数学八年级下册16.1 二次根式巩固练习

这是一份数学八年级下册16.1 二次根式巩固练习，共42页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16785" 【题型1 二次根式双重非负性的运用】 PAGEREF _Tc16785 \h 1
\l "_Tc9218" 【题型2 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc9218 \h 1
\l "_Tc13208" 【题型3 二次根式的运算与求值技巧】 PAGEREF _Tc13208 \h 3
\l "_Tc8074" 【题型4 二次根式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc8074 \h 3
\l "_Tc3396" 【题型5 利用分母有理化求值】 PAGEREF _Tc3396 \h 4
\l "_Tc27218" 【题型6 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc27218 \h 6
\l "_Tc28585" 【题型7 二次根式的规律探究】 PAGEREF _Tc28585 \h 8
\l "_Tc7309" 【题型8 二次根式的实际应用】 PAGEREF _Tc7309 \h 9
【题型1 二次根式双重非负性的运用】
【例1】（2023春·天津和平·八年级耀华中学校考期中）若实数a，b，c满足关系式a−199+199−a=2a+b−c+b−6，则c＝ ．
【变式1-1】（2023春·全国·八年级期中）已知实数x，y，a，b满足3x−y−7+x−2y−4=a+b−2022×2022−a−b．求a+b的值及7x−y2023的值．
【变式1-2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：x3(y−x)3+x3(z−x)3=y−x−x−z，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（ ）
A．0B．1C．3D．条件不足，无法计算
【变式1-3】（2023秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，且满足mx−m+my−m=x−m−m−y，则3x2+xy−y2x2−xy+5y2的值为 ．
【题型2 复合二次根式的化简】
【例2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．
再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2 =(3+2)2= 3 +2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：12+235；
(2)化简：17−415；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式2-1】（2023秋·上海·八年级期中）当x=4时，x−23x2−43x+12−x+23x2+43x+12的值为（ ）
A．1B．3C．2D．3
【变式2-2】（2023春·广东韶关·八年级校考期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+2b=m+2n2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b=m2+22mn+2n2，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若a+43=m+3n2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：7−21+80．
【变式2-3】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为正整数），
则有a+b2=m2+2n2+2mn2（有理数和无理数分别对应相等），
∴a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b2化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a=________，b=________；
(2)若7−43=e−f32，且e、f均为正整数，试化简：7−43；
(3)化简：7+21−80．
【题型3 二次根式的运算与求值技巧】
【例3】（2023·八年级单元测试）若a=122+18−182，求a2+a4+a+1的值.
【变式3-1】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣x2−2016）（y﹣y2−2016）＝2016．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
【变式3-2】（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【变式3-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）当x=1+19942时，多项式4x3−1997x−19942019的值为( ).
A．1B．−1C．22002D．−22001
【题型4 二次根式中的新定义问题】
【例4】（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数m、n，若定义新运算：m∯n=m−n(m≥n)m+n(mA．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-1】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为fz(x)，
即：当n为非负整数时，如果n−12≤x如：fz(0)=fz(0.48)=0，fz(0.64)=fz(1.49)=1，fz(4)=fz(3.68)=4，⋯
试解决下列问题：
①fz(3)= ；②fz(32+3)= ；
③1fz(12+1)⋅fz(22+2)+1fz(22+2)⋅fz(32+3)+1fz(32+3)⋅fz(42+4)+⋯
+1fz(20172+2017)⋅fz(20182+2018)= ．
【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）将n个0或2排列在一起组成一个数组，记为A=t1,t2,⋯,tn，其中t1，t2，…，tn取0或2，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．例如：0,2，2,2都是2元完美数组，2,0,0,0，2,0,0,2都是4元完美数组．
定义以下两个新运算：
新运算1：对于x∗y=x+y−x−y，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M=x1,x2,⋯,xn和N=y1,y2,⋯,yn，
M⊕N=12x1∗y1+x2∗y2+⋯+xn∗yn．例如：对于3元完美数组
M=2,2,2和N=0,0,2，有M⊕N=12×(0+0+22)=2．
(1)①在3,2，2,0，2,2,0中是2元完美数组的有______；
②设A=2,0,2，B=2,0,0，则A⊕B=______；
(2)已知完美数组M=2,2,2,0，求出所有4元完美数组N，使得M⊕N=22；
(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊕D=0，则m的最大可能值是______．
【变式4-3】（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将a+b与a−b称为一对“对偶式”．因为
a+ba−b=a2−b2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知18−x−11−x=1，求18−x+11−x的值，可以这样解答：
因为18−x−11−x×18−x+11−x=18−x2−11−x2=18−x−11+x=7，
所以18−x+11−x=7．
(1)已知：20−x+4−x=8，求：
①20−x−4−x=________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：20−x+4−x=8；
(2)代数式10−x+x−2中x的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算：131+3+153+35+175+57+⋯+120232021+20212023．
【题型5 利用分母有理化求值】
【例5】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，可以将其进一步化简：
23+1=23−13+13−1=23−132−1=23−12=3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：13+1+15+3+17+5+⋯+12019+2017．
(2)已知m是正整数，a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−m，a+b+3ab=2021，求m．
(3)已知15+x2−26−x2=1，则15+x2+26−x2的值为?
