北师大版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.11数轴中的动态问题【九大题型】学案(学生版+解析)

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专题2.11 数轴中的动态问题【九大题型】 【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12231" 【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】  PAGEREF _Toc12231 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16318" 【题型2 数轴动点中的相遇问题】  PAGEREF _Toc16318 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10231" 【题型3 数轴动点中的中点问题】  PAGEREF _Toc10231 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc15267" 【题型4 数轴动点中的相距问题】  PAGEREF _Toc15267 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc7560" 【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】  PAGEREF _Toc7560 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc23373" 【题型6 数轴动点中的定值问题】  PAGEREF _Toc23373 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc2319" 【题型7 数轴动点中的折返问题】  PAGEREF _Toc2319 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc22090" 【题型8 数轴动点中的规律问题】  PAGEREF _Toc22090 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc2049" 【题型9 数轴动点中的新定义问题】  PAGEREF _Toc2049 \h 13知识点：数轴中的动态问题主要解题步骤1)画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；2)写点——写出所有点表示的数: 一般用含有t的代数式表示, 向右运动用“+”表示, 向左运动用“-”表示；3)表示距离——右-左,若无法判定两点的左右需加绝对值；4)列式求解——根据条件列方程或代数式,求值。注意: 要注意动点是否会来回往返运动。【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】【例1】（23-24七年级·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB，则AB=a−b．回答下列问题：(1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为______；②点A表示数x，点B表示数1，如果AB=6，那么x的值为______；(2)①如果a+3+b−2=0，那么a=______，b=______；②当代数式x+1+x−2取最小值时，相应的整数x的个数为______；(3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是9，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请直接用含t的代数式表示OP．【变式1-1】（23-24七年级·湖南长沙·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：a+3+c−92=0，b=1．(1)a=______；c=______；(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式x−a+x−b+x−c取得最小值时，此时x=______，最小值为______．【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足|a+2|+(c−8)2=0，b=1，（1）a=_____________，c=_________________;（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合.（3）在（1）（2）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式|x−a|+|x−b|+|x−c|取得最小值时，此时x=____________，最小值为__________________.（4）在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t的代数式表示）【变式1-3】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足c−52+a+b=0，请回答问题(1)请直接写出a，b，c的值：a=________；b=________；c=________；(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：x+1−x−1+2x+5（请写出化简过程）  (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【题型2 数轴动点中的相遇问题】【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为12．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．  (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是　　（用含t的代数式表示）；(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？【变式2-1】（23-24七年级·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．  (1)数轴上点B表示的数是_______，点P表示的数是_______(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？【变式2-2】（23-24七年级·福建三明·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC=8.  （1）直接写出数轴上点C表示的数；（2）动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒，动点R从点C 出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇．（3）动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒，动点R从点C 出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q    ，R 三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？【变式2-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且c−10=0，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．(1)a的值为______，b−c的值为______；(2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．【题型3 数轴动点中的中点问题】【例3】（23-24七年级·全国·假期作业）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足a+2+c−72=0．(1)a=______，b=______，c=______．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当PB=2PO时，点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点）【变式3-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子a+30+b+10+c−14=0；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段MN（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段MN立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段MN再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒．(1)求a，b，c的值；(2)当t=______秒时，点P与点C重合，并求出此时线段MN上点N所表示的数；(3)记线段MN的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值．【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足a+102+b−10=0.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段OB为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.  (1)a= ，b= ，AC= ；(2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数.(3)点D为线段OB中点，当t为多少秒时，MD=ND？【变式3-3】（23-24七年级·广东广州·期中）如图：在数轴上A点表示数−3，B点表示数1，C点表示数9．  (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与______表示的点重合；(2)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC−2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【题型4 数轴动点中的相距问题】【例4】（2024七年级·全国·专题练习）如图1，已知线段AB=24，点C为线段AB上的一点，点D、E分别是AC和BC的中点．  (1)若AC=8，则DE的长为______；(2)若BC=a，求DE的长；(3)动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段AB向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？【变式4-1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足a+5+b-7=0．(1)求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离．(2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？(3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？【变式4-2】（23-24七年级·吉林长春·期中）在数轴上，O表示原点，A、B两点分别表示﹣8和2．(1)求出线段AB的长度；(2)动点P从A出发沿数轴向右运动，速度为每秒5个单位长度；同时点Q从B出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，当P、Q重合时，两点同时停止运动．设两点运动时间为t秒，用含有t的式子表示线段PQ的长；(3)在(2)的条件下，t为何值时，点P、点Q到原点O的距离相等．【变式4-3】（23-24七年级·福建三明·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数−24、−10、10，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．  (1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】【例5】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知数轴上的两点A，B所表示的数分别是a和b，O为数轴上的原点，如果有理数a，b满足a+8+b−222=0．  (1)请直接写出a和b的值，a=_______，b=_______；(2)若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？(3)若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动；点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足a+8+b−12=0．  (1)则a=___________，b=___________，点A和点B之间的距离是___________；(2)动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后，以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；在上述过程中，点P从点C到点B，停留片刻后，再从点B到点C，共用了2秒．①求C点表示的数c；②设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？【变式5-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为−16和6．(1)直接写出A、B两点之间的距离___；(2)若在数轴上存在一点P，使得AP=13PB，求点P表示的数；(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP=4OQ时的运动时间t的值．【变式5-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，数轴上点A、B对应的数分别是a、b，并且a+12+4−b=0．  (1)求A、B两点之间距离．(2)若两动点P、Q同时从原点出发，点P以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点Q以2个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点P到点A的距离是点Q到点B距离的2倍？(3)点C是数轴上A、B之间一点，P、Q两点同时从点C出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为a秒时，P、Q两点恰好分别到达点A、B，又运动a秒时，P、Q两点分别到达点E、F，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点R从点E出发沿数轴向右运动，当点R运动3秒时，点R与点Q在M点相遇，此时点P和点M的距离为5个单位长度，点M和点C的距离为2个单位长度，求点R的速度．【题型6 数轴动点中的定值问题】【例6】（23-24七年级·广东汕头·期中）如图，在数轴上A点表示数－3，B点表示数b，C点表示数c，且b.c满足b+12+c−4=0（1）b= ，c= ．（2）若使C．B两点的距离是A．B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度．（3）点A．B．C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒；①点A．B．C表示的数分别是 . . （用含m.t的代数式表示）；②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2，当m为何值时，2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变，并求出此时2d1－d2的值．【变式6-1】（23-24七年级·安徽芜湖·期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为PQ=p−q．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为3−1=2；有理数5与−2对应的两点之间的距离为5−−2=7；…；解决问题：已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足a−12+b+3=0，c=−2a+b．(1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得3AC−kAB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【变式6-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度），慢车长CD=4（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c，a+8与(c−16)2互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．）(1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度．(2)从此时刻开始，若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度．(3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度．【变式6-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=3（单位长度），慢车长CD=5（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，a+8+b−162=0．  (1)a= ，b= ．(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头A，C相距8个单位长度？(3)此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客M，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置M到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即MA+MC+MB+MD为定值）．你认为学生M发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由．【题型7 数轴动点中的折返问题】【例7】（23-24七年级·湖北荆州·期末）如图，A、B、P是数轴上的三个点，P是AB的中点，A、B所对应的数值分别为-20和40．（1）试求P点对应的数值；若点A、B对应的数值分别是a和b，试用a、b的代数式表示P点在数轴上所对应的数值；（2）若A、B、P三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A、B两点相向而行，P点在动点A和B之间做触点折返运动（即P点在运动过程中触碰到A、B任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A、B两点相遇，停止运动．如果A、B、P运动的速度分别是1个单位长度/s，2个单位长度/s，3个单位长度/s，设运动时间为t．①求整个运动过程中，P点所运动的路程．②若P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，试写出该过程中，P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值（用含t的式子表示）；③在②的条件下，是否存在时间t，使P点刚好在A、B两点间距离的中点上，如果存在，请求出t值，如果不存在，请说明理由．【变式7-1】（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）已知数轴上的点A，B，C，D所表示的数分别是a，b，c，d，且a+142+b+122=−c−6−d−8．（1）求a，b，c，d的值；（2）点A，C沿数轴同时出发相向匀速运动，103秒后两点相遇，点A的速度为每秒4个单位长度，求点C的运动速度；（3）A，C两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，D点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在t秒时有BD=2AC，求t的值；（4）A，C两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点A运动到点C起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动；当点C运动到点A起始位置时马上停止运动．当点C停止运动时，点A也停止运动．在此运动过程中，A，C两点相遇，求点A，C相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．