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北师大版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.5有理数的加法【八大题型】学案(学生版+解析)
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这是一份北师大版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.5有理数的加法【八大题型】学案(学生版+解析)，共24页。
专题2.5 有理数的加法【八大题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc14819" 【题型1 有理数的加法概念理解】 PAGEREF _Toc14819 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13859" 【题型2 有理数的加法运算】 PAGEREF _Toc13859 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc4233" 【题型3 有理数的加法运算律】 PAGEREF _Toc4233 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16596" 【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】 PAGEREF _Toc16596 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10925" 【题型5 有理数加法中的规律问题】 PAGEREF _Toc10925 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc4452" 【题型6 有理数加法的实际应用】 PAGEREF _Toc4452 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc29482" 【题型7 利用有理数的加法解决幻方问题】 PAGEREF _Toc29482 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc17409" 【题型8 有理数加法中的新定义问题】 PAGEREF _Toc17409 \h 7知识点1：有理数的加法1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则.【题型1 有理数的加法概念理解】【例1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）下列说法错误的是（ ）A．两数之和可能小于其中的一个加数 B．两数相加就是它们的绝对值相加C．两个负数相加，和取负号，绝对值相加 D．两个数若不是相反数，则相加不能得零【变式1-1】（23-24七年级·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）A．两数之和必大于任何一个加数B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加C．两负数相加和为负数，并把绝对值相减D．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相加【变式1-2】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）若有理数a+b+c<0，则（ ）A．三个数中至少有两个负数 B．三个数中有且只有一个负数C．三个数中至少有一个负数 D．三个数中有两个是正数或两个是负数【变式1-3】（23-24七年级·湖北宜昌·期中）如果a+b+c=0，且c>b>a．则下列说法中可能成立的是（ ）A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为正数，b为0【题型2 有理数的加法运算】【例2】（23-24七年级·河北廊坊·阶段练习）要使等式3○+5=−2成立，“○”中应填的运算符号为（ ）A．+ B．− C．× D．÷【变式2-1】（23-24七年级·吉林·期末）比−5大8的数是 ．【变式2-2】（23-24七年级·山西临汾·阶段练习）下面是小亮同学做的4道题，①−100+−8=−2；②0+−20=−20；③+−2023+2023=−4046；④−2023++23=−2000；其中答对的有（ ）A．1道 B．2道 C．3道 D．4道【变式2-3】（23-24七年级·河南新乡·阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为+1+−1=0，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）A．+1 B．+7 C．−1 D．−7知识点2：运算律1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。【题型3 有理数的加法运算律】【例3】（23-24七年级·广东中山·期中）下列变形，运用加法运算律正确的是（ ）A．3+−2=2+3 B．4+−6+3=−6+4+3C．5+−2+4=5+−4+2 D．16+−1++56=16+56++1【变式3-1】（23-24七年级·江西南昌·期中）计算2−4+6−8+10=(2+6+10)+(−4−8)时，运用了加法（ ）A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律【变式3-2】（23-24七年级·全国·课堂例题）计算：1+2+3+⋯+2023+−1+−2+−3+⋯+−2024．【变式3-3】（23-24七年级·全国·课堂例题）计算−5.13−−4.62+−8.47−−2.38时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 = + = ．【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】【例4】（23-24七年级·河南郑州·期中）阅读下面文字：对于−3310+−112+235+212可以如下计算：原式=−3+−310+−1+−12+2+35+2+12=−3+−1+2+2+______=0+______=______．上面这种方法叫拆项法．(1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：−202423+202334+−202256+202117．【变式4-1】计算：−201956+−201823+403623+−112【变式4-2】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）(1)计算：−1723+1634+−1513−212；(2)计算−200056+−199923+400023+−112．【变式4-3】（23-24七年级·全国·假期作业）计算：−2022724+−202158+−116+4044．【题型5 有理数加法中的规律问题】【例5】（23-24七年级·江西上饶·期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【变式5-1】（23-24七年级·全国·专题练习）小明同学在上楼梯时发现，若只有一个台阶时，有一种走法；若有两个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上两个台阶，共有2种走法；如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有3种走法，那么有四个台阶时，共有走法（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【变式5-2】（23-24七年级·山东日照·阶段练习）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2000次落下时，落点处位于O点的（ ）A．右侧500个单位 B．左侧500个单位C．右侧1000个单位 D．左侧1000个单位【变式5-3】（23-24七年级·浙江台州·阶段练习）观察下面的几个算式：1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．根据上面几道题的规律，计算下面的题：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值为 【题型6 有理数加法的实际应用】【例6】（23-24七年级·北京·期中）德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下：①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行；②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；③各个步骤所需时间如下表所示：A．−4 B．1 C．−2或3 D．−2【变式7-2】（23-24七年级·全国·课后作业）【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3是一个“幻方”，则b= ．【变式7-3】（23-24七年级·江苏无锡·期中）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将−1，−2，−3，1，2，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经把−1、−3这两个数填入了圆圈，则ab+cd的值为 ． 【题型8 有理数加法中的新定义问题】【例8】（23-24七年级·上海·假期作业）定义一种新运算“△”满足：8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10．