【变式5-1】（2023秋·山西临汾·八年级校联考期末）阅读下列解题过程：
15+4=1×5−45+45−4=5−452−42=5−4
16+5=1×6−56+56−5=6−562−52=6−5
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出1n+1+n=______；
（2）利用上面的解法，请化简：11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12019+2020+12020+2021
（3）12−11和13−12的值哪个较大，请说明理由．
【变式5-2】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：
2−1>3−2，
3−2>2−3，
2−3>5−2，
5−2>6−5，
…
根据以上规律可知：2021−2020______2022−2021（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1，
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2，
14+3=4−3(4+3)(4−3)＝4−3，
…
根据观察，请写出式子1n+n−1（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：|12+1−13+2|+|13+2−14+3|+|14+3−15+4|+•••+|1100+99−1101+100|．
【变式5-3】（2023春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
7−6=7−67+67+6=17+6，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
7−6=17+6， 6−5=16+5，
因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2，
当x=2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1−x+1+x−x的最大值和最小值．
【题型6 二次根式中的阅读理解类问题】
【例6】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）阅读材料：基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0)当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+1x有最小值？最小值是多少？
解：∵x＞0，1x＞0，∴x+1x2 ≥x·1x，∴x+1x≥2，当且仅当x＝1x时，即x=1时，有x+1x有最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）填空：当x>0时，设y=x+4x，则当且仅当x=____时，y有最____值为_______；
（2）若x＞0，函数y=2x+1x，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值．
【变式6-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当a,b都是正数时，①若ab>1，则a>b；②若ab=1，则a=b；③ab<1，则a我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．
(1)请用上述方法比较57与75的大小；
(2)写出a+1a+2与a+2a+3（a为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
【变式6-2】（2023秋·陕西榆林·八年级统考期中）阅读并回答下面问题：
计算：2+3+12+2−3−12．
设x=2+3，y=2−3．
原式=x+12+y−12
=x2+2x+1+y2−2y+1
=x2+y2+2x−y+2．
因为x=2+3，y=2−3，
所以x2+y2=10，x−y=23．
原式=10+2×23+2=12+43．
(1)填空：①3+53−5=__________；
②3+52+3−52=__________．
(2)请仿照上面的方法计算：3+5+22+3−5−22．
【变式6-3】（2023春·贵州遵义·八年级统考期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：1−3x2−1−x．
解：隐含条件1−3x≥0,，解得x≤13，
∴1−x>0，
∴原式=1−3x−1−x=1−3x−1+x=−2x．
(1)试化简：(x−3)2−(2−x)2；
(2)已知a、b满足(2−a)2=a+3,a−b+1=a−b+1，求ab的值．
【题型7 二次根式的规律探究】
【例7】（2023春·安徽滁州·八年级校联考期末）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①13=1；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+(n+1)=__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①13+23+33+…+993+1003；
②113+123+133+…+193+203．
【变式7-1】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A．n2−1B．n2−2C．n2−3D．n2−4
【变式7-2】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，……
请利用你所发现的规律，
计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212，其结果为 ．
【变式7-3】（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校联考期末）已知：223=223；338=338；4415=4415；5524=5524……按此规律，请表示出第2021个式子 ．
【题型8 二次根式的实际应用】
【例8】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积pp−ap−bp−c．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边a=3，b=5，c=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为5、6，7，请求出三角形的面积；
(3)若p=8，a=4，求此时三角形面积的最大值．
【变式8-1】（2023春·陕西安康·八年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为72米，宽AB为32米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为8+1米，宽为8−1米．
(1)求长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【变式8-2】（2023秋·四川资阳·八年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知557=767，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是767的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[x]．这里[x]=x−a，[x]+a=x，其中[x]是一个整数，0≤a<1，a称为实数x的小数部分，记作Zx，所以有x=[x]+{Zx}．例如，[−14.3]=−15，{Z2.45}=0.45．
关于取整运算有部分性质如下：
①x−1<[x]⩽x
②若n为整数，则[x+n]=[x]+n
请根据以上材料，解决问题：
(1)[10]=___________；若m=[−π]，n={Z−π}，则m2+mn=___________；
(2)记M=12+1+13+2+12+3+⋯+12022+2021，求[M]；
(3)解方程：[3x+49]=6x−73．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．
专题16.7 二次根式章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16785" 【题型1 二次根式双重非负性的运用】 PAGEREF _Tc16785 \h 1
\l "_Tc9218" 【题型2 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc9218 \h 3
\l "_Tc13208" 【题型3 二次根式的运算与求值技巧】 PAGEREF _Tc13208 \h 7
\l "_Tc8074" 【题型4 二次根式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc8074 \h 9
\l "_Tc3396" 【题型5 利用分母有理化求值】 PAGEREF _Tc3396 \h 15