【变式7-2】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期中）数轴上给定两点A、B，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，若数轴上有两点M、N，线段MN的中点在线段AB上（线段MN的中点可以与A或B点重合），则称M点与N点关于线段AB对称，请回答下列问题：(1)数轴上，点O为原点，点C、D、E表示的数分别为-3、6、7，则点_____与点O关于线段AB对称；(2)数轴上，点F表示的数为x，G为线段AB上一点，若点F与点G关于线段AB对称，则x的最小值为______，最大值为______；(3)动点P从-9开始以每秒4个单位长度，向数轴正方向移动时，同时，线段AB以每秒1个单位长度，向数轴正方向移动，动点Q从5开始以每秒1个单位长度，向数轴负方向移动；当P、Q相遇时，分别以原速立即返回起点，回到起点后运动结束，设移动的时间为t，则t满足______时，P与Q始终关于线段AB对称．【变式7-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）已知数轴上的点A，B，C，D所表示的数分别是a，−12，c，8，且a+14+c−6=0(1)则a=______，c=______；若点A，C沿数轴同时出发相向匀速运动，103秒后两点相遇，点A的速度为每秒4个单位长度，点C的运动速度为每秒______个单位长度；(2)A，C两点以（1）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，D点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在t秒时有BD=2AC，求t的值；(3)A，C两点以（1）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点A运动到点C起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动；当点C运动到点A起始位置时马上停止运动，当点C停止运动时，点A也停止运动，在此运动过程中，A，C两点相遇，求点A，C相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．（3）若经过n次（n为正整数）行进后，小明到达点Q，请你直接写出：点Q在数轴上表示的数应如何表示？【题型9 数轴动点中的新定义问题】【例9】（23-24七年级·浙江台州·期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：(1)若点A表示的数为−5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ；(2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；(3)点A表示的数为−6，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是−4，−2，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ；②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离n，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ．【变式9-1】（23-24七年级·福建福州·期中）在数轴上有A，B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当b≥0时，将点A向右移动3个单位长度，得到点P；当b<0时，将点A向左移动|b|个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．如图，点A表示的数为−1．  (1)在图中画出当b=4时，点A关于点B的“联动点”P；(2)点A从数轴上表示−1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点B从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．①点B表示的数为__________（用含t的式子表示）；②是否存在t，使得此时点A关于点B的“联动点”P佮好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式9-2】（23-24七年级·北京朝阳·期中）阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段AB的中点表示的数为a+b2．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段PQ，若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段AB的中点R所表示的数为1+72＝4，所以点R在线段PQ上，则点A与点B关于线段PQ径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2．(1)点B，C分别表示的数为−3，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段OM径向对称；(2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段ON径向对称，求线段ON长度的最小值，并写出求解过程；(3)在数轴上，动点K从表示−4的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示−2的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段KL上至少存在一点与点A关于线段OM径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______．【变式9-3】（23-24七年级·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？专题2.11 数轴中的动态问题【九大题型】 【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12231" 【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】  PAGEREF _Toc12231 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16318" 【题型2 数轴动点中的相遇问题】  PAGEREF _Toc16318 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc10231" 【题型3 数轴动点中的中点问题】  PAGEREF _Toc10231 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc15267" 【题型4 数轴动点中的相距问题】  PAGEREF _Toc15267 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc7560" 【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】  PAGEREF _Toc7560 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc23373" 【题型6 数轴动点中的定值问题】  PAGEREF _Toc23373 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc2319" 【题型7 数轴动点中的折返问题】  PAGEREF _Toc2319 \h 37 HYPERLINK \l "_Toc22090" 【题型8 数轴动点中的规律问题】  PAGEREF _Toc22090 \h 42 HYPERLINK \l "_Toc2049" 【题型9 数轴动点中的新定义问题】  PAGEREF _Toc2049 \h 46知识点：数轴中的动态问题主要解题步骤1)画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；2)写点——写出所有点表示的数: 一般用含有t的代数式表示, 向右运动用“+”表示, 向左运动用“-”表示；3)表示距离——右-左,若无法判定两点的左右需加绝对值；4)列式求解——根据条件列方程或代数式,求值。注意: 要注意动点是否会来回往返运动。【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】【例1】（23-24七年级·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB，则AB=a−b．回答下列问题：(1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为______；②点A表示数x，点B表示数1，如果AB=6，那么x的值为______；(2)①如果a+3+b−2=0，那么a=______，b=______；②当代数式x+1+x−2取最小值时，相应的整数x的个数为______；(3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是9，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请直接用含t的代数式表示OP．【答案】(1)①x−1 ②7或−5(2)①−3，2②4(3)当03.5).【分析】（1）根据两个非负数的和为零则这两个数均为零即可得出答案；（2）先求出AB=3，则折点为AB的中点，故折点表示的数为B点表示的数减去12AB，即折点表示的数为：1-12×3=-0.5，再求出C点与折点的距离为：8-(-0.5)=8.5，所以C点对应的数为-0.5-8.5=-9；（3）当P与点B重合时，即当x=b时，|x-a|+|x-b|+|x-c|取得最小值；（4）分小球乙碰到挡板之前和之后，即当0≤t≤3.5，t＞3.5时，表示出甲、乙两小球之间的距离d即可.【详解】解：（1）∵|a+2|+(c−8)2=0，|a+2|≥0，(c−8)2≥0∴a+2=0，c−8=0∴a=−2，c=8；故答案为：−2，8；（2）因为a=−2，b=1，所以AB=1-(-2)=3，将数轴折叠，使得A点与B点重合，所以对折点为AB的中点，所以对折点表示的数为：1-12×3=-0.5，C点与对折点的距离为：8-(-0.5)=8.5，所以C点对应的数为-0.5-8.5=-9，即点C与数-9表示的点重合，故答案为：-9；（3）当x=b=1时，|x-a|+|x-b|+|x-c|=|x-(-2)|+|x-1|+|x-8|=10为最小值；故答案为：1；10；（4）t秒后，甲的位置是−2−t，乙的位置是8−2t(0≤t≤3.5)1+2(t−3.5)=2t−6(t>3.5)，∴d=8−2t−(−2−t)=10−t(0≤t≤3.5)2t−6−(−2−t)=3t−4(t>3.5).