【变式8-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）定义一种运算，设x表示不超过x的最大整数，例如2.25=2，−1.5=−2 ，据此规定计算−3.73+1.4的值为( )A．−3 B．−2 C．−1 D．4【变式8-2】（23-24七年级·甘肃定西·阶段练习）定义一种新运算：a*b=a+1b，如：1*2=1+12=32，则1*2*3= ．【变式8-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；+5※+2=+7；−3※−5=+8；−3※+4=−1；+5※−8=−3．(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．(2)计算：−3※+1※−4= ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可） 专题2.5 有理数的加法【八大题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc14819" 【题型1 有理数的加法概念理解】 PAGEREF _Toc14819 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13859" 【题型2 有理数的加法运算】 PAGEREF _Toc13859 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc4233" 【题型3 有理数的加法运算律】 PAGEREF _Toc4233 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc16596" 【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】 PAGEREF _Toc16596 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc10925" 【题型5 有理数加法中的规律问题】 PAGEREF _Toc10925 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc4452" 【题型6 有理数加法的实际应用】 PAGEREF _Toc4452 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc29482" 【题型7 利用有理数的加法解决幻方问题】 PAGEREF _Toc29482 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc17409" 【题型8 有理数加法中的新定义问题】 PAGEREF _Toc17409 \h 17知识点1：有理数的加法1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则.【题型1 有理数的加法概念理解】【例1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）下列说法错误的是（ ）A．两数之和可能小于其中的一个加数 B．两数相加就是它们的绝对值相加C．两个负数相加，和取负号，绝对值相加 D．两个数若不是相反数，则相加不能得零【答案】B【分析】根据有理数的加法法则，相反数的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：A、两数之和可能小于其中的一个加数，异号相加，和小于原来的正数，选项正确，不符合题意；B、两数相加就是它们的绝对值相加，异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值，选项错误，符合题意；C、两个负数相加，和取负号，绝对值相加，选项正确，不符合题意；D、互为相反数的两数之和为0，所以两个数若不是相反数，则相加不能得零，选项正确，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查有理数的加法法则．熟练掌握有理数的加法法则：“同号相加，取相同符号，再把绝对值相加；异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值．”是解题的关键．【变式1-1】（23-24七年级·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）A．两数之和必大于任何一个加数B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加C．两负数相加和为负数，并把绝对值相减D．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相加【答案】B【分析】根据有理数的减法运算法则，有理数的加法运算法则对各选项分析判断即可得解．【详解】A．两数之和必大于任何一个加数，错误，故本选项错误；B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加，正确，故本选项正确；C．应为两负数相加和为负数，并把绝对值相加，故本选项错误；D．应为异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把用较大的绝对值减去较小的绝对值，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题主要考查有理数的减法、有理数的加法以及绝对值的概念，掌握有理数的加减运算法则是解题关键．【变式1-2】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）若有理数a+b+c<0，则（ ）A．三个数中至少有两个负数 B．三个数中有且只有一个负数C．三个数中至少有一个负数 D．三个数中有两个是正数或两个是负数【答案】C【分析】根据有理数的加法法则，即可求解．【详解】解：∵a+b+c<0，∴a<−b+c，b+c则有大于等于0和小于0两种情况：当b+c≥0时，则a<0，且b和c当中至少有一个正数，当b+c<0时，则b<−c，此时b和c至少有一个负数，综上所述，三个数中至少有一个负数．故答案为：C【点睛】此题考查的是有理数的加法问题． 有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数．【变式1-3】（23-24七年级·湖北宜昌·期中）如果a+b+c=0，且c>b>a．则下列说法中可能成立的是（ ）A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为正数，b为0【答案】A【分析】根据有理数的加法，一对相反数的和为0，可得a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又c>b>a，那么c=b+a，进而得出可能存在的情况．【详解】解：∵ a+b+c=0，∴ a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，∵ c>b>a，∴ c=b+a，∴可能a、b为正数，c为负数；也可能a、b为负数，c为正数．故选：A．【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，掌握有理数的加法法则是解题的关键．【题型2 有理数的加法运算】【例2】（23-24七年级·河北廊坊·阶段练习）要使等式3○+5=−2成立，“○”中应填的运算符号为（ ）A．+ B．− C．× D．÷【答案】B【分析】本题考查了有理数减法运算，能根据结果判断出是减法运算是解题的关键．【详解】解：3−+5=−2，故选：A．【变式2-1】（23-24七年级·吉林·期末）比−5大8的数是 ．【答案】3【分析】本题考查了有理数加法运算，计算−5+8即可求解．【详解】解：比−5大8的数是：−5+8=3，故答案为：3．【变式2-2】（23-24七年级·山西临汾·阶段练习）下面是小亮同学做的4道题，①−100+−8=−2；②0+−20=−20；③+−2023+2023=−4046；④−2023++23=−2000；其中答对的有（ ）A．1道 B．2道 C．3道 D．4道【答案】B【分析】根据有理数加法运算法则进行解答即可．【详解】解：①−100+−8=−108，故原算式计算错误；②0+−20=−20，计算正确；③+−2023+2023=0，故原算式计算错误；④−2023++23=−2000计算正确．所以，答对的有2道．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．【变式2-3】（23-24七年级·河南新乡·阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为+1+−1=0，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）A．+1 B．+7 C．−1 D．−7【答案】C【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，属于基础题型．理解题意是解题的关键．【详解】解：由题意得：+4+−5=−1，故选：D．知识点2：运算律1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。【题型3 有理数的加法运算律】【例3】（23-24七年级·广东中山·期中）下列变形，运用加法运算律正确的是（ ）A．3+−2=2+3 B．4+−6+3=−6+4+3C．5+−2+4=5+−4+2 D．16+−1++56=16+56++1【答案】B【分析】根据有理数加法的交换律与结合律逐项判断即可得．【详解】解：A．3+−2=−2+3，则此项错误，不符合题意；B．4+−6+3=−6+4+3，则此项正确，符合题意；C．5+−2+4=5+4+−2，则此项错误，不符合题意；D．16+−1++56=16+56+−1，则此项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键．