\l "_Tc27218" 【题型6 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc27218 \h 20
\l "_Tc28585" 【题型7 二次根式的规律探究】 PAGEREF _Tc28585 \h 25
\l "_Tc7309" 【题型8 二次根式的实际应用】 PAGEREF _Tc7309 \h 28
【题型1 二次根式双重非负性的运用】
【例1】（2023春·天津和平·八年级耀华中学校考期中）若实数a，b，c满足关系式a−199+199−a=2a+b−c+b−6，则c＝ ．
【答案】404
【分析】根据二次根式有意义条件求得a＝199，然后由非负数的性质求得b、c的值．
【详解】解：根据题意，得a−199=0199−a=0，
解得a＝199，
则2a+b−c+b−6=0，
所以2×199+b−c=0b−6=0，
解得b=6c=404，
故答案为：404．
【点睛】本题考查二次根式的意义和性质，熟知相关知识点是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·全国·八年级期中）已知实数x，y，a，b满足3x−y−7+x−2y−4=a+b−2022×2022−a−b．求a+b的值及7x−y2023的值．
【答案】15
【分析】根据算术平方根的非负性列方程和不等式计算即可．
【详解】解：由已知，得a+b−2022≥02022−a−b≥0，
∴a+b−2022=0，∴a+b=2022，
∴3x−y−7+x−2y−4=0，
∴3x−y−7=0x−2y−4=0，解得x=2y=−1，
∴7x−y2023=7×2−−12013=14+1=15．
【点睛】本题考查二次根式的乘法、非负数的性质、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的乘法以及非负数的性质是解答本题的关键．
【变式1-2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：x3(y−x)3+x3(z−x)3=y−x−x−z，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（ ）
A．0B．1C．3D．条件不足，无法计算
【答案】A
【分析】首先根据二次根式的被开方数为非负数与x、y、z是两两不等的实数，即可求得：x为0，y与z互为相反数，据此即可求得代数式的值．
【详解】解：根据题意得：x3y−x3≥0x3z−x3≥0y−x>0x−z>0
∴y>x>z，
∴y−x>0，z−x<0，
∴由x3(y−x)3≥0可得x≥0，由x3(z−x)3≥0可得x≤0，
∴x=0，
∴y−x−x−z=0，
∴y−−z=0，
∴y=−z，
∴x3+y3+z3−3xyz=−z3+z3=0．
【点睛】此题考查了二次根式成立的条件与不等式组解集的求解方法，代数式求值问题，找到x，y，z的关系是求解本题的关键．
【变式1-3】（2023秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，且满足mx−m+my−m=x−m−m−y，则3x2+xy−y2x2−xy+5y2的值为 ．
【答案】17
【分析】根据被开方数是非负数，确定出m=0，x=−y，代入原式即可解决问题．
【详解】解：∵m，x，y是两两不相等的实数且满足m(x−m)+m(y−m)=x−m−m−y，
又∵ m−y≥0x−m≥0m(y−m)≥0m(x−m)≥0，
∴m=0，x=−y，x≠0，y≠0，
∴原式=3y2−y2−y2y2+y2+5y2=17．
故答案为：17
【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出m=0，x=−y，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型．
【题型2 复合二次根式的化简】
【例2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．
再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2 =(3+2)2= 3 +2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：12+235；
(2)化简：17−415；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)5+7
(2)23−5
(3)14或46
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）12+235=52+2×5×7+72=(7+5)2=5+7
（2）17−415=12−415+5=232−2×23×5+52=23−52=23−5
（3）∵a+65=m2+5n2+5，
∴a=m2+5n2，6=2mn，
∴mn=3
又∵a、m、n为正整数，
∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，
∴当m=1,n=3时，a=46；
当m=3,n=1时，a=14．
∴a的值为：14或46．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
【变式2-1】（2023秋·上海·八年级期中）当x=4时，x−23x2−43x+12−x+23x2+43x+12的值为（ ）
A．1B．3C．2D．3
【答案】A
【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式=x−23x−232−x+23x+232
=1x−23−1x+23
将x=4代入得，
原式=14−23−14+23
=11−32−11+32
=13−1−11+3
=1+3−3+13−11+3
=1.
故选：A.
【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
【变式2-2】（2023春·广东韶关·八年级校考期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+2b=m+2n2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b=m2+22mn+2n2，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若a+43=m+3n2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：7−21+80．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）5﹣1．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到m+6n2=m2+26mn+6n2，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】解：（1）∵a+6b=m+6n2=m2+26mn+6n2，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵a+43=m+3n2=m2+23mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵21+80=20+45+1=25+12=25+1，
则7−21+80=7−25+1=6−25=5−12=5−1．
【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.
【变式2-3】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为正整数），
则有a+b2=m2+2n2+2mn2（有理数和无理数分别对应相等），
∴a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b2化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a=________，b=________；
(2)若7−43=e−f32，且e、f均为正整数，试化简：7−43；
(3)化简：7+21−80．
【答案】(1)c2+3d2，2cd
(2)2−32
(3)1+5
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；
（2）将7−43变为22−2×2×3+32即可求解；
（3）将7+21−80化为1+52进行求解即可．
【详解】（1）解：∵c+d32=c2+23cd+3d2=c2+3d2+23cd，
∴a=c2+3d2，b=2cd，
故答案为：c2+3d2，2cd；
（2）∵7−43=4−2×2×3+3=22−2×2×3+32=2−32，
∴7−43=2−32；
（3）7+21−80
=7+1−45+20=7+1−252
=7+25−1
=6+25
=1+25+5
=1+52
=1+5．
【点睛】此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解．
【题型3 二次根式的运算与求值技巧】
【例3】（2023·八年级单元测试）若a=122+18−182，求a2+a4+a+1的值.