【点睛】此题考查是列代数式，数轴上两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离求法是解决问题的关键．【变式1-3】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足c−52+a+b=0，请回答问题(1)请直接写出a，b，c的值：a=________；b=________；c=________；(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：x+1−x−1+2x+5（请写出化简过程）  (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】(1)−1，1，5(2)当0≤x≤1时，原式=4x+10；②当10,x−1≤0,x+5>0，∴x+1−x−1+2x+5=x+1−1−x+2x+5=x+1−1+x+2x+10=4x+10，②当10,x−1>0,x+5>0，∴x+1−x−1+2x+5=x+1−x−1+2x+5=x+1−x+1+2x+10=2x+12；（3）解：∵a=−1,b=1,c=5，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴t秒后，点A表示的数为−1−t；点B表示的数为1+2t；点C表示的数为5+5t，∴BC=5+5t−1+2t=4+3t，AB=1+2t−−1−t=3t+2，∴BC−AB=4+3t−3t+2=2，∴BC−AB的值不变，恒为2．【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，绝对值的计算，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及数轴上两点之间距离的计算方法．【题型2 数轴动点中的相遇问题】【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为12．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．  (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是　　（用含t的代数式表示）；(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？【答案】(1)−6；6−4t；(2)①6秒；②3秒或9秒．【分析】（1）由已知得OA=6，则OB=AB−OA=6，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t(t>0)秒，所以运动的单位长度为4t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6−4t；（2）由题意可得点Q表示的数为−6−2t．①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即6−4t=−6−2t，解得t=6．②点P与点Q间的距离为6个单位长度，则PQ=6，根据绝对值的几何意义有6−4t−−6−2t=6，解得t=3或t=9．【详解】（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，∵A，B两点间的距离为12，∴AB=12，∴OB=AB−OA=12−6=6，∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为−6；∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P运动t秒的长度为4t，所以点P所表示的数为：6−4t；故答案为：−6；6−4t．（2）∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴运动t秒时，点Q表示的数为：−6−2t．①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即6−4t=−6−2t，解得：t=6，∴当点P运动6秒时，点P与点Q相遇；②点P与点Q间的距离为6个单位长度，则PQ=6，即6−4t−−6−2t=6，解得：t=3或t=9，∴当点P运动3秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度．【点睛】此题考查的知识点是数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解并运用绝对值的几何意义是解题的关键．【变式2-1】（23-24七年级·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．  (1)数轴上点B表示的数是_______，点P表示的数是_______(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？【答案】(1)−4；6−6t．(2)当点P运动5秒时，点P与点Q相遇．【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键．（1）由题意知OA=6，OB=AB−OA=10−6=4，因为B点在原点左边，从而得出数轴上点B表示的数；动点P从点A出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点P表示的数；（2）设P点运动t秒时追上点Q，根据题意列方程6t=10+4t，解得t值．【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，则OB=AB−OA=10−6=4，又∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为−4；点P运动t秒的长度为6t，∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6−6t．（2）设点P运动t秒时追上点Q，根据题意，得6t=10+4t，        解得：t=5，                       答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇．【变式2-2】（23-24七年级·福建三明·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC=8.  （1）直接写出数轴上点C表示的数；（2）动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒，动点R从点C 出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇．（3）动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒，动点R从点C 出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q    ，R 三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？【答案】（1）-4；（2）当t=1时，P，R两点会相遇；（3）行驶的路程是24.75个单位长度．【分析】（1）根据AC的距离和点A表示的数即可求出结论；（2）先求出BC的长度，然后根据题意列出方程即可求出结论；（3）先求出AB的长，然后求出点P遇上点R的时间，并求出此时点P与点Q的距离，从而求出P、Q的相遇时间，然后即可求出结论．【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为4，AC=8，点C在点A左侧∴点C表示的数为4－8=-4；（2）∵点B表示的数为1，点C表示的数为-4∴BC=1－（-4）=5由题意可得3t＋2t=5解得：t=1答：当t=1时，P，R两点会相遇；（3）由题意可得：AB=4－1=3点P遇上点R的时间为：5÷（3－2）=5（秒）此时点P与点Q的距离为3＋（3－1）×5=13∴P、Q的相遇时间为13÷（3+1）=3.25（秒）∴点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是3×（5＋3.25）=24.75个单位长度答：点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是24.75个单位长度．【点睛】此题考查的是数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键．【变式2-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且c−10=0，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．(1)a的值为______，b−c的值为______；(2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．【答案】(1)−6；−4；(2)①m=13；②−43或0；【分析】（1）由绝对值的意义，数轴的定义，相反数的定义进行计算，即可求出答案；（2）①利用行程问题，即可求出答案；②根据题意，进行分类讨论：当P、Q在相遇之前距离为2时；当P、Q在相遇之后距离为2时；分别求出答案即可．【详解】（1）解：根据题意，则∵c−10=0，∴c=10，∵点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数，∴a+12=ba+b=0，解得：a=−6b=6，∴b−c=6−10=−4；故答案为：−6，−4；（2）解：①根据题意，则AC=10−(−6)=16，AB=6−(−6)=12，BC=10−6=4，∵点P，Q在点B处相遇，∴运动的时间为：121=12（秒），∴12m=4，∴m=13；②∵点Q的运动速度是点P的2倍，∴点Q的速度是每秒2个单位；当P、Q在相遇之前距离为2时；∴运动的时间为：16−21+2=143（秒），∴x=−6+143=−43；当P、Q在相遇之后距离为2时；∴运动的时间为：16+21+2=6（秒），∴x=−6+6=0；综合上述，x的值为−43或0；【点睛】本题考查了数轴上表示的数，数轴上的动点问题，绝对值的意义，相反数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．【题型3 数轴动点中的中点问题】【例3】（23-24七年级·全国·假期作业）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足a+2+c−72=0．(1)a=______，b=______，c=______．