【变式3-1】（23-24七年级·江西南昌·期中）计算2−4+6−8+10=(2+6+10)+(−4−8)时，运用了加法（ ）A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律【答案】D【分析】计算2−4+6−8+10=(2+6+10)+(−4−8)，先运用加法交换律把6和10的位置-4和-8与交换，然后根据加法结合律把正数和负数分别结合在一起．【详解】解：2−4+6−8+10=2+6+10−4−8（加法交换律）=(2+6+10)+(−4−8) （加法结合律）故选：D．【点睛】本题是考查加法交换律与结合律的应用，属于基础知识，要掌握．【变式3-2】（23-24七年级·全国·课堂例题）计算：1+2+3+⋯+2023+−1+−2+−3+⋯+−2024．【答案】−2024【分析】根据有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得．【详解】解：原式=1+−1+2+−2+3+−3+⋯+2023+−2023+−2024=0+0+0+⋯+0+−2024=−2024．【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键．【变式3-3】（23-24七年级·全国·课堂例题）计算−5.13−−4.62+−8.47−−2.38时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 = + = ．【答案】 −5.13++4.62+−8.47++2.38 −5.13+−8.47++4.62++2.38 −13.6 7 −6.6【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算．【详解】解：计算−5.13−−4.62+−8.47−−2.38时，先把减法转化为加法可得−5.13++4.62+−8.47++2.38，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为−5.13+−8.47++4.62++2.38=−13.6+7=−6.6．故答案为：①−5.13++4.62+−8.47++2.38，②−5.13+−8.47++4.62++2.38，③−13.6，④7，⑤−6.6．【点睛】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】【例4】（23-24七年级·河南郑州·期中）阅读下面文字：对于−3310+−112+235+212可以如下计算：原式=−3+−310+−1+−12+2+35+2+12=−3+−1+2+2+______=0+______=______．上面这种方法叫拆项法．(1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：−202423+202334+−202256+202117．【答案】(1)−310+−12+35+12；−310+35；310(2)−21728，过程见详解。【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则．（1）根据有理数的加法法则计算；（2）参照（1）的解题思路解题即可．【详解】（1）解：−3310+−112+235+212可以如下计算：原式=−3+−310+−1+−12+2+35+2+12，=−3+−1+2+2+−310+−12+35+12=0+−310+35=310.故答案为：−310+−12+35+12；−310+35；310（2）解：−202423+202334+−202256+202117=−2024+−23+2023+34+−2022+−56+2021+17=−2024+2023+−2022+2021+−23+34+−56+17=−2+−1728=−21728.【变式4-1】计算：−201956+−201823+403623+−112【答案】−313，计算过程见解析【分析】将各带分数依据已知题的拆分方法分别拆分，再将整数部分、分数部分分别相加，根据有理数的加法法则进行计算即可得到答案.【详解】解：原式＝(−2019)+(−56)+(−2018)+(−23)+(4036+23)+(−1)+(−12)＝[(－2 019)＋(－2 018)＋4 036＋(－1)]＋(−56)+(−23)+23+(−12)＝(－2)＋(−43)＝−313.【点睛】此题考查了有理数的加法法则，利用拆分法进行计算，正确理解已知中的解题方法并正确解题是关键.【变式4-2】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）(1)计算：−1723+1634+−1513−212；(2)计算−200056+−199923+400023+−112．【答案】(1)−1834；(2)−43．【分析】（1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得；（2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得；本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．【详解】（1）解：−1723+1634+−1513−212=[(−17)+16+−15+(−2)]+−23+34+−13+−12=−18+−34，=−1834；（2）解：−200056+−199923+400023+−112=[(−2000)+−1999+4000+(−1)]+−56+−23+23+−12=0+−43，=−43．【变式4-3】（23-24七年级·全国·假期作业）计算：−2022724+−202158+−116+4044．【答案】−1112【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：−2022724+−202158+−116+4044=−2022+−724+−2021+−58+−1+−16+4044=−2022+−2021+−1+4044+−724+−58+−16=0+−1312=−1112．【题型5 有理数加法中的规律问题】【例5】（23-24七年级·江西上饶·期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【答案】D【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解；【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1则1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n-1)=12×2n×n=n2，当n=44时，n2=1936 ，当n=45时，n2=2025，∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数；故选：D．【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法.【变式5-1】（23-24七年级·全国·专题练习）小明同学在上楼梯时发现，若只有一个台阶时，有一种走法；若有两个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上两个台阶，共有2种走法；如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有3种走法，那么有四个台阶时，共有走法（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】C【分析】根据题意可知：当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法；所以可求得有五种走法．注意分类讨论思想的应用．【详解】当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有： 1、1、2；1、2、1；2、1、1；共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法：2、2；综上可知：共5种走法．故选C．【点睛】本题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的条件，列举出可能走的方法解答．【变式5-2】（23-24七年级·山东日照·阶段练习）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2000次落下时，落点处位于O点的（ ）A．右侧500个单位 B．左侧500个单位C．右侧1000个单位 D．左侧1000个单位【答案】D【分析】设从点O向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可．【详解】解：设从点O向右为正，向左为负，由题意得最后的位置标示的数即为：1+−2+3+−4+…+(−2000)，观察可以发现，1+−2=−1，3+−4=−1，5+−6=−1，∴1+−2+3+−4+…+(−2000)=−1×20002=−1000，∴此时跳蚤在原点左侧1000个单位，故选D．【点睛】此题主要考查有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是会用正负数来表示一对具有相反意义的量．同时在计算的过程中，能正确找到规律．【变式5-3】（23-24七年级·浙江台州·阶段练习）观察下面的几个算式：1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．根据上面几道题的规律，计算下面的题：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值为 【答案】81【分析】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加数最中间是5，则答案是5×5；由此推出规律计算即可.【详解】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加数最中间是5，则答案是5×5；则1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，最中间加数是9，则答案是9×9=81，故答案为81.