知复数z满足2+3iz=1+i,则z= ,|z|= .
题组二 常错题
◆索引:将复数a+bi(a,b∈R)的虚部误认为是bi致误;将复数在复平面内对应的点的位置弄错致误;错用虚数单位i的幂的性质致误;纯虚数的概念掌握不牢致误;不理解模的几何意义致误.
4.复数21+3i的虚部为 .
5.若复数z满足z-1-i=2i,则z在复平面内对应的点在第 象限,其共轭复数在复平面内对应的点在第 象限.
6.复数z满足(z-1)·i2025=1-2i(i为虚数单位),则z的共轭复数为 .
7.已知复数z=1+ai3+i为纯虚数(其中i为虚数单位),则实数a= .
8.满足1≤|z-1+i|≤3的复数z在复平面内对应的点构成的图形的面积为 .
复数的概念
1.[2022·浙江卷] 已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则( )
A.a=1,b=-3
B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3
D.a=1,b=3
2.[2023·苏州模拟] 已知复数z与(z+2)2+8i都是纯虚数,则z的共轭复数为( )
A.2B.-2
C.2iD.-2i
3.[2023·广东惠州一模] 已知复数z满足z(1+2i)=|4-3i| (其中i为虚数单位),则复数z的虚部为( )
A.-2B.-2i
C.1D.i
4.(多选题)[2024·山西大学附中月考] 若复数z满足(-1+i)·z=1+5i(i是虚数单位),则下列说法正确的是( )
A.z的虚部为-3i
B.z的模为13
C.z的共轭复数为3-2i
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
总结反思
复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题时要注意将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),根据概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的答案.
复数的几何意义
1.[2023·北京卷] 在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,3),则z的共轭复数z=( )
A.1+3iB.1-3i
C.-1+3iD.-1-3i
2.[2023·新课标Ⅱ卷] 在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.已知复数z满足|z+1-2i|=1,则|z|的最大值为 .
4.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|= .
总结反思
(1)复数z在复平面内对应的点Z和向量OZ相互联系,即z=a+bi(a,b∈R),Z(a,b),OZ=(a,b)相互一一对应.
(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量OZ的坐标,对于复数z=a+bi(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b),复数的模即为其对应向量的模.
复数的四则运算
1.[2022·新高考全国Ⅱ卷] (2+2i)(1-2i)=( )
A.-2+4iB.-2-4i
C.6+2iD.6-2i
2.[2023·新课标Ⅰ卷] 已知z=1-i2+2i,则z-z=( )
A.-iB.i
C.0D.1
3.[2023·全国甲卷] 5(1+i3)(2+i)(2-i)=( )
A.-1B.1
C.1-iD.1+i
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(进群送往届全部资料)4.(多选题)[2024·九省联考] 已知复数z,w均不为0,则( )
A.z2=|z|2
B.zz=z2|z|2
C.z-w=z-w
D.zw=|z||w|
5.在复数范围内,2+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,则a+b= .
总结反思
(1)复数的加减法:在进行复数加减法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)计算即可.
(2)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(3)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.