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当PB=2PO时，点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点）【答案】(1)−2；1；7(2)点Q的运动速度是每秒487个单位长度或者每秒16个单位长度【分析】（1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0成为解题的关键；（2）本题主要考查了数轴上的动点问题，先求出点Q表示的数是−1，进而得到CQ=8，然后分当点P在OB和AO上两种情况解答即可；掌握数轴上的动点问题成为解题的关键．【详解】（1）解：因为b是最小的正整数，所以b=1．因为a+2+c−72=0，所以a=−2，c=7．故答案为−2；1；7．（2）解：因为点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，所以点Q表示的数是−1，此时CQ=7−−1=8，由PB=2PO，可分两种情况：①当点P在OB上时，得OP=13OB=13，此时AP=AO+OP=2+13=73；所以点P运动的时间为73÷2=76s，所以点Q的运动速度=8÷76=487； ②当点P在AO上时，得PO=OB=1，此时AP=AO−PO=2−1=1，所以点P的运动时间是1÷2=12s，所以点Q的运动速度=8÷12=16，综上，点Q的运动速度是每秒487个单位长度或者每秒16个单位长度．【变式3-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子a+30+b+10+c−14=0；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段MN（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段MN立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段MN再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒．(1)求a，b，c的值；(2)当t=______秒时，点P与点C重合，并求出此时线段MN上点N所表示的数；(3)记线段MN的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值．【答案】(1)a=−30，b=−10，c=14(2)22秒，11(3)t=735或15【分析】（1）根据绝对值的非负的性质求解即可；（2）结合（1）确定AC之间的距离，然后根据点P运动的速度可计算当t=22秒时，点P与点C重合；当t=22秒时，线段MN的运动时间为17秒，即可确定线段MN从B运动到C所用时间为6秒，结合数轴上点N起始位置所表示数为−4，即可确定线段MN运动17秒后，点N所表示数为11；（3）由点Q为线段MN的中点，首先确定点Q的起始位置所表示数为−7，然后结合在运动过程中点P所表示数为(−30+2t)，分5≤t≤11，11≤t≤17，17≤t≤23三个阶段逐一分析计算即可获得答案．【详解】（1）解：∵a+30+b+10+c−14=0，∵a+30≥0，b+10≥0，c−14≥0，∴a+30=0，b+10=0，c−14=0，∴a=−30，b=−10，c=14；（2）∵A所表示数为−30，C所表示数为14，∴AC=14−(−30)=44，∴点P从运动到C所用时间为44÷2=22秒，即当t=22秒时，点P与点C重合；线段MN的运动时间为22−5=17秒，线段MN从B运动到C所用时间为14−−10−63=6秒，∵数轴上点N起始位置所表示数为−4，∴线段MN运动17秒后，点N所表示数为−4+3×17−6−6=11；（3）点Q的起始位置所表示数为：−10+−42=−7；在运动过程中，点P所表示数为：−30+2t，①当5≤t≤11时，点Q所表示数为：−7+3t−5=3t−22，PQ=3t−22−−30+2t=1，t=−7（舍），t=−9（舍）；②当11≤t≤17时，点Q所表示数为：11−3t−11=−3t+44，PQ=−3t+44−−30+2t=1，t=735，t=15；③当17≤t≤23时，点Q所表示数为：−7+3t−17=3t−58，PQ=3t−58−−30+2t=1，t=27，t=29．综上所述，t=735或15．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、数轴与有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足a+102+b−10=0.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段OB为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.  (1)a= ，b= ，AC= ；(2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数.(3)点D为线段OB中点，当t为多少秒时，MD=ND？【答案】(1)−10,10,28(2)163(3)t=2或t=11或t=313或t=17【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可．（2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，则点M用时为OA2+OP1=m+5，BP=10−m，点N用时为BP2+BC1=10−m2+8，根据题意，得10−m2+8=m+5，计算即可．（3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND，令MD=ND，解方程即可得出答案．【详解】（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足a+102+b−10=0，∴a=−10,b=10，故A表示的数是−10，C表示的数是18，∴AC=18−−10=28，故答案为：−10,10,28．（2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，①当点M在OA上，点N在BC上时，点M表示的数为2t−10，点N表示的数为18−t，此时无法相遇；②当点M在OB上，点N在BC上时，无法相遇；③当点M在OB上，点N在OB上时，则BP=10−m，PO=m，∴点M用时为OA2+OP1=m+5，点N用时为BP2+BC1=10−m2+8，根据题意，得10−m2+8=m+5，解得m=163，故相遇点在数轴上所对应的数163．（3）∵A表示的数是−10，点B表示的数是10，C表示的数是18，点D为线段OB中点，∴点D表示的数是5；设运动t秒时， MD=ND，①当点M在OA上，点N在BC上时，点M表示的数为2t−10，点N表示的数为18−t，此时MD=5−2t−10=15−2t，ND=18−t−5=13−t，∵MD=ND，∴15−2t=13−t，解得t=2；②当点M在OD上，点N在BC上时，点M表示的数为t−5，点N表示的数为18−t，此时MD=5−t−5=10−t，ND=18−t−5=13−t，∵MD=ND，∴10−t=13−t，无解；③当点M在OD上，点N在OB上时，点M表示的数为t−5，点N表示的数为10−2t−8=26−2t，此时MD=5−t−5=10−t，ND=26−2t−5=1=21−2t，∵MD=ND，∴10−t=21−2t，解得t=11；④当点M在DB上，点N在OB上时，点M表示的数为t−5，点N表示的数为10−2t−8=26−2t，此时MD=t−5−5=t−10，ND=26−2t−5=1=21−2t，∵MD=ND，∴t−10=21−2t，解得t=313；⑤当点M在BC上，点N在OA上时，点M表示的数为2t−15+10=2t−20，点N表示的数为0−t−13=13−t，此时MD=2t−20−5=2t−25，ND=5−13−t=t−8，∵MD=ND，∴t−8=2t−25，解得t=17；综上所述，当t=2或t=11或t=313或t=17时，MD=ND．【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键.【变式3-3】（23-24七年级·广东广州·期中）如图：在数轴上A点表示数−3，B点表示数1，C点表示数9．  (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与______表示的点重合；(2)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC−2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)5；(2)① t=1或4或16；②存在，m=−23．【分析】（1）求出AC的长度和中点，然后求出中点到点B的距离即中点到点B的重合点的距离，即可求得点B的重合点；（2）①分别以A、B、C为中点，列出方程求解即可；②使mBC−2AB的值为定值，列出等式中的含t项合并为0，从而求出m的值．【详解】（1）AC=9−−3=12，12÷2=6，∴AC的中点表示的数为：9−6=3，∵3−1=2，点B的重合点为3+2=5，故答案为：5；（2）解：①由题意可知，t秒时，点A所在的数为：−3−2t，点B所在的数为：1−t，点C所在的数为：9−4t，（1）若B为AC中点，则1−t=−3−2t+9−4t2 ，解得t=1；（2）若C为AB中点，则9−4t=−3−2t+1−t2 ，解得t=4；（3）若A为BC中点，则−3−2t=1−t+9−4t2，解得t=16；综上，当t=1或4或16时，A、B、C三点中恰有一点为另外两点的中点；②假设存在．∵C在B右侧，B在A右侧，∴BC=9−4t−1−t=8−3t，AB=1−t−−3−2t=t+4，∴mBC−2AB=m8−3t−2t+4=8m−8−3m+2t，当3m+2=0即m=−23时，mBC−2AB=8×−23−8=−403，为定值，故存在常数m=−23使mBC−2AB的值为定值．【点睛】此题考查了数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是能用两点间的距离公式列出方程．【题型4 数轴动点中的相距问题】【例4】（2024七年级·全国·专题练习）如图1，已知线段AB=24，点C为线段AB上的一点，点D、E分别是AC和BC的中点．  (1)若AC=8，则DE的长为______；(2)若BC=a，求DE的长；(3)动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段AB向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？【答案】(1)DE的长为12；(2)DE的长为12；(3)当t=2或t=103时，之间的距离为6；【分析】（1）由AB=24，AC=8，则BC=16，由点D、E分别是AC和BC的中点，则DC=4,CE=8，即可得到答案；（2）由AB=24，BC=a，则AC=24−a，由点D、E分别是AC和BC的中点，则DC=12−12a,CE=12a，即可得到答案；（3）由AP=3t,BQ=6t，则AP+PQ+BQ=24或AP+BQ−PQ=24，即可得到答案．