【点睛】本题主要是对有理数规律问题的考查，准确找到规律并计算是解决本题的关键.【题型6 有理数加法的实际应用】【例6】（23-24七年级·北京·期中）德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下：①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行；②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；③各个步骤所需时间如下表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 分钟．【答案】 61 31【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据种植要求得出种植步骤是解题的关键．将所有步骤需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B；然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G；最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，然后可得答案．【详解】解：由题意，得：10+10+8+10+8+11+4=61(分钟)，即：一名学生单独完成需要61分钟，假设这两名学生为甲、乙，∵步骤C，D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B，D都完成后进行，且步骤A，B都需要10分钟完成，∴甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B，需要10分钟，然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G，需要12分钟，但此时甲同学后面多两分钟剩余，最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，还需要9分钟(减去前面剩余2分钟)，如下图所示：∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要10+12+9=31(分钟)，故答案为：61，31．【变式6-1】（23-24七年级·贵州贵阳·期末）张烨同学每天从家到学校要走1.5km，他的家与学校、超市在一条东西走向的大街上，且张烨家在学校和超市的正中间．若把张烨家、学校、超市分别看成一个点，大街看成一条直线．一天早上，张烨从家出发，先去超市买笔记本，再到学校，他一共走的路程为（ ）A．1.5km B．3km C．4.5km D．6km【答案】C【分析】此题考查了有理数加法运算的实际应用，根据题意列出算式求解即可．【详解】根据题意得，1.5+1.5+1.5=4.5km．∴他一共走的路程为4.5km．故选：D．【变式6-2】（23-24七年级·全国·假期作业）一个实验室里有10个柜子．分别用10把不同的锁锁着，但10把钥匙很相像，管理员又忘了钥匙编号（1把钥匙只能开1把锁，不能混用）．从最坏的情况考虑，至多要试开几次才能把10把锁都打开？【答案】55【分析】本题考查有理数加法的实际应用，最多试几次，就是要从最坏的情况来考虑，开第一把锁，从最坏的情况考虑，试了9次还没成功，第10次一定能打开这把锁，要开10把不同的锁的尝试的次数相加即可．【详解】解：第1把锁最多试开10次一定能打开，第2把锁最多试开9次一定能打开……第10把锁只要试开1次就能打开．所以只需试开1+2+3+⋅⋅⋅+9+10=55（次）．答：至多要试开55次才能把10把锁都打开．【变式6-3】（23-24七年级·全国·竞赛）希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．）【答案】0/0分【分析】本题考查数的运算，计算出每一局的积分和，从而求得10局积分总和．【详解】解：由题意，每一局地主赢则两个农民都输，此时三人得分总和为2+−1+−1=0分；每一局农民赢则两个农民都赢，地主输，此时三人得分总和为2+−1+−1=0分；∴10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为0分，故答案为：0．【题型7 利用有理数的加法解决幻方问题】【例7】（23-24七年级·辽宁阜新·期末）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a−b的值是 ．【答案】−3【分析】本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得a、b，最后是有理数的加法．根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得a、b的值，根据有理数的减法，可得答案．【详解】解：根据幻方的性质，则a+9=8+5，所以a=4，而a+8=5+b，则b=7，故a−b=4−7=−3，故答案为：−3．【变式7-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将−3，2，−1，0，1，−2，3，−4分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中a，b，c，d分别表示一个数，则a+b的值是（ ）A．−4 B．1 C．−2或3 D．−2【答案】C【分析】本题考查有理数的加法，根据题意利用有理数的加法法则进行计算即可．掌握有理数的加法法则是解题的关键．【详解】解：−3+2−1+0+1−2+3−4=−4，所以内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为−2，所以a=−2−(3−2−4)=1，所以d=−2−(−2+0+1)=−1，故b=−3或2，所以a+b=−2或3．故选：D．【变式7-2】（23-24七年级·全国·课后作业）【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3是一个“幻方”，则b= ．【答案】 每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等 0【分析】计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可回答结果；根据题意确定出“幻方”需要的条件，即可确定出b的值．【详解】解：观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等；因为(−1)+1+3=3，所以b+5+(−2)=3，所以b=0．故答案为：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等，0【点睛】此题考查了有理数的加法，弄清题意是解本题的关键．【变式7-3】（23-24七年级·江苏无锡·期中）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将−1，−2，−3，1，2，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经把−1、−3这两个数填入了圆圈，则ab+cd的值为 ． 【答案】2【分析】先设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可先求出b，再根据e+d−1=c+d+2=e+f−3=a−1，求出d和e，最后求出a和c，即可求出ab+cd的值．【详解】解：设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据题意可知，b+d+e−3=d+e−1，∴b−6=−1，∴b=2，∵e+d−1=c+d+2，e+d−1=e+f−3，e+d−1=a−1，∴3e+d−1=c+d+2+e+f−3+a−1=−1+−2+−3+1+2+3+4+5=9，∴e+d−1=3，e=c+3，d=f−2，∴e+d=4，e=c+3，d=f−2，∵已填−1、−3，而且b=2，∴e、d只能从−2，1，3，4，5中选，∴e=1，d=3或e=3，d=1，当e=1，d=3时，a=4，c=−2符合题意；当e=3，d=1时，c=0不符合题意，舍去；∴a=4，c=−2，∴ab+cd=2，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握．=1+37=107，故答案为：107．【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，正确理解所给的新定义是解题的关键．【变式8-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；+5※+2=+7；−3※−5=+8；−3※+4=−1；+5※−8=−3．(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．(2)计算：−3※+1※−4= ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值(2)6(3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则；（2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序；（3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题．【详解】（1）解：由题意可得，归纳※（宏)运算的运算法则：同号两数进行※（宏)运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏)运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．（2）解：−3※+1※−4，=−3※−3，=6，故答案为：6；（3）解：∵−2※+3=−1，−3※+2=−1．∴加法交换律适用；∵+4※−1※+2=−3※+2=−1，+4※−1※+2=+4※−1=−3，而−1≠−3，∴加法结合律不适用．【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法． 步骤ABCDEFG所需时间t分钟10108108114