【答案】2.
【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.
【详解】∵a+1822=122+182，
∴a2+24a=24．
∴a2=241−a．
∴a4+a+1=181−a2+a+1=a+328．
∵a>0，
∴a2+a4+a+1=241−a+24a+3=2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.
【变式3-1】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣x2−2016）（y﹣y2−2016）＝2016．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
【答案】（1）x=y；（2）-1.
【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣x2−2016＝y+y2−2016，同理得②式：x+x2−2016＝y﹣y2−2016，将两式相加可得结论；
（2）将x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式结合x2=2016，计算即可．
【详解】解：（1）∵（x﹣x2−2016）（y﹣y2−2016）＝2016，
∴x﹣x2−2016＝2016y−y2−2016＝2016(y+y2−2016)y2−y2−2016＝y+y2−2016①，
同理得：x+x2−2016＝y﹣y2−2016②，
①+②得：2x＝2y，
∴x＝y，
（2）把x＝y代入①得：x－x2−2016＝x+x2−2016，
∴x2＝2016，
则3x2－2y2+3x－3y－2017，
＝3x2－2x2+3x－3x－2017，
＝x2－2017，
＝2016－2017，
＝－1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简, 掌握分母有理化的方法是解题的关键.
【变式3-2】（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【答案】18﹣123．
【分析】首先根据二次根式有意义求出x 、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，
∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，
解得：x＝14，
∴y＝13，
∴23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
＝2xx+2xy﹣xx﹣5xy
＝xx﹣3xy
＝1414﹣314×13
＝18−32．
【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．
【变式3-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）当x=1+19942时，多项式4x3−1997x−19942019的值为( ).
A．1B．−1C．22002D．−22001
【答案】B
【分析】由原式得2x−12=1994，得4x2−4x+1=1994，原式变形后再将4x2−4x+1=1994代和可得出答案.
【详解】∵x=1+19942，
∴2x−12=1994，即4x2−4x−1993=0，
∴4x3−1997x−1994=x4x2−4x−1993+4x2−4x−1993−1=−1．
∴原式=−12019=−1．
【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.
【题型4 二次根式中的新定义问题】
【例4】（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数m、n，若定义新运算：m∯n=m−n(m≥n)m+n(mA．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：①∵27>12，
∴27∯12 =27−12 =33−23 =3，
∴①的说法正确；
②等式的左边=11+2+12+3+...+12022+2023
=2−1(2+1)(2−1)+3−2(3+2)(3−2)+...+2023−2022(2023+2022)(2023−2022)
=2−1+3−2+...+2023−2022
=2023−1．
等式的右边=2023−1 =2023−1．
∴等式成立，
∴②的说法正确；
③当x≥y时，
左边=(x−y)(y+x)
=(x−y)(x+y)
=(x)2−(y)2
=x−y
=|x−y|
=右边，
当x左边=(x+y)(y−x)
=(y)2−(x)2
=y−x
=|x−y|
=右边，
综上，③的说法正确；
④x2∯(x2−4x+4)
=x2−(x−2)2
=x−(x−2)
=x−x+2
=2，
由题意可知：x2≥x2−4x+4，
∴x≥1，
∴④的说法不正确．
综上，说法正确的有①②③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为fz(x)，
即：当n为非负整数时，如果n−12≤x如：fz(0)=fz(0.48)=0，fz(0.64)=fz(1.49)=1，fz(4)=fz(3.68)=4，⋯
试解决下列问题：
①fz(3)= ；②fz(32+3)= ；
③1fz(12+1)⋅fz(22+2)+1fz(22+2)⋅fz(32+3)+1fz(32+3)⋅fz(42+4)+⋯
+1fz(20172+2017)⋅fz(20182+2018)= ．
【答案】 2 3 20172018
【详解】1、fz(3)=fz(1.732)=2；
2、根据题意，先推导出f(n2+n)等于什么，
（1）∵n2+n∴n2+n（2）再比较n2+n与n−12的大小关系，
①当n=0时，n2+n>n−12；
②当n为正整数时，∵n2+n−n−122 =2n−14>0，
∴n2+n>n−122，
∴n2+n>n−12，
综合（1）、（2）可得：n−12∴fz(n2+n)=n，
∴fz(32+3)=3．
3、∵fz(n2+n)=n，
∴1fz(12+1)⋅fz(22+2)+1fz(22+2)⋅fz(32+3)+1fz(32+3)⋅fz(42+4)+⋯+1fz(20172+2017)⋅fz(20182+2018)
=11×2+12×3+13−4+⋯+12017×2018
=1−12+12−13+13−14+⋯+12017−12018
=1−12018
=20172018．
故答案为（1）2；（2）3；（3）20172018.