【详解】（1）解：∵AB=24，AC=8，∴BC=16，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC=4,CE=8，∴DE=DC+CE=12，即DE的长为12；（2）解：∵AB=24，BC=a，∴AC=24−a，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC=12−12a,CE=12a，∴DE=DC+CE=12，即DE的长为12；（3）解：∵AP=3t,BQ=6t，如图，  ∴AP+PQ+BQ=24，如图，  ∴AP+BQ−PQ=24，∴3t+6+6t=24或3t+6t−6=24，解得：t=2或t=103，∴当t=2或t=103时，之间的距离为6；【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．【变式4-1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足a+5+b-7=0．(1)求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离．(2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？(3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？【答案】(1)a=-5，b=7，A与B之间的距离为12个单位长度(2)6秒(3)2秒或4秒【分析】（1）根据绝对值的非负性求出a、b，再利用AB=a-b求解即可；（2）根据运动距离÷速度=时间求解即可；（3）分点P、Q相遇前和相遇后两种情况求解即可．【详解】（1）解：因为a+5+b-7=0，所以a=-5，b=7所以点A与点B之间的距离为-5-7=12．（2）解：因为A、B两点之间的距离为12个单位长度，所以12÷2=6秒，答：点P运动6秒后到达B点．（3）解：由题意，有两种情况：P、Q相遇前：12-4÷1+3=2（秒），P、Q相遇后：12+4÷1+3=4（秒），所以运动2秒或4秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度．【点睛】本题考查绝对值、数轴，理解绝对值的非负性，会利用数形结合思想和分类讨论思想解决数轴上的动点问题是解答的关键．【变式4-2】（23-24七年级·吉林长春·期中）在数轴上，O表示原点，A、B两点分别表示﹣8和2．(1)求出线段AB的长度；(2)动点P从A出发沿数轴向右运动，速度为每秒5个单位长度；同时点Q从B出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，当P、Q重合时，两点同时停止运动．设两点运动时间为t秒，用含有t的式子表示线段PQ的长；(3)在(2)的条件下，t为何值时，点P、点Q到原点O的距离相等．【答案】(1)AB＝10；(2) PQ＝10﹣2t且0≤t≤5；(3)为0.75、5时，点P、点Q到原点O的距离相等．【分析】（1）用点A到原点O的距离加上点B到原点O的距离，即可求出线段AB的长度．（2）用线段AB的长度减去动点P向右运动的长度，再加上动点Q向右运动的长度，用含有t的代数式表示线段PQ的长即可．（3）根据题意，分两种情况：①点P、点Q重合时；②点P、点Q在原点O的两侧时；求出t为何值时，点P、点Q到原点O的距离相等即可．【详解】(1)AB＝OA+OB＝8+2＝10,(2)PQ＝10﹣5t+3t＝10﹣2t,由10﹣2t≥0，解得0≤t≤5．(3)①点P、点Q重合时，由10﹣2t＝0，解得t＝5．②点P、点Q在原点O的两侧时，OP＝8﹣5t,OQ＝2+3t,由8﹣5t＝2+3t,解得t＝0.75,所以t为0.75、5时，点P、点Q到原点O的距离相等．【点睛】本题考查负数的意义和应用，两点间的距离的求法，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握．【变式4-3】（23-24七年级·福建三明·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数−24、−10、10，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．  (1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．【答案】(1)10，4，24；(2)t，−14+t，−34+t；(3)−7；(4)−5，−1，2.5，4.5．【分析】（1）根据题意求得t=10时，P点的位置，进而求得两点距离；（2）先表示出P点的位置表示的数，进而求得两点距离；（3）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可；（4）分Q点到达C点之前，和Q点到达C点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可；此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．【详解】（1）∵A、B、C三个点，分别表示有理数−24、−10、10，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，∴t=10时，P点表示的数为−24+10=−14，∴当P点运动10秒时，PA=−14−−24=10，PB=−14−−10=4，PC=−14−10=24，故答案为：10，4，24；（2）依题意，当P点运动了t秒时，则PA=t，点P表示的数为−24+t，∴PB=−24+t−−10=−14+t，PC=−24+t−10=−34+t，故答案为：t，−14+t，−34+t；（3）∵PA=PC，∴t=−34+t，即t=−34+t或−t=−34+t，解得：t=17，∴点P表示的数为−24+17=−7；（4）根据题意，设经过x秒后P、Q两点之间的距离为4个单位长度，P点运动到C点需要的时间为：20÷1=20（秒）①当Q点未到达C点，  此时AQ=3x，BP=x，则Q点表示的数为−24+3x，点P表示的数为−10+x，则PQ=−10+x−−24+3x=14−2x=4，即14−2x=4或14−2x=−4，解得：x=5或x=9，∴点表示的数为−5或−1；②当Q点从C点返回后，  此时AQ=AC−QC=34−3x−34=68−3x，BP=x，则Q点表示的数为−24+68−3x=−3x+44，点P表示的数为−10+x，则PQ=−10+x−−3x+44=4x−54=4，即4x−54=4或4x−54=−4，解得x=292或x=252，∴点P表示的数为4.5或2.5，综上所述，点P表示的数为−5，−1，2.5，4.5．【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】【例5】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知数轴上的两点A，B所表示的数分别是a和b，O为数轴上的原点，如果有理数a，b满足a+8+b−222=0．  (1)请直接写出a和b的值，a=_______，b=_______；(2)若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？(3)若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动；点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)−8；22(2)经过2秒或4秒，点P恰巧到达线段AB的三等分点(3)存在，当运动的时间为3秒或277秒时，会使得PM+PN=12，此时点P对应的数为7或797【分析】（1）根据非负数的性质，求出结果即可；（2）根据题意画出图形，分两种情况求出运动时间即可；（3）设运动的时间为x秒，先求出点C对应的数为−8+222=7，点P对应的数为−8+5x，点M对应的数为7+3x，点N对应的数为22−4x，根据PM+PN=12得出−15+2x+−30+9x=12；分三种情况进行讨论，求出x的值，然后求出点P表示的数即可．【详解】（1）解：∵a+8+b−222=0，∴a+8=0，b−22=0，∴a=−8，b=22．故答案是：−8；22．（2）解：如图1所示：  图1AB=22+8=30，AB的三等分点为P1，P2，所以P点到达的三等分点是P1或P2，情形①：AP1=AB3=303=10，则运动的时间t=AP15=105=2；情形②：AP1=2×AB3=2×303=20，则运动的时间t=AP25=205=4．因此经过2秒或4秒，点P恰巧到达线段AB的三等分点．（3）解：存在；  图2理由：设运动的时间为x秒，点C对应的数为−8+222=7，点P对应的数为−8+5x，点M对应的数为7+3x，点N对应的数为22−4x，则PM=(−8+5x)−7+3x=−15+2x，PN=−8+5x−22−4x=−30+9x，由PM+PN=12得−15+2x+−30+9x=12；①当0152时，−15+2x−30+9x=12，解得x=5711且5711<152，舍去；综上可知，当运动的时间为3秒或277秒时，会使得PM+PN=12，此时点P对应的数为7或797．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，列出相应的算式或方程．【变式5-1】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足a+8+b−12=0．  (1)则a=___________，b=___________，点A和点B之间的距离是___________；(2)动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后，以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；在上述过程中，点P从点C到点B，停留片刻后，再从点B到点C，共用了2秒．①求C点表示的数c；②设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？【答案】(1)−8，12，20(2)①7；②1.2、1.8、3、4【分析】（1）根据a+8+b−12=0，可得：a+8=0，b−12=0，据此分别求出a、b的值，再根据两点之间的距离计算即可．（2）①设AC=x，根据题意，可得：x10+x6=6−2=4，据此求出C点表示的数c即可．②利用分类讨论的数学思想，分点P在点C左边，点P在点C的右边分别求解即可解答本题．