专题2.5 有理数的加法【八大题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc14819" 【题型1 有理数的加法概念理解】 PAGEREF _Toc14819 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13859" 【题型2 有理数的加法运算】 PAGEREF _Toc13859 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc4233" 【题型3 有理数的加法运算律】 PAGEREF _Toc4233 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16596" 【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】 PAGEREF _Toc16596 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10925" 【题型5 有理数加法中的规律问题】 PAGEREF _Toc10925 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc4452" 【题型6 有理数加法的实际应用】 PAGEREF _Toc4452 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc29482" 【题型7 利用有理数的加法解决幻方问题】 PAGEREF _Toc29482 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc17409" 【题型8 有理数加法中的新定义问题】 PAGEREF _Toc17409 \h 7知识点1：有理数的加法1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则.【题型1 有理数的加法概念理解】【例1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）下列说法错误的是（ ）A．两数之和可能小于其中的一个加数 B．两数相加就是它们的绝对值相加C．两个负数相加，和取负号，绝对值相加 D．两个数若不是相反数，则相加不能得零【变式1-1】（23-24七年级·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）A．两数之和必大于任何一个加数B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加C．两负数相加和为负数，并把绝对值相减D．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相加【变式1-2】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）若有理数a+b+c<0，则（ ）A．三个数中至少有两个负数 B．三个数中有且只有一个负数C．三个数中至少有一个负数 D．三个数中有两个是正数或两个是负数【变式1-3】（23-24七年级·湖北宜昌·期中）如果a+b+c=0，且c>b>a．则下列说法中可能成立的是（ ）A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为正数，b为0【题型2 有理数的加法运算】【例2】（23-24七年级·河北廊坊·阶段练习）要使等式3○+5=−2成立，“○”中应填的运算符号为（ ）A．+ B．− C．× D．÷【变式2-1】（23-24七年级·吉林·期末）比−5大8的数是 ．【变式2-2】（23-24七年级·山西临汾·阶段练习）下面是小亮同学做的4道题，①−100+−8=−2；②0+−20=−20；③+−2023+2023=−4046；④−2023++23=−2000；其中答对的有（ ）A．1道 B．2道 C．3道 D．4道【变式2-3】（23-24七年级·河南新乡·阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为+1+−1=0，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）A．+1 B．+7 C．−1 D．−7知识点2：运算律1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。【题型3 有理数的加法运算律】【例3】（23-24七年级·广东中山·期中）下列变形，运用加法运算律正确的是（ ）A．3+−2=2+3 B．4+−6+3=−6+4+3C．5+−2+4=5+−4+2 D．16+−1++56=16+56++1【变式3-1】（23-24七年级·江西南昌·期中）计算2−4+6−8+10=(2+6+10)+(−4−8)时，运用了加法（ ）A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律【变式3-2】（23-24七年级·全国·课堂例题）计算：1+2+3+⋯+2023+−1+−2+−3+⋯+−2024．【变式3-3】（23-24七年级·全国·课堂例题）计算−5.13−−4.62+−8.47−−2.38时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 = + = ．【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】【例4】（23-24七年级·河南郑州·期中）阅读下面文字：对于−3310+−112+235+212可以如下计算：原式=−3+−310+−1+−12+2+35+2+12=−3+−1+2+2+______=0+______=______．上面这种方法叫拆项法．(1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：−202423+202334+−202256+202117．【变式4-1】计算：−201956+−201823+403623+−112【变式4-2】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）(1)计算：−1723+1634+−1513−212；(2)计算−200056+−199923+400023+−112．【变式4-3】（23-24七年级·全国·假期作业）计算：−2022724+−202158+−116+4044．【题型5 有理数加法中的规律问题】【例5】（23-24七年级·江西上饶·期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【变式5-1】（23-24七年级·全国·专题练习）小明同学在上楼梯时发现，若只有一个台阶时，有一种走法；若有两个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上两个台阶，共有2种走法；如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有3种走法，那么有四个台阶时，共有走法（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【变式5-2】（23-24七年级·山东日照·阶段练习）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2000次落下时，落点处位于O点的（ ）A．右侧500个单位 B．左侧500个单位C．右侧1000个单位 D．左侧1000个单位【变式5-3】（23-24七年级·浙江台州·阶段练习）观察下面的几个算式：1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．根据上面几道题的规律，计算下面的题：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值为 【题型6 有理数加法的实际应用】【例6】（23-24七年级·北京·期中）德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下：①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行；②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；③各个步骤所需时间如下表所示：A．−4 B．1 C．−2或3 D．−2【变式7-2】（23-24七年级·全国·课后作业）【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3是一个“幻方”，则b= ．【变式7-3】（23-24七年级·江苏无锡·期中）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将−1，−2，−3，1，2，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经把−1、−3这两个数填入了圆圈，则ab+cd的值为 ． 【题型8 有理数加法中的新定义问题】【例8】（23-24七年级·上海·假期作业）定义一种新运算“△”满足：8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10．【变式8-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）定义一种运算，设x表示不超过x的最大整数，例如2.25=2，−1.5=−2 ，据此规定计算−3.73+1.4的值为( )A．−3 B．−2 C．−1 D．4【变式8-2】（23-24七年级·甘肃定西·阶段练习）定义一种新运算：a*b=a+1b，如：1*2=1+12=32，则1*2*3= ．