点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，n−12【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）将n个0或2排列在一起组成一个数组，记为A=t1,t2,⋯,tn，其中t1，t2，…，tn取0或2，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．例如：0,2，2,2都是2元完美数组，2,0,0,0，2,0,0,2都是4元完美数组．
定义以下两个新运算：
新运算1：对于x∗y=x+y−x−y，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M=x1,x2,⋯,xn和N=y1,y2,⋯,yn，
M⊕N=12x1∗y1+x2∗y2+⋯+xn∗yn．例如：对于3元完美数组
M=2,2,2和N=0,0,2，有M⊕N=12×(0+0+22)=2．
(1)①在3,2，2,0，2,2,0中是2元完美数组的有______；
②设A=2,0,2，B=2,0,0，则A⊕B=______；
(2)已知完美数组M=2,2,2,0，求出所有4元完美数组N，使得M⊕N=22；
(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊕D=0，则m的最大可能值是______．
【答案】(1)①2,0；②2
(2)N=2,2,0,2或2,0,2,2或0,2,2,2或2,2,0,0或2,0,2,0或0,2,2,0．
(3)2023
【分析】（1）①根据定义直接判定即可；
②根据定义直接计算即可；
（2）由定义可知当x=y时，x∗y=2x，当x≠y时，x∗y=0，当x∗y=22或0，再由此求解即可；
（3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可．
【详解】（1）解：①∵3,2中有3，
∴3,2不是2元完美数组；
∵2,0中只有2和0，且有2个数，
∴2,0是2元完美数组；
∵2,2,0中有3个数，
∴2,2,0不是2元完美数组；
故答案为：2,0．
②A⊕B=122∗2+0∗0+2∗0
=122+2−2−2+0+0−0−0+2+0−2−0
=12×22
=2．
故答案为：2．
（2）解：∵x∗y=x+y−x−y，
∴当x=y时，x∗y=2x，当x≠y时，x∗y=0，
当x∗y=2x时，x∗y=22或0，
∵M⊕N=22，
∴x1∗y1+x2∗y2+x3∗y3+x4∗y4=42，
∵M=2,2,2,0，
∴N=2,2,0,2或2,0,2,2或0,2,2,2或2,2,0,0或2,0,2,0或0,2,2,0．
（3）解：∵C⊕D=0，
∴C、D中对应的元都不相等或C、D中对应的元都相等且为0，
∵C、D是不同的两个完美数组，
∴C、D中对应的元都不相等，
∴m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同．
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将a+b与a−b称为一对“对偶式”．因为
a+ba−b=a2−b2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知18−x−11−x=1，求18−x+11−x的值，可以这样解答：
因为18−x−11−x×18−x+11−x=18−x2−11−x2=18−x−11+x=7，
所以18−x+11−x=7．
(1)已知：20−x+4−x=8，求：
①20−x−4−x=________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：20−x+4−x=8；
(2)代数式10−x+x−2中x的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算：131+3+153+35+175+57+⋯+120232021+20212023．
【答案】(1)①2；②x=−5
(2)2≤x≤10，10，2
(3)12−20234046
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵20−x+4−x20−x−4−x=20−x2−4−x2=20−x−4+x=16，
∴20−x−4−x=2；
故答案为：2
② 由①得20−x−4−x=2，已知20−x+4−x=8，两式相加得到，
220−x=10，
即20−x=5，
则20−x=25，解得x=−5，
经检验，x=−5满足题意，
即方程20−x+4−x=8的解是x=−5；
（2）解：由二根式有意义的条件得到10−x≥0x−2≥0，
解得2≤x≤10，
即x的取值范围是2≤x≤10，x的最大值是10，x的最小值是2；
故答案为：2≤x≤10，10，2
（3）131+3+153+35+175+57+⋯+120232021+20212023
=133+1+1155+3+1357+5+⋯+12023×20212023+2021 =3−133+13−1+5−3155+35−3+7−5357+57−5+⋯+
2023−20212023×20212023+20212023−2021
=3−123+5−3215+7−5235+⋯+2023−202122023×2021
=121−13+13−15+15−17+⋯+12021−12023
=121−12023
=12−20234046
【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
【题型5 利用分母有理化求值】
【例5】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，可以将其进一步化简：
23+1=23−13+13−1=23−132−1=23−12=3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：13+1+15+3+17+5+⋯+12019+2017．
(2)已知m是正整数，a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−m，a+b+3ab=2021，求m．
(3)已知15+x2−26−x2=1，则15+x2+26−x2的值为?
