03 第23讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【正文】听课高考数学练习

这是一份03 第23讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【正文】听课高考数学练习，共5页。试卷主要包含了降幂公式，计算等内容，欢迎下载使用。

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β;
sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β.
(2)两角和与差的余弦公式
cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β;
cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β.
(3)两角和与差的正切公式
tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;
tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.
2.二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcs α;
(2)cs 2α=cs2α-sin2α,cs 2α=2cs2α-1,cs 2α=1-2sin2α;
(3)tan 2α=2tanα1-tan2α.
3.降幂公式
cs2α=1+cs2α2;sin2α=1-cs2α2.
常用结论
①两角和与差的正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);tan αtan β=1-tanα+tanβtan(α+β)=tanα-tanβtan(α-β)-1.
②1+sin 2α=(sin α+cs α)2.
③1-sin 2α=(sin α-cs α)2.
题组一 常识题
1.[教材改编] sin 75°= .
2.[教材改编] sin 20°cs 40°-cs 160°sin 40°= .
3.[教材改编] 若cs(α-π)=45,则sin 2α= .
4.[教材改编] 若tan θ=2,则tanθ+π4= ,tan 2θ= .
题组二 常错题
◆索引:已知角与待求角之间的关系不清致误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号致误;求三角函数值时符号选取错误.
5.若sinx-π6=45,则sin2x+π6的值为 .
6.计算:1-tan15°1+tan15°= .
7.已知sin(α-β)cs α-cs(α-β)sin α=35,β是第三象限角,则sinβ+5π4的值为 .
两角和与差的三角函数公式
例1 (1)已知sinα+π3=sinα-π6,则tan α=( )
A.3B.2+3
C.6D.6+3
(2)[2024·湖北鄂东南期中] 已知α,β均为锐角,tan α=2,sin β=13,则cs(α+β)=( )
A.210-2515B.210+2515
C.410+515D.410-515
(3)[2023·湖南长沙雅礼中学模拟] 已知tan α+tan β=3,sin(α+β)=2sin αsin β,则tan(α+β)=( )
A.4B.6
C.-32D.-6
总结反思
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,达到统一角和角与角之间互相转换的目的.
变式题 (1)已知sin α=35,α∈π2,π,tan(π-β)=12,则tan(α-β)的值为( )
A.211B.-211C.112D.-112
(2)[2023·山东淄博一模] 若sinθ+π6=13,θ∈(0,π),则cs θ= .
(3)[2023·江苏南通模拟] 已知sinα+π6=63,则sinπ6-2α= .
两角和与差的三角函数公式的逆
用与变形
例2 (1)[2023·河北衡水中学模拟] cs 198°cs 132°+cs 42°sin 18°=( )
A.-32B.-12
C.32D.1
(2)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若sin(α+β)+cs(α+β)=22csα+π4sin β,则( )
A.tan(α+β)=-1B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1D.tan(α-β)=1
(3)[2023·山东德州三模] 若α,β为锐角,且α+β=π4,则(1+tan α)(1+tan β)= .
总结反思
两角和与差的三角函数公式活用技巧:①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式;②tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.
变式题 (1)(多选题)下列式子的运算结果为3的是( )
A.tan 25°+tan 35°+3tan 25°tan 35°
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C.1+tan15°1-tan15°
D.tan30°1-tan230°
(2)已知sinx-π6=33,则sin x+sinx-π3等于( )
A.1B.-1
C.233D.3
角的变换问题
例3 (1)已知α,β∈π3,5π6,若sinα+π6=45,csβ-5π6=513,则sin(α-β)的值为( )
A.1665B.3365
C.5665D.6365
(2)[2023·江苏泰州一模] 已知sinα+π6=35,α∈π2,π,则tanα-π12= .
总结反思
三角函数求值中变角的解题思路:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 常用的拆角、配角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;π4+α=π2-π4-α等.
变式题 (1)已知sin θ+sinθ+π3=1,则sinθ+π6=( )
A.12B.33C.23D.22
(2)已知0<α<π2<β<π,tan α=43,cs(β-α)=210,则sin α= ,cs β= .