【变式8-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；+5※+2=+7；−3※−5=+8；−3※+4=−1；+5※−8=−3．(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．(2)计算：−3※+1※−4= ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可） 专题2.5 有理数的加法【八大题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc14819" 【题型1 有理数的加法概念理解】 PAGEREF _Toc14819 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13859" 【题型2 有理数的加法运算】 PAGEREF _Toc13859 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc4233" 【题型3 有理数的加法运算律】 PAGEREF _Toc4233 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc16596" 【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】 PAGEREF _Toc16596 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc10925" 【题型5 有理数加法中的规律问题】 PAGEREF _Toc10925 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc4452" 【题型6 有理数加法的实际应用】 PAGEREF _Toc4452 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc29482" 【题型7 利用有理数的加法解决幻方问题】 PAGEREF _Toc29482 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc17409" 【题型8 有理数加法中的新定义问题】 PAGEREF _Toc17409 \h 17知识点1：有理数的加法1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则.【题型1 有理数的加法概念理解】【例1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）下列说法错误的是（ ）A．两数之和可能小于其中的一个加数 B．两数相加就是它们的绝对值相加C．两个负数相加，和取负号，绝对值相加 D．两个数若不是相反数，则相加不能得零【答案】B【分析】根据有理数的加法法则，相反数的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：A、两数之和可能小于其中的一个加数，异号相加，和小于原来的正数，选项正确，不符合题意；B、两数相加就是它们的绝对值相加，异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值，选项错误，符合题意；C、两个负数相加，和取负号，绝对值相加，选项正确，不符合题意；D、互为相反数的两数之和为0，所以两个数若不是相反数，则相加不能得零，选项正确，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查有理数的加法法则．熟练掌握有理数的加法法则：“同号相加，取相同符号，再把绝对值相加；异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值．”是解题的关键．【变式1-1】（23-24七年级·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）A．两数之和必大于任何一个加数B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加C．两负数相加和为负数，并把绝对值相减D．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相加【答案】B【分析】根据有理数的减法运算法则，有理数的加法运算法则对各选项分析判断即可得解．【详解】A．两数之和必大于任何一个加数，错误，故本选项错误；B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加，正确，故本选项正确；C．应为两负数相加和为负数，并把绝对值相加，故本选项错误；D．应为异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把用较大的绝对值减去较小的绝对值，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题主要考查有理数的减法、有理数的加法以及绝对值的概念，掌握有理数的加减运算法则是解题关键．【变式1-2】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）若有理数a+b+c<0，则（ ）A．三个数中至少有两个负数 B．三个数中有且只有一个负数C．三个数中至少有一个负数 D．三个数中有两个是正数或两个是负数【答案】C【分析】根据有理数的加法法则，即可求解．【详解】解：∵a+b+c<0，∴a<−b+c，b+c则有大于等于0和小于0两种情况：当b+c≥0时，则a<0，且b和c当中至少有一个正数，当b+c<0时，则b<−c，此时b和c至少有一个负数，综上所述，三个数中至少有一个负数．故答案为：C【点睛】此题考查的是有理数的加法问题． 有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数．【变式1-3】（23-24七年级·湖北宜昌·期中）如果a+b+c=0，且c>b>a．则下列说法中可能成立的是（ ）A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为正数，b为0【答案】A【分析】根据有理数的加法，一对相反数的和为0，可得a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又c>b>a，那么c=b+a，进而得出可能存在的情况．【详解】解：∵ a+b+c=0，∴ a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，∵ c>b>a，∴ c=b+a，∴可能a、b为正数，c为负数；也可能a、b为负数，c为正数．故选：A．【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，掌握有理数的加法法则是解题的关键．【题型2 有理数的加法运算】【例2】（23-24七年级·河北廊坊·阶段练习）要使等式3○+5=−2成立，“○”中应填的运算符号为（ ）A．+ B．− C．× D．÷【答案】B【分析】本题考查了有理数减法运算，能根据结果判断出是减法运算是解题的关键．【详解】解：3−+5=−2，故选：A．【变式2-1】（23-24七年级·吉林·期末）比−5大8的数是 ．【答案】3【分析】本题考查了有理数加法运算，计算−5+8即可求解．【详解】解：比−5大8的数是：−5+8=3，故答案为：3．【变式2-2】（23-24七年级·山西临汾·阶段练习）下面是小亮同学做的4道题，①−100+−8=−2；②0+−20=−20；③+−2023+2023=−4046；④−2023++23=−2000；其中答对的有（ ）A．1道 B．2道 C．3道 D．4道【答案】B【分析】根据有理数加法运算法则进行解答即可．【详解】解：①−100+−8=−108，故原算式计算错误；②0+−20=−20，计算正确；③+−2023+2023=0，故原算式计算错误；④−2023++23=−2000计算正确．所以，答对的有2道．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．【变式2-3】（23-24七年级·河南新乡·阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为+1+−1=0，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）A．+1 B．+7 C．−1 D．−7【答案】C【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，属于基础题型．理解题意是解题的关键．【详解】解：由题意得：+4+−5=−1，故选：D．知识点2：运算律1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。【题型3 有理数的加法运算律】【例3】（23-24七年级·广东中山·期中）下列变形，运用加法运算律正确的是（ ）A．3+−2=2+3 B．4+−6+3=−6+4+3C．5+−2+4=5+−4+2 D．16+−1++56=16+56++1【答案】B【分析】根据有理数加法的交换律与结合律逐项判断即可得．【详解】解：A．3+−2=−2+3，则此项错误，不符合题意；B．4+−6+3=−6+4+3，则此项正确，符合题意；C．5+−2+4=5+4+−2，则此项错误，不符合题意；D．16+−1++56=16+56+−1，则此项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键．【变式3-1】（23-24七年级·江西南昌·期中）计算2−4+6−8+10=(2+6+10)+(−4−8)时，运用了加法（ ）A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律【答案】D【分析】计算2−4+6−8+10=(2+6+10)+(−4−8)，先运用加法交换律把6和10的位置-4和-8与交换，然后根据加法结合律把正数和负数分别结合在一起．