【答案】(1)2019−12
(2)504
(3)9
【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；
（2）a、b互为倒数，分母有理化后可得a+b的值，代入所求式子即可；
（3）设a=15+x2，b=26−x2，则a2+b2=41，利用已知等式导出2ab=40，根据完全平方公式计算出a+b即为所求．
【详解】（1）解：13+1+15+3+17+5+⋯+12019+2017
=1223+1+25+3+27+5+⋯+22019+2017
=123−1+5−3+7−5+⋯+2019−2017
=122019−1
=2019−12；
（2）∵a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−m，
∴a=(m+1−m)2，b=(m+1+m)2，ab=1，
∴a+b=(m+1−m)2+(m+1+m)2=4m+2，
∴a+b+3ab=2021，
∴4m+2+3=2021，
∴m=504；
（3）设a=15+x2，b=26−x2，则a2+b2=41，
∴ 15+x2−26−x2=1，
∴a−b=1，
∴(a−b)2=1，
∴a2+b2−2ab=1，
∴2ab=40，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab=41+40=81，
∴a+b=±9．（−9舍去），
∴ 15+x2+26−x2=9．
【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法．
【变式5-1】（2023秋·山西临汾·八年级校联考期末）阅读下列解题过程：
15+4=1×5−45+45−4=5−452−42=5−4
16+5=1×6−56+56−5=6−562−52=6−5
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出1n+1+n=______；
（2）利用上面的解法，请化简：11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12019+2020+12020+2021
（3）12−11和13−12的值哪个较大，请说明理由．
【答案】（1）n+1−n；（2）2021−1；（3）12−11>13−12，见解析
【分析】（1）把分子分母都乘以(5+2)，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）由（1）的方法可得，12−11=112+11， 13−12=113+12，根据12+11<13+12可得 112+11>113+12，据此判断即可．
【详解】解：（1）1n+1+n=n+1−nn+1+nn+1−n=n+1−n；
（2）11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12019+2020+12020+2021 =2−1+3−2+4−3+⋅⋅⋅+2020−2019+2021−2020
=2−1+3−2+4−3+⋅⋅⋅+2020−2019+2021−2020
=2021−1
（3）由（1）的方法可得，
12−11=112+11
13−12=113+12
∵12+11<13+12
∴112+11>113+12
即，12−11>13−12．
【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
【变式5-2】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：
2−1>3−2，
3−2>2−3，
2−3>5−2，
5−2>6−5，
…
根据以上规律可知：2021−2020______2022−2021（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1，
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2，
14+3=4−3(4+3)(4−3)＝4−3，
…
根据观察，请写出式子1n+n−1（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：|12+1−13+2|+|13+2−14+3|+|14+3−15+4|+•••+|1100+99−1101+100|．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）2−101+9
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以n−n−1，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得12+1=2−1，13+2=3−2，…，1101+100=101−100分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【详解】解：（1）∵2−1>3−2，
3−2>4−3，
4−3>5−4，
5−4>6−5，
…，
∴n+1−n>n+2−n+1，
∴2021−2020>2022−2021，
故答案为：＞；
（2）1n+n−1
=n−n−1n+n−1n−n−1
=n−n−1；
（3）原式=|(2−1)−(3−2)|+|(3−2)−(4−3)|++…+|(100−99)−(101−100)|
=(2−1)−(3−2)+(3−2)−(4−3)+…+(100−99)−(101−100)
=(2−1)−(101−100)
=2−1−101+10
=2−101+9．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
【变式5-3】（2023春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
7−6=7−67+67+6=17+6，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
7−6=17+6， 6−5=16+5，
因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2，
当x=2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1−x+1+x−x的最大值和最小值．
【答案】（1）32−4<23−10；（2）y的最大值为2，最小值为2−1．
【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=232+4，23−10=223+10，然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽x⩽1，而y=1−x+11+x+x，利用当x=0时，11+x+x有最大值1，1−x有最大值1得到所以y的最大值；利用当x=1时，11+x+x有最小值2−1，1−x有最小值0得到y的最小值．
【详解】解：（1）32−4=(32+4)(32−4)32+4=232+4，
23−10=(23+10)(23−10)23+10=223+10，
而32>23，4>10，
∴32+4>23+10，
∴32−4<23−10；
（2）由1−x⩾0，1+x⩾0，x⩾0得0⩽x⩽1，
y=1−x+1+x−x=1−x+11+x+x，
∴当x=0时，1+x+x有最小值，则11+x+x有最大值1，此时1−x有最大值1，所以y的最大值为2；
当x=1时，1+x+x有最大值，则11+x+x有最小值2−1，此时1−x有最小值0，所以y的最小值为2−1．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
【题型6 二次根式中的阅读理解类问题】
【例6】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）阅读材料：基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0)当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+1x有最小值？最小值是多少？
解：∵x＞0，1x＞0，∴x+1x2 ≥x·1x，∴x+1x≥2，当且仅当x＝1x时，即x=1时，有x+1x有最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）填空：当x>0时，设y=x+4x，则当且仅当x=____时，y有最____值为_______；
