高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念课时练习

1.1集合的概念典例精选

考点1：判断元素是否构成集合

1．（多选）下列各组对象能构成集合的是（    ）

A．全体较高的学生 B．所有素数

C．2021年高考数学难题 D．所有正方形

【答案】BD

【分析】AC不满足集合的确定性，BD满足集合的确定性.

【详解】A选项中“比较高”标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，A错误；

B选项，所有素数满足确定性，能构成集合，B正确；

C选项，“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，C错误；

D选项，所有正方形满足确定性，能构成集合，D正确

故选：BD

2．下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．

①所有的好人；

②平面上到原点的距离等于2的点；

③正三角形；

④比较小的正整数；

⑤满足不等式的的取值．

【答案】②③⑤

【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案.

【详解】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确，

故答案为：②③⑤.

考点2：判断是否为同一集合

3．判断下列命题是否正确．

（1）集合与集合表示同一集合；(        )

（2）集合与集合表示同一集合；(        )

（3）集合与集合不表示同一集合；(        )

（4）集合与集合表示同一集合．(        )

【答案】     正确     错误     错误     错误

【分析】（1）根据集合元素的无序性可知两个集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合.

【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确；

（2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误；

（3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误；

（4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误；

故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.

4．下列说法正确的是（    ）

A．由1，2，3组成的集合可表示为或

B．与是同一个集合

C．集合与集合是同一个集合

D．集合与集合是同一个集合

【答案】A

【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案

【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；

是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；

集合，集合，故C错误；

集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.

故选：A.

考点3：判断元素与集合的关系

5．设集合，则下列元素属于A的是（    ）

A． B． C． D．0

【答案】C

【分析】根据集合中元素特征即可求解.

【详解】，故，所以ABD错误，C正确，

故选：C

6．集合M满足：若，则（且）已知，试求集合M中一定含有的元素.

【答案】集合M一定含有的元素有.

【分析】根据题意，则，，，而，出现循环，最后得到答案.

【详解】，，，，，

∴在M中还有元素，，.

故集合M一定含有的元素有.

考点4：根据元素与集合的关系求参数

7．若，则a的值为______.

【答案】

【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.

【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，

若，解得，此时，，符合题意，即，

而，即，

所以a的值为.

故答案为：

8．已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)的值为0或

(2)的值为

【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值．

（2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值．

【详解】（1）集合中有三个元素：，，，，

或，

解得或，

当时，，，，成立；

当时，，，，成立．

的值为0或．

（2）集合中也有三个元素：0，1，，，

当取0，1，时，都有，

集合中的元素都有互异性，，，

．

实数的值为．

考点5：利用集合元素互异性求参数

9．数集中的元素a不能取的值是__________.

【答案】0，1，2，

【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解.

【详解】由集合中的元素满足互异性可知，解得且且且

故答案为：0，1，2，

10．设集合，，已知且，则的取值集合为________.

【答案】

【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.

【详解】因为，即，

所以或，

若，则或；

若，即，则或.

由与互异，得，

故或，

又，即，所以，解得且，

综上所述，的取值集合为.

故答案为：

考点6：自然语言表示集合

11．下列字母中表示有理数集合的是（    ）

A．N B．R C．Q D．Z

【答案】C

【分析】根据常用数集的字母表示即可选出答案.

【详解】表示：自然数集，表示：全体实数集，表示：有理数集，表示整数集.

故选：C

【点睛】本题主要考查常用数集的字母表示，属于简单题.

12．下列集合的表示方法正确的是(　　)

A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}

B．不等式x－1<4的解集为{x<5}

C．{全体整数}

D．实数集可表示为R

【答案】D

【详解】A. 第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R},故A不正确；

B. 不等式x－1<4的解集为，故B不正确；

C. {全体整数}不用大括号即可，故C不正确；

D. 实数集可表示为R，正确.

故选D.

考点7：描述法表示集合

13．集合用描述法可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合中的元素特征即可求解.

【详解】中的元素满足，所以，

故选：D

14．集合表示的是__________.

【答案】第三象限内点的集合

【分析】由集合中的不等式，解出的取值范围，确定点所在的区域.

【详解】由，解得，则集合表示的是第三象限内点的集合.

故答案为：第三象限内点的集合

考点8：列举法表示集合

15．方程组的解集可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由方程组的解即可求解解集.