【详解】解：2−4+6−8+10=2+6+10−4−8（加法交换律）=(2+6+10)+(−4−8) （加法结合律）故选：D．【点睛】本题是考查加法交换律与结合律的应用，属于基础知识，要掌握．【变式3-2】（23-24七年级·全国·课堂例题）计算：1+2+3+⋯+2023+−1+−2+−3+⋯+−2024．【答案】−2024【分析】根据有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得．【详解】解：原式=1+−1+2+−2+3+−3+⋯+2023+−2023+−2024=0+0+0+⋯+0+−2024=−2024．【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键．【变式3-3】（23-24七年级·全国·课堂例题）计算−5.13−−4.62+−8.47−−2.38时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 = + = ．【答案】 −5.13++4.62+−8.47++2.38 −5.13+−8.47++4.62++2.38 −13.6 7 −6.6【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算．【详解】解：计算−5.13−−4.62+−8.47−−2.38时，先把减法转化为加法可得−5.13++4.62+−8.47++2.38，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为−5.13+−8.47++4.62++2.38=−13.6+7=−6.6．故答案为：①−5.13++4.62+−8.47++2.38，②−5.13+−8.47++4.62++2.38，③−13.6，④7，⑤−6.6．【点睛】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】【例4】（23-24七年级·河南郑州·期中）阅读下面文字：对于−3310+−112+235+212可以如下计算：原式=−3+−310+−1+−12+2+35+2+12=−3+−1+2+2+______=0+______=______．上面这种方法叫拆项法．(1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：−202423+202334+−202256+202117．【答案】(1)−310+−12+35+12；−310+35；310(2)−21728，过程见详解。【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则．（1）根据有理数的加法法则计算；（2）参照（1）的解题思路解题即可．【详解】（1）解：−3310+−112+235+212可以如下计算：原式=−3+−310+−1+−12+2+35+2+12，=−3+−1+2+2+−310+−12+35+12=0+−310+35=310.故答案为：−310+−12+35+12；−310+35；310（2）解：−202423+202334+−202256+202117=−2024+−23+2023+34+−2022+−56+2021+17=−2024+2023+−2022+2021+−23+34+−56+17=−2+−1728=−21728.【变式4-1】计算：−201956+−201823+403623+−112【答案】−313，计算过程见解析【分析】将各带分数依据已知题的拆分方法分别拆分，再将整数部分、分数部分分别相加，根据有理数的加法法则进行计算即可得到答案.【详解】解：原式＝(−2019)+(−56)+(−2018)+(−23)+(4036+23)+(−1)+(−12)＝[(－2 019)＋(－2 018)＋4 036＋(－1)]＋(−56)+(−23)+23+(−12)＝(－2)＋(−43)＝−313.【点睛】此题考查了有理数的加法法则，利用拆分法进行计算，正确理解已知中的解题方法并正确解题是关键.【变式4-2】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）(1)计算：−1723+1634+−1513−212；(2)计算−200056+−199923+400023+−112．【答案】(1)−1834；(2)−43．【分析】（1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得；（2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得；本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．【详解】（1）解：−1723+1634+−1513−212=[(−17)+16+−15+(−2)]+−23+34+−13+−12=−18+−34，=−1834；（2）解：−200056+−199923+400023+−112=[(−2000)+−1999+4000+(−1)]+−56+−23+23+−12=0+−43，=−43．【变式4-3】（23-24七年级·全国·假期作业）计算：−2022724+−202158+−116+4044．【答案】−1112【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：−2022724+−202158+−116+4044=−2022+−724+−2021+−58+−1+−16+4044=−2022+−2021+−1+4044+−724+−58+−16=0+−1312=−1112．【题型5 有理数加法中的规律问题】【例5】（23-24七年级·江西上饶·期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【答案】D【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解；【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1则1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n-1)=12×2n×n=n2，当n=44时，n2=1936 ，当n=45时，n2=2025，∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数；故选：D．【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法.【变式5-1】（23-24七年级·全国·专题练习）小明同学在上楼梯时发现，若只有一个台阶时，有一种走法；若有两个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上两个台阶，共有2种走法；如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有3种走法，那么有四个台阶时，共有走法（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】C【分析】根据题意可知：当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法；所以可求得有五种走法．注意分类讨论思想的应用．【详解】当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有： 1、1、2；1、2、1；2、1、1；共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法：2、2；综上可知：共5种走法．故选C．【点睛】本题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的条件，列举出可能走的方法解答．【变式5-2】（23-24七年级·山东日照·阶段练习）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2000次落下时，落点处位于O点的（ ）A．右侧500个单位 B．左侧500个单位C．右侧1000个单位 D．左侧1000个单位【答案】D【分析】设从点O向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可．【详解】解：设从点O向右为正，向左为负，由题意得最后的位置标示的数即为：1+−2+3+−4+…+(−2000)，观察可以发现，1+−2=−1，3+−4=−1，5+−6=−1，∴1+−2+3+−4+…+(−2000)=−1×20002=−1000，∴此时跳蚤在原点左侧1000个单位，故选D．【点睛】此题主要考查有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是会用正负数来表示一对具有相反意义的量．同时在计算的过程中，能正确找到规律．【变式5-3】（23-24七年级·浙江台州·阶段练习）观察下面的几个算式：1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．根据上面几道题的规律，计算下面的题：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值为 【答案】81【分析】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加数最中间是5，则答案是5×5；由此推出规律计算即可.【详解】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加数最中间是5，则答案是5×5；则1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，最中间加数是9，则答案是9×9=81，故答案为81.【点睛】本题主要是对有理数规律问题的考查，准确找到规律并计算是解决本题的关键.