（2）若x＞0，函数y=2x+1x，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值．
【答案】（1）2，小，4 ；（2）22，y有最小值22
【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值；
（2）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值．
【详解】（1）∵x>0
∴y=x+4x2≥x×4x
∴y=x+4x≥4
当且仅当x=4x即x=2时，y有最小值4．
故答案为：2，小，4
（2）∵x＞0
∴2x+1x2≥2x×1x
∴y=2x+1x≥22
当且仅当2x=1x即x=22时，y有最小值22．
【点睛】本题属于阅读材料题目，考查了学生对材料的阅读理解能力和应用能力，考查了解方程，不等式的性质等知识，关键是读懂材料并能应用材料的知识解决问题．
【变式6-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当a,b都是正数时，①若ab>1，则a>b；②若ab=1，则a=b；③ab<1，则a我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．
(1)请用上述方法比较57与75的大小；
(2)写出a+1a+2与a+2a+3（a为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)57＜75
(2)a+1a+2＜a+2a+3，见解析
【分析】（1）由5<7，得到5775=57<1，即可得到答案；
（2）先计算得到a+1a+2÷a+2a+3=a+22−1a+22，再根据a+22−1【详解】（1）解：∵5<7，
∴5775=57<1，
∴57<75；
（2）a+1a+2＜a+2a+3，
证明：a+1a+2÷a+2a+3
=a+1a+2⋅a+3a+2
=a+2−1a+2⋅a+2+1a+2
=a+22−1a+22
∵a+22−1∴a+1a+2÷a+2a+3<1，
∴a+1a+2【点睛】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式6-2】（2023秋·陕西榆林·八年级统考期中）阅读并回答下面问题：
计算：2+3+12+2−3−12．
设x=2+3，y=2−3．
原式=x+12+y−12
=x2+2x+1+y2−2y+1
=x2+y2+2x−y+2．
因为x=2+3，y=2−3，
所以x2+y2=10，x−y=23．
原式=10+2×23+2=12+43．
(1)填空：①3+53−5=__________；
②3+52+3−52=__________．
(2)请仿照上面的方法计算：3+5+22+3−5−22．
【答案】(1)①−2②16
(2)24+85
【分析】（1）①运用平方差公式解答；②运用完全平方公式解答；
（2）设x=3+5，y=3−5，原式化为x+22+y−22，运用完全平方公式展开，根据阅读材料说明的方法解答．
【详解】（1）①原式=32−52=3−5=−2；
②原式=3+5+3−52−23+53−5
=232−2×−2
=16；
故答案为：①−2；②16
（2）设x=3+5，y=3−5，
原式=x+22+y−22，
=x2+4x+4+y2−4y+4，
=x2+y2+4x−y+8，
因为x2+y2=16，x−y=25，
所以原式=16+4×25+8=24+85．
【点睛】本题主要考查了复杂二次根式的乘法与平方和的简化计算，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
【变式6-3】（2023春·贵州遵义·八年级统考期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：1−3x2−1−x．
解：隐含条件1−3x≥0,，解得x≤13，
∴1−x>0，
∴原式=1−3x−1−x=1−3x−1+x=−2x．
(1)试化简：(x−3)2−(2−x)2；
(2)已知a、b满足(2−a)2=a+3,a−b+1=a−b+1，求ab的值．
【答案】(1)1
(2)ab=±14
【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得2−x≥0，解得x≤2，再化简二次根式，再合并即可；
（2）根据二次根式的非负性先求解a≥−3，由a−b+1=a−b+1，可得a−b+1=0或a−b+1=1，再分−3≤a≤2,a>2两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）∵2−x≥0,则x≤2,
∴x−3<0
∴x−32−2−x2
=x−3−2−x
=3−x−2+x
=1
（2）∵2−a2=a+3,a−b+1=a−b+1，
∴2−a=a+3≥0,
∴a≥−3,a−b+1≥0,
∴当−3≤a≤2时，
则2−a=a+3,解得：a=−12，
∵a−b+1=a−b+1，
∴a−b+1=0或a−b+1=1,
解得：b=12或b=−12,
∴ab=−14或ab=14,
当a>2时，则a−2=a+3无解，舍去，
综上：ab=−14或ab=14
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
【题型7 二次根式的规律探究】
【例7】（2023春·安徽滁州·八年级校联考期末）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①13=1；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+(n+1)=__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①13+23+33+…+993+1003；
②113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2；（3）①5050；②41075
【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1）10；
（2）(n+2)(n+1)2；
（3）①原式=1+2+3+4+5+⋯+99+100
=(1+100)×1002 =5050；
②原式=13+23+33+⋯+183+193+203−13+23+33+⋯+103
=202×2124−102×1124 =400×4414−100×1214 =44100−3025 =41075．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键
【变式7-1】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A．n2−1B．n2−2C．n2−3D．n2−4
【答案】C
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：n2−3
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
【变式7-2】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，……
请利用你所发现的规律，
计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212，其结果为 ．
【答案】202020202021
【分析】根据已知等式将各式分别化简，得到1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+12020×2021，再将等式写成1×2020+（11×2+12×3+13×4+…+12020×2021）进行计算得到答案.
【详解】∵1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，……，
∴ 1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212
=1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+12020×2021
=1×2020+（11×2+12×3+13×4+…+12020×2021）
=2020+（1-12+12-13+13-14+⋯+12020−12021）
=2020+1-12021
=202020202021，
故答案为：202020202021.