【详解】由得，所以方程组的解集可以表示为，

故选：C

16．若，则可用列举法将集合表示为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】根据元素与集合的关系，以及集合的表示方法，即可求解.

【详解】因为集合是点集或数对构成的集合，其中均属于集合，

所以用列举法可表示为．

故选：D.

考点9：根据两个集合相等求参数

17．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.

【答案】

【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.

【详解】解：由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，

所以，则，

所以，则，

故.

故答案为：.

18．设，集合，则___________．

【答案】2

【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．

【详解】根据题意，集合，

又，

，即，

故，，

则，

故答案为：

考点10：根据集合相等关系进行计算

19．已知集合与相等，则实数__________．

【答案】2

【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.

【详解】因为集合与相等，则，解得．

故答案为：2.

20．集合，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解.

【详解】因为集合，

所以方程有相等实根2，

根据根与系数的关系可知，，

所以，

故选：B

【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题.

考点11：根据集合中元素个数求参数

21．已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】原问题转化为方程至多只有一个根，分，即可求解.

【详解】由题意，原问题转化为方程至多只有一个根，

当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意；

当时，方程为一元二次方程，所以，解得．

综上，实数a的取值范围为．

故选：D

22．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：________．

【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可）

【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解.

【详解】依题意可得，解得，

则．

所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，

所以，解得．

故答案为：7（答案不唯一）.

考点12：利用集合元素性质求元素的个数

23．由构成的集合中，元素个数最多是______.

【答案】2

【分析】分与讨论即可求解.

【详解】当时，，此时元素个数为1；

当时，，

所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2.

所以由构成的集合中，元素个数最多是2个.

故答案为:2.

24．已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案.

【详解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.

∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素.

故选：D

考点13：列举法求集合中元素的个数

25．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】由条件用列举法表示可得结论.

【详解】因为，

所以，

故集合中元素的个数为3，

故选：D.

26．集合的元素个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．

【详解】集合，

所以集合的元素个数为9个．

故选：B．

考点14：集合元素互异性的应用

27．已知集合，且4∈M，则取值构成的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由且4∈M求出m，再利用互异性即可求解

【详解】因为集合，且，

所以或.

当时，解得：或.

而，不符合元素的互异性，故或.

故选：B

28．(多选)下列四个命题中正确的是（    ）

A．

B．

C．集合中只有一个元素

D．集合是有限集

【答案】CD

【分析】根据集合的概念以及表示，判定命题的真假.

【详解】根据的定义知，A、B均不正确；

只有一个元素，C正确；

中只有两个元素，D正确.

故选：CD.

考点15：常用数集或数集关系应用

29．下列说法正确的有（    ）

①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据元素与集合的关系判断即可.

【详解】1是自然数，故，故①正确；

不是正整数，故，故②错误；

是有理数，故，故③正确；

是实数，故，故④错误；

是无理数，故，故⑤错误.

故说法正确的有2个.

故选:B.

30．（多选）下面说法中正确的是（    ）

A．集合中最小的数是1 B．若，则

C．若，则的最小值是2 D．的解组成的集合是

【答案】AC

【分析】根据正整数集的含义即可判断A，B，C的正误，根据集合中列举法即可判断D选项的正误.

【详解】对于A，因为是正整数集，而最小的正整数是1，故A正确；

对于B，当时，，且，故B错误；

对于C，若，则的最小值是1，若，则的最小值也是1，当和都取最小值时，取得最小值2，故C正确；

对于D，由得，解得，故其解集为，而不符合集合的表示方法，故D错误.

故选：AC．

考点16：集合分类

31．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据集合中的元素分别为值域中的实数以及抛物线上的点，结合元素与集合之间的关系即可求解.

【详解】∵集合，

∵集合B是由抛物线上的点组成的集合，∴A正确，B正确，C错误，D错误，

故选：AB．

31．设是实数集的真子集，且满足下列两个条件：①；②若．则，问：

(1)若，则中一定还有哪几个数？

(2)集合中能否只有一个元素？说明理由．

【答案】(1).

(2)不能，理由见详解.

【分析】（1）按照条件②直接迭代即可得到所有元素；

（2）判断是否有实数解即可.

【详解】（1）若，则，，，

所以中一定还有.

（2）若中只有一个元素，设，则，即，

因为，所以方程无实数解，故中不可能只有一个元素.