【题型6 有理数加法的实际应用】【例6】（23-24七年级·北京·期中）德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下：①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行；②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；③各个步骤所需时间如下表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 分钟．【答案】 61 31【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据种植要求得出种植步骤是解题的关键．将所有步骤需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B；然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G；最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，然后可得答案．【详解】解：由题意，得：10+10+8+10+8+11+4=61(分钟)，即：一名学生单独完成需要61分钟，假设这两名学生为甲、乙，∵步骤C，D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B，D都完成后进行，且步骤A，B都需要10分钟完成，∴甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B，需要10分钟，然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G，需要12分钟，但此时甲同学后面多两分钟剩余，最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，还需要9分钟(减去前面剩余2分钟)，如下图所示：∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要10+12+9=31(分钟)，故答案为：61，31．【变式6-1】（23-24七年级·贵州贵阳·期末）张烨同学每天从家到学校要走1.5km，他的家与学校、超市在一条东西走向的大街上，且张烨家在学校和超市的正中间．若把张烨家、学校、超市分别看成一个点，大街看成一条直线．一天早上，张烨从家出发，先去超市买笔记本，再到学校，他一共走的路程为（ ）A．1.5km B．3km C．4.5km D．6km【答案】C【分析】此题考查了有理数加法运算的实际应用，根据题意列出算式求解即可．【详解】根据题意得，1.5+1.5+1.5=4.5km．∴他一共走的路程为4.5km．故选：D．【变式6-2】（23-24七年级·全国·假期作业）一个实验室里有10个柜子．分别用10把不同的锁锁着，但10把钥匙很相像，管理员又忘了钥匙编号（1把钥匙只能开1把锁，不能混用）．从最坏的情况考虑，至多要试开几次才能把10把锁都打开？【答案】55【分析】本题考查有理数加法的实际应用，最多试几次，就是要从最坏的情况来考虑，开第一把锁，从最坏的情况考虑，试了9次还没成功，第10次一定能打开这把锁，要开10把不同的锁的尝试的次数相加即可．【详解】解：第1把锁最多试开10次一定能打开，第2把锁最多试开9次一定能打开……第10把锁只要试开1次就能打开．所以只需试开1+2+3+⋅⋅⋅+9+10=55（次）．答：至多要试开55次才能把10把锁都打开．【变式6-3】（23-24七年级·全国·竞赛）希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．）【答案】0/0分【分析】本题考查数的运算，计算出每一局的积分和，从而求得10局积分总和．【详解】解：由题意，每一局地主赢则两个农民都输，此时三人得分总和为2+−1+−1=0分；每一局农民赢则两个农民都赢，地主输，此时三人得分总和为2+−1+−1=0分；∴10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为0分，故答案为：0．【题型7 利用有理数的加法解决幻方问题】【例7】（23-24七年级·辽宁阜新·期末）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a−b的值是 ．【答案】−3【分析】本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得a、b，最后是有理数的加法．根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得a、b的值，根据有理数的减法，可得答案．【详解】解：根据幻方的性质，则a+9=8+5，所以a=4，而a+8=5+b，则b=7，故a−b=4−7=−3，故答案为：−3．【变式7-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将−3，2，−1，0，1，−2，3，−4分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中a，b，c，d分别表示一个数，则a+b的值是（ ）A．−4 B．1 C．−2或3 D．−2【答案】C【分析】本题考查有理数的加法，根据题意利用有理数的加法法则进行计算即可．掌握有理数的加法法则是解题的关键．【详解】解：−3+2−1+0+1−2+3−4=−4，所以内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为−2，所以a=−2−(3−2−4)=1，所以d=−2−(−2+0+1)=−1，故b=−3或2，所以a+b=−2或3．故选：D．【变式7-2】（23-24七年级·全国·课后作业）【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3是一个“幻方”，则b= ．【答案】 每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等 0【分析】计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可回答结果；根据题意确定出“幻方”需要的条件，即可确定出b的值．【详解】解：观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等；因为(−1)+1+3=3，所以b+5+(−2)=3，所以b=0．故答案为：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等，0【点睛】此题考查了有理数的加法，弄清题意是解本题的关键．【变式7-3】（23-24七年级·江苏无锡·期中）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将−1，−2，−3，1，2，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经把−1、−3这两个数填入了圆圈，则ab+cd的值为 ． 【答案】2【分析】先设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可先求出b，再根据e+d−1=c+d+2=e+f−3=a−1，求出d和e，最后求出a和c，即可求出ab+cd的值．【详解】解：设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据题意可知，b+d+e−3=d+e−1，∴b−6=−1，∴b=2，∵e+d−1=c+d+2，e+d−1=e+f−3，e+d−1=a−1，∴3e+d−1=c+d+2+e+f−3+a−1=−1+−2+−3+1+2+3+4+5=9，∴e+d−1=3，e=c+3，d=f−2，∴e+d=4，e=c+3，d=f−2，∵已填−1、−3，而且b=2，∴e、d只能从−2，1，3，4，5中选，∴e=1，d=3或e=3，d=1，当e=1，d=3时，a=4，c=−2符合题意；当e=3，d=1时，c=0不符合题意，舍去；∴a=4，c=−2，∴ab+cd=2，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握．=1+37=107，故答案为：107．【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，正确理解所给的新定义是解题的关键．【变式8-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；+5※+2=+7；−3※−5=+8；−3※+4=−1；+5※−8=−3．(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．(2)计算：−3※+1※−4= ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值(2)6(3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则；（2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序；（3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题．【详解】（1）解：由题意可得，归纳※（宏)运算的运算法则：同号两数进行※（宏)运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏)运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．（2）解：−3※+1※−4，=−3※−3，=6，故答案为：6；（3）解：∵−2※+3=−1，−3※+2=−1．∴加法交换律适用；∵+4※−1※+2=−3※+2=−1，+4※−1※+2=+4※−1=−3，而−1≠−3，∴加法结合律不适用．【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法． 步骤ABCDEFG所需时间t分钟10108108114
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