【点睛】此题考查运算类规律，有理数的混合运算，根据已知等式得到计算的规律，由此将各代数式化简，再根据特殊公式法进行计算得到答案，正确分析得到等式的计算规律是解题的关键.
【变式7-3】（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校联考期末）已知：223=223；338=338；4415=4415；5524=5524……按此规律，请表示出第2021个式子 ．
【答案】2022202220222−1=2022202220222−1
【详解】∵第1个数：223=223=(1+1)1+1(1+1)2−1
第2个数：338=338=(2+1)2+1(2+1)2−1
第3个数：4415=4415=(3+1)3+1(3+1)2−1
第4个数：5524=5524=(4+1)4+1(4+1)2−1
∴第n个数(n+1)n+1(n+1)2−1=(n+1)n+1(n+1)2−1
当n=2021时，2022202220222−1=2022202220222−1
故答案为2022202220222−1=2022202220222−1.
【点睛】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键.
【题型8 二次根式的实际应用】
【例8】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积pp−ap−bp−c．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边a=3，b=5，c=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为5、6，7，请求出三角形的面积；
(3)若p=8，a=4，求此时三角形面积的最大值．
【答案】(1)214
(2)262
(3)82
【分析】（1）直接利用已知得出p的值，再利用三角形面积公式得出答案；
（2）将S=pp−ap−bp−c变形为S=14a2b2−a2+b2−c222再代入求值即可；
（3）根据公式计算出b+c=12，再表示成c=12−b，代入公式即可求出解．．
【详解】（1）解：∵a=3，b=5，c=6，
则：p=a+b+c2=3+5+62=7，
∴S=pp−ap−bp−c
=7×7−3×7−5×7−6
=56
=214；
（2）S=pp−ap−bp−c
=a+b+c2⋅a+b−c2⋅a+c−b2⋅b+c−a2
=a+b2−c24⋅c2−a−b24
=2ab+a2+b2−c24⋅2ab−a2−b2+c24
=ab2+a2+b2−c24ab2−a2+b2−c24
=ab22−a2+b2−c242
=14a2b2−a2+b2−c222，
则三边长依次为5、6，7，代入S=14a2b2−a2+b2−c222可得：
S=145×6−5+6−722=14×30−4=262
（3）∵p=a+b+c2，p=8，a=4，
∴b+c=12，则c=12−b，
∴S=pp−ap−bp−c
=88−48−b8−c
=42×8−b8−12+b
=42×8−bb−4
=42×4−b−62，
∴当b=6时，S有最大值，为S=82．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
【变式8-1】（2023春·陕西安康·八年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为72米，宽AB为32米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为8+1米，宽为8−1米．
(1)求长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)长方形ABCD的周长为202米
(2)购买地砖需要花费204元
【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解．
【详解】（1）解： 72+32×2
=62+42×2
=102×2
=202（米）．
答：长方形ABCD的周长为202米．
（2）72×32−2×8+1×8−1
=62×42−2×8−1
=48−14
=34（平方米）．
6×34=204（元）．
答：购买地砖需要花费204元．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式8-2】（2023秋·四川资阳·八年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知557=767，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是767的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[x]．这里[x]=x−a，[x]+a=x，其中[x]是一个整数，0≤a<1，a称为实数x的小数部分，记作Zx，所以有x=[x]+{Zx}．例如，[−14.3]=−15，{Z2.45}=0.45．
关于取整运算有部分性质如下：
①x−1<[x]⩽x
②若n为整数，则[x+n]=[x]+n
请根据以上材料，解决问题：
(1)[10]=___________；若m=[−π]，n={Z−π}，则m2+mn=___________；
(2)记M=12+1+13+2+12+3+⋯+12022+2021，求[M]；
(3)解方程：[3x+49]=6x−73．
【答案】(1)3，4π
(2)43
(3)x=53或x=76
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）先进行分母有理化，再求和即可；
（3）根据题意可得3x+49−1<6x−73≤3x+49，求出x的取值范围可得−335<6x−7≤15，再由6x−73是整数，可求x的值．
【详解】（1）解：∵3<[10]<4，
∴ [10]=3，
∵−3<−π<−4，
∴m=[−π]=−4，n={Z−π}=4−π，
∴m2+mn=m(m+n)=−4×−π=4π，
故答案为：3，4π；
（2）M=12+1+13+2+12+3+⋯+12022+2021
=2−1+3−2+2−3+…+2022−2021
=2022−1，
∵44<2022<45，
∴43<2022−1<44，
∴[M]=43；
（3）∵x−1<[x]≤x，
∴ 3x+49−1<[3x+49]≤3x+49，
∴ 3x+49−1<6x−73≤3x+49，
解得1615∴−35<6x−7≤3，
∵ 6x−73是整数，
∴6x−7=0或6x−7=3
解得x=76或x=53
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理数化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．
【答案】6105
【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，求出m即可．
【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，
甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，
重新混合后，甲容器内果汁的浓度为40a−ma+mb40，
重新混合后，乙容器内果汁的浓度为90b−mb+ma90，
由题意可得，40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，
整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），
∴m=6105．
故答案为：6105．
【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．