【详解】（1）解：∵|a+8|+(b−12)2=0，∴a+8=0，b−12=0，解得，a=−8，b=12，则点A和点B之间的距离是12−−8=20，故答案为：−8，12，20；（2）①设AC=x，则x10+x6=6−2=4，解得，x=15，∴c=−8+15=7，即C点表示的数c是7；②∵PA+PB=12−(−8)=20，∴P到A、B、C三点的距离之和为23个单位，只要PC=3即可，当点P在点C左边时，由A到B时，[(7−3)−(−8)]÷10=1.2，由B到A时，6−[(7−3)−(−8)]÷6=6−2=4，当点P在点C的右侧时，由A到B时，[(7+3)−(−8)]÷10=1.8，由B到A时，6−[(7+3)−(−8)]÷6=6−3=3，答：t为1.2、1.8、3、4时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位．【点睛】本题考查数轴、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．【变式5-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为−16和6．(1)直接写出A、B两点之间的距离___；(2)若在数轴上存在一点P，使得AP=13PB，求点P表示的数；(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP=4OQ时的运动时间t的值．【答案】(1)22(2)−212或−27(3)当OP=4OQ时的运动时间t的值为2或134秒【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；（2）设点P表示的数为x．分两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上．根据AP=13PB列出关于x的方程，求解即可；（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤3时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当t>3时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP=4OQ列出关于t的方程，解方程即可．【详解】（1）解：A、B两点之间的距离是：6−−16=22；（2）解：设点P表示的数为x．分两种情况：①当点P在线段AB上时，∵AP=13PB，∴x+16=136−x，解得x=−212；②当点P在线段BA的延长线上时，∵AP=13PB，∴−16−x=136−x，解得x=−27．综上所述，点P表示的数为−212或−27；（3）解：分两种情况：①当t≤3时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，此时Q点表示的数为6−2t，P点表示的数为−16+4t，∵OP=4OQ，∴16−4t=46−2t，解得t=2，符合题意；②当t>3时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，此时Q点表示的数为3t−3，P点表示的数为−16+4t，∵OP=4OQ，∴−16+4t=4×3t−3，∴当34时，4t−16=12t−36，解得t=52，不符合题意，舍去；综上所述，当OP=4OQ时的运动时间t的值为2或134秒．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键．【变式5-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，数轴上点A、B对应的数分别是a、b，并且a+12+4−b=0．  (1)求A、B两点之间距离．(2)若两动点P、Q同时从原点出发，点P以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点Q以2个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点P到点A的距离是点Q到点B距离的2倍？(3)点C是数轴上A、B之间一点，P、Q两点同时从点C出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为a秒时，P、Q两点恰好分别到达点A、B，又运动a秒时，P、Q两点分别到达点E、F，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点R从点E出发沿数轴向右运动，当点R运动3秒时，点R与点Q在M点相遇，此时点P和点M的距离为5个单位长度，点M和点C的距离为2个单位长度，求点R的速度．【答案】(1)5(2)73秒或95秒(3)点R的速度为83或43【分析】（1）根据平方数，绝对值的非负性可求出a,b的值，再根据两点之间的距离的计算方法即可求解；（2）根据点P，点Q的运动，设运动时间为t秒，用含t的式子表示点P到点A的距离，点Q到点B距离，根据题意列式求解即可；（3）根据点的运动关系可以求出点C对应的数字，及a的值，根据动点运动的规律分别求出点E,F所对应的数字，并表示它们的距离，根据行程问题的数量关系的计算方法即可求解．【详解】（1）解：a+12+4−b=0中，(a+1)2≥0，4−b≥0，∴a+1=0，解得，a=−1；4−b=0，解得，b=4，∴A、B两点之间距离为4−(−1)=5．（2）解：点P以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点Q以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，点A对应的数是−1，点B对应的数是4，∴点P到点A的距离为1−t，点Q到点B距离为4−2t，∴①1−t≥0时，则4−2t>0，∴1−t=2(4−2t)，解得，t=73；②1−t<0，且4−2t>0，即110，20+t=2(2t−20)，解得：t=20；∴t=4或20．（3）解：C点运动到A点所需时间为6−(−14)÷2=10s，所以A，C相遇时间t≤10，由（2）得t= 103时，A，C相遇点为−14+4×103=−23，A到C再从C返回到A，用时6−−144+6−−148=7.5s；①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得8×(t−5)=2t，t=203＜10，此时相遇数为6−2×203=−223；②第二次与C点相遇，得8×(t−7.5)+2t=6−−14，解得t=8<10，此时相遇点为6−8×2=−10；∴A，C相遇时对应的数为：−23，−223，−10．【点睛】本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键．【题型8 数轴动点中的规律问题】【例8】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，已知A、B两地在数轴上相距20米，A地在数轴上表示的点为-8，小乌龟从A地出发沿数轴往B地方向前进，第一次前进1米，第二次后退2米，第三次再前进3米，第四次又后退4米，……，按此规律行进，（数轴的一个单位长度等于1米）（1）求B地在数轴上表示的数；（2）若B地在原点的左侧，经过第五次行进后小乌龟到达点P，第六次行进后到达点Q，则点P和点Q到点A的距离相等吗？请说明理由；（3）若B地在原点的右侧，那么经过30次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少米？【答案】（1）12或-28；（2）相等；（3）70米.【分析】（1）到A地距离为20的点有两个，分别位于A点左侧、右侧.依据数轴两点距离即可求得点B坐标（2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算分别求出点P、Q相对A点移动的距离即可得到答案（3）根据100为偶数可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解．【详解】解：（1）−8+20=12，−8−20=−28．答：B地在数轴上表示的数是12或−28．（2）令小乌龟从A地出发，前进为“+”，后退为“-”，则：第五次行进后相对A的位置为：1−2+3−4+5=3，第六次行进后相对A的位置为：1−2+3−4+5−6=−3，因为点P、Q与A点的距离都是3米，所以点P、点Q到A地的距离相等；（3）若B地在原点的右侧，前进为“+”，后退为“-”，则当n为100时，它在数轴上表示的数为：−8+1−2+3−4+…+(100−1)−100=−8+−1002=−58，∵B点表示的为12.∴AB的距离为12−(−58)=70（米)．答：小乌龟到达的点与点B之间的距离是70米．【点睛】本题考查了数轴和有理数加减法的实际应用，解题的关键是明确题意，发现题目中的规律，用正负数表示相反意义的量.【变式8-1】（23-24七年级·全国·课后作业）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…按照这种移动规律进行下去，第51次移动到点A51，那么点A51所表示的数为（　　）A．﹣74 B．﹣77 C．﹣80 D．﹣83【答案】B【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3 ，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答．【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1,则A1表示的数，1−3=−2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2,则A2表示的数为−2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3 ,则A3表示的数为4−9=−5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4 ,则A4表示的数为−5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5,则A5表示的数为7−15=−8；…；则点A51 表示：51+12×−3+1=26×−3+1=−78+1=−77， 故选B．【变式8-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）一组数0，2，4，8，12，18，…中的奇数项和偶数项分别用代数式n2−12，n22表示，如第1个数为12−12=0，第2个数为222=2，第3个数为32−12=4，…，则第8个数的值是 ，数轴上现有一点P从原点出发，依次以此组数中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点P在原点，记为P1；第2秒点P1向左跳2个单位，记为P2，此时点P2表示的数为-2；第3秒点P2向右跳4个单位，记为P3，点P3表示的数为2；…按此规律跳跃，点P11表示的数为 ．【答案】 32 30【分析】第8个数为偶数项，代入偶数项的公式即可得出答案；根据数的规律写出前11个数的值，再结合点的跳跃规律即可得出答案.