03 第36讲　等比数列及其前n项和 【正文】听课高考数学练习

这是一份03 第36讲　等比数列及其前n项和 【正文】听课高考数学练习，共7页。试卷主要包含了体会等比数列与指数函数的关系等内容，欢迎下载使用。


1.等比数列中的有关公式
已知等比数列{an}的首项为a1,公比是q,前n项和为Sn,则
2.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.
(1)通项公式的推广:an= (n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an= = .
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),1an,{an2},{an·bn},anbn仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
3.等比数列与函数的关系
(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an=a1qqn,前n项和公式可以写成Sn=a1q-1qn-a1q-1(q≠1).
(2)①当a1>0,q>1或a1<0,0②当a1>0,01时,{an}是递减数列;
③当q=1时,数列{an}是常数列;
④当q<0时,数列{an}为摆动数列.
题组一 常识题
1.[教材改编] 在等比数列{an}中,已知a2=6,6a1+a3=30,则an= .
2.[教材改编] 已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,若8a2+a5=0,S5=22,则a1= ,公比q= .
3.[教材改编] 在等比数列{an}中,a1,a13是方程x2-13x+9=0的两根,则a2a12a7的值为 .
4.[教材改编] 已知三个数成等比数列,若它们的和等于13,积等于27,则这个等比数列为 .
题组二 常错题
◆索引:忽视项的符号的判断;忽视对公比的讨论;对等比数列的性质不熟导致出错.
5.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5= .
6.已知等比数列{an}的首项为-1,前n项和为Sn,若S10S5=3132,则数列{an}的公比q= .
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4,S10=12,则S15= .
等比数列的基本运算
例1 (1)[2023·全国甲卷] 设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=( )
A.158B.658
C.15D.40
(2)[2022·全国乙卷] 已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=( )
A.14B.12
C.6D.3
总结反思
解决等比数列有关问题的两种常用思想
方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
分类讨论的思想:等比数列{an}的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q.
变式题 (1)[2023·广东珠海一中模拟] 已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q=12,且a2a5=132,则a6=( )
A.164B.132
C.116D.18
(2)[2023·天津卷] 已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为( )
A.3B.18C.54D.152
(3)河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库,现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共8层,它们构成了一幅优美的图案.各层浮雕数成等比数列,第2层浮雕数为6,第5层浮雕数为48,则第7层浮雕数为( )
A.96B.128C.192D.384
等比数列的判定与证明
例2 记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+n-3(n∈N*).
(1)求证:数列{an-1}是等比数列;
(2)求证:1a1+1a2+…+1an<2.


总结反思
判定一个数列为等比数列的常见方法:
(1)定义法:若an+1an=q(q是非零常数),则数列{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若an+12=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若an=Aqn(A,q为非零常数),则数列{an}是等比数列.
变式题 [2023·山东潍坊三模] 已知数列{an}和{bn}满足a1=3,b1=2,an+1=an+2bn,bn+1=2an+bn.
(1)证明:{an+bn}和{an-bn}都是等比数列;
(2)求{anbn}的前n项和Sn.


等比数列性质的应用
角度1 等比数列项的性质
例3 (1)[2024·湖北黄冈调研] 已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=lg2an.若a2a5a8=212,则b1+b2+b3+…+b9=( )
A.24B.32
C.36D.40
(2)[2023·安徽安庆一中三模] 在等比数列{an}中,a2a3a4=4,a5a6a7=16,则a8a9a10=( )
A.4B.8
C.32D.64
总结反思
根据等比数列的通项公式和等比数列项的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有aman=apaq”,可减少运算量.
变式题 在各项都为正数的等比数列{an}中,已知0 角度2 等比数列前n项和的性质
例4 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=( )
A.120B.85
C.-85D.-120
(2)[2024·云南民族大学附属中学模拟] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4S8=14,则S16S4+S8=( )等比数列定义式
an+1an= (q≠0且q为常数)
等比中项
Ga=bG(G是a与b的等比中项)
通项公式
或
前n项和公式
当q=1时,Sn= ;当q≠1时,Sn= =
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C.16D.17
总结反思
等比数列前n项和的性质:若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(当m为偶数时,{an}的公比q≠-1).
变式题 (1)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=( )
A.7B.8
C.9D.10
(2)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足S2mSm=9,a2mam=5m+1m-1,则数列{an}的公比为( )
A.-2B.2
C.-3D.3