【详解】∵第8个数为偶数项∴第8个数为：822=32；由题可知，第4秒点P3向左跳8个单位，记为P4，点P4表示的数为-6；第5秒点P4向右跳12个单位，记为P5，点P5表示的数为6；…第11秒点P10向右跳60个单位，记为P11，点P11表示的数为30;故答案为32，30.【点睛】本题考查的是找规律，难度较高，找出两种规律并巧妙结合是解决本题的关键.【变式8-3】（23-24七年级·北京·期中）如图，已知A地在数轴上表示的数为－16，AB两地相距50个单位长度．小明从A地出发去B地，以每分钟2个单位长度的速度行进，第一次他向左1单位长度，第二次向右2单位长度，第三次再向左3单位长度，第四次又向右4单位长度…，按此规律行进．（1）求出B地在数轴上表示的数；（2）若B地在原点的右侧，经过第8次行进后小明到达点P，此时点P与点B相距几个单位长度？8次运动完成后一共经过了几分钟？（3）若经过n次（n为正整数）行进后，小明到达点Q，请你直接写出：点Q在数轴上表示的数应如何表示？【答案】（1）B地在数轴上表示的数为－66或34；（2）点P与点B相距46个单位长度，8次运动完成后一共经过了18分钟；（3）当n为奇数时，点Q表示的数为−1612−n2；当n为偶数时，点Q表示的数为−16+n2．【分析】（1）由题意可得B点位于A的左侧或右侧，AB两地相距50单位长度，A在数轴上表示的数为-16，据此可得B在数轴上表示的数；（2）根据题意可以发现奇数次运动和偶数次运动是有规律的，从而得出第八次行进后到达点P，此时点P与B相距几个单位长度和八次运动完成后一共经过了几分；（3）根据题意可以发现奇数次运动和偶数次运动是有规律的，从而可以写出n为偶数和奇数时，在数轴上Q表示的数是什么.【详解】（1）－16－50＝－66或－16＋50＝34答：B地在数轴上表示的数为－66或34；（2）∵B地在原点的右侧，∴B地在数轴上表示的数为34， 第8次运动到点P为−16+82 ＝－16＋4＝－12， ∴点P与点B相距的单位长度为34－(－12)＝46， 8次运动完成后经过的时间为：(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)÷2＝36÷2＝18（分钟），答：点P与点B相距46个单位长度，8次运动完成后一共经过了18分钟；（3）第1次运动到点：－16－1，第2次为：－16＋1，第3次为：－16＋1－3＝－16－2，第4次为：－16＋2，……照此规律：当n为奇数时，点Q表示的数为−16−n+12 ＝−16−n2−12 ＝−1612−n2； 当n为偶数时，点Q表示的数为−16+n2【点睛】本题 主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关概念及规律是解题关键.【题型9 数轴动点中的新定义问题】【例9】（23-24七年级·浙江台州·期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：(1)若点A表示的数为−5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ；(2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；(3)点A表示的数为−6，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是−4，−2，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ；②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离n，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ．【答案】(1)−2(2)−52，132(3)①−5，−4②8，9，10【分析】（1）根据新定义求解；（2）根据新定义设未知数列方程求解；（3）①依题意，设B表示的数为x−4≤x≤−2，根据新定义得m=−3+x2，再结合m为整数，即可作答；②依题意，得点C和点D分别表示的数为−4+n，−2+n，根据新定义列不等式组−4+n≤66≤−2+n求解，结合n为整数，即可作答．【详解】（1）解：依题意，得−5+12=−2，所以则点M表示的数为−2；故答案为：−2；（2）解：设点A表示的数为x，因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧），所以点B表示的数为x+9，因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，故x+x+92=2，解得x=−52，那么−52+9=132，所以点A表示的数为−52，点B表示的数为132，故答案为：−52，132；（3）解：①依题意，设B表示的数为x−4≤x≤−2，因为设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，所以m=12−6+x=−3+x2−4≤x≤−2，因为m为整数，所以x2为整数，则x=−4或−2故整数m的值为：−5，−4， 故答案为：−5，−4；②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离n，所以点C和点D分别表示的数为−4+n，−2+n，∵O可以为点A与点B的“雅中点”， ∴−6+x2=0，故x=6，因为B为线段CD上一点（点B可与C、D两点重合），所以B表示的数为x−4+n≤x≤−2+n，所以−4+n≤6≤−2+n，即−4+n≤66≤−2+n，解得8≤n≤10，因为n为整数，则n=8，9，10，故答案为：8，9，10．【点睛】本题考查了数轴，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键．【变式9-1】（23-24七年级·福建福州·期中）在数轴上有A，B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当b≥0时，将点A向右移动3个单位长度，得到点P；当b<0时，将点A向左移动|b|个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．如图，点A表示的数为−1．  (1)在图中画出当b=4时，点A关于点B的“联动点”P；(2)点A从数轴上表示−1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点B从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．①点B表示的数为__________（用含t的式子表示）；②是否存在t，使得此时点A关于点B的“联动点”P佮好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①5−t；②不存在，理由见解析【分析】（1）求出P表示的数，再画图即可；（2）①根据已知可得B运动后表示的数；②分两种情况：当5−t≥0，P表示的数是−1+t+3=t+2>0，当5−t<0时，P表示的数是−1+t−|5−t|=−1+t+5−t=4，即可得到答案．【详解】（1）解：∵当b≥0时，将点A向右移动3个单位长度，得到点P；∴P表示的数是−1+3=2，如图：  （2）①点B表示的数为5−t，故答案为：5−t；②不存在P恰好与原点重合，理由如下：A表示的数是−1+t，当5−t≥0时，00，∴此时不存在P恰好与原点重合；当5−t<0时，P表示的数是−1+t−|5−t|=−1+t+5−t=4，∴此时不存在P恰好与原点重合，综上所述，不存在P恰好与原点重合．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．【变式9-2】（23-24七年级·北京朝阳·期中）阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段AB的中点表示的数为a+b2．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段PQ，若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段AB的中点R所表示的数为1+72＝4，所以点R在线段PQ上，则点A与点B关于线段PQ径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2．(1)点B，C分别表示的数为−3，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段OM径向对称；(2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段ON径向对称，求线段ON长度的最小值，并写出求解过程；(3)在数轴上，动点K从表示−4的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示−2的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段KL上至少存在一点与点A关于线段OM径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______．【答案】(1)C(2)线段ON长度的最小值为52；(3)32，3【分析】（1）根据径向对称的定义直接求解即可；（2）设点N所对应的数为m，点A和点F的中点所对应的数为52，若ON最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时ON=52；（3）设线段KL上有一点T，T点表示的数是x，由题意可得0≤x−12≤2，求出x的范围是1≤x≤5，当L点运动到表示1的数时，t的值最小，当K点运动到表示5的数时，t的值最大．【详解】（1）解：∵点A表示的数为−1，点B，C表示的数分别为−3，4，∴点A和点B的中点表示的数为−1−32=−2，点A与点C的中点表示的数为1.5，∵点O为原点，点M表示的数为2，∴点C与点A关于线段OM径向对称；故答案为：C；（2）解：设点N所对应的数为m，∵点A表示的数为−1，点F表示的数为6，∴点A和点F的中点所对应的数为52，若ON最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时ON=52；∴线段ON长度的最小值为52；（3）解：K点运动后表示的数是−4+3t，L点运动后表示的数是−2+2t，设线段KL上有一点T，T点表示的数是x，∴TA的中点x−12，∵T点与A点关于线段OM径向对称，∴x−12在线段OM上，∴0≤x−12≤2，∴1≤x≤5，合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，故答案是：G．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．故答案为：－4或－16；（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，第八种情况，N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．