人教版九年级上册数学举一反三24.3弧、弦、圆心角【十大题型】(学生版+解析)

这是一份人教版九年级上册数学举一反三24.3弧、弦、圆心角【十大题型】(学生版+解析)，共51页。

专题24.3 弧、弦、圆心角【十大题型】 【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc23975" 【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】  PAGEREF _Toc23975 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc31815" 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】  PAGEREF _Toc31815 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc10364" 【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】  PAGEREF _Toc10364 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc32201" 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】  PAGEREF _Toc32201 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22928" 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】  PAGEREF _Toc22928 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc14052" 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】  PAGEREF _Toc14052 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc478" 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】  PAGEREF _Toc478 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc6462" 【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】  PAGEREF _Toc6462 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc18089" 【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】  PAGEREF _Toc18089 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc3701" 【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】  PAGEREF _Toc3701 \h 11【知识点 弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正确结论的个数是（    ）  A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（    ）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（　　）  A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（    ）  A．30° B．35° C．40° D．55°【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ．  【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，∠AOE=13∠AOC，则∠DOE等于（　　）A．100° B．110° C．120° D．130°【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（    ）  A．37° B．74° C．53° D．63°【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（   ）  A．3 B．4 C．6 D．8【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（    ） A．2 B．3 C．1 D．2【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点ACb D．a，b大小无法比较【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（   ）A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．无法比较它们的大小【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（    ）A．当x1>x2时，dx1>dx2 B．当dx1>dx2时，x1>x2C．当x1+x2=1时，dx1=dx2 D．当x1=2x2时，dx1=2dx2【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2−AD2=AB•AC．  【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．    【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使2CE=AC，且CE∥AB，连接BE．  (1)求证：△DBC≅△ECB．(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的长．【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．  (1)求证：点C平分BD．(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．【变式9-2】（2023•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（　　）A．BC=12AC B．BC=13AC C．BC=AC D．不能确定【变式9-3】（2023•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（　　）A．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC＝BC【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】【例10】（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，点M，N在⊙O上，且点N是弧BM的中点，P是直径AB上的一个动点，连接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度数为40°，则PM+PN的最小值为（    ）  A．10 B．53 C．52 D．5【变式10-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，OC⊥AB,BD=2CD，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．【变式10-2】（2023·山东枣庄·九年级学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP，NP，则MP+NP的最小值是 cm．【变式10-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为 ． 专题24.3 弧、弦、圆心角【十大题型】 【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc23975" 【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】  PAGEREF _Toc23975 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc31815" 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】  PAGEREF _Toc31815 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc10364" 【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】  PAGEREF _Toc10364 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc32201" 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】  PAGEREF _Toc32201 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc22928" 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】  PAGEREF _Toc22928 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc14052" 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】  PAGEREF _Toc14052 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc478" 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】  PAGEREF _Toc478 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc6462" 【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】  PAGEREF _Toc6462 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc18089" 【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】  PAGEREF _Toc18089 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc3701" 【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】  PAGEREF _Toc3701 \h 34【知识点 弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正确结论的个数是（    ）  A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【详解】解：∵在⊙O中，AB=CD，∴AB=CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴ AC=BD，故④正确；∴AC=BD，故②正确；∴∠AOC=∠BOD，故③正确；综上分析可知，正确的有4个．故选：D．【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（    ）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等【答案】B【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假．【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为30°和330°所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（　　）  A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°【答案】B【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．【详解】解：A、∵点A是CB中点，∴AB=AC，∴AB=AC，无法得出AB=OC，故选项A错误；B、如图：连接BO，∵AB=AC，∴∠BOA=∠AOC，∵BO=AO=CO，∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此选项正确；C、∵AB=AC，AB+AC>BC，∴BC≠2AC，故选项C错误；D、无法得出∠BAC+12∠AOC=180°，故选项D错误．故选：B．  【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（    ）  A．30° B．35° C．40° D．55°【答案】B【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°．【详解】解：∵在⊙O中，AC=AD，∠AOD=70°∴∠AOC=∠AOD=70°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°， 故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ．  【答案】70°【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．【详解】解：∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，∠AOE=13∠AOC，则∠DOE等于（　　）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】A【分析】先根据已知易得AB=BC=AC，从而可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，然后根据已知可求出∠AOD=60°，∠AOE=40°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．【详解】解：∵半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，∴AB=BC=AC，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，∵OD是∠AOB的角平分线，∴∠AOD=12∠AOB=60°，∵∠AOE=13∠AOC，∴∠AOE=13×120°=40°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=100°，故选：A．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（    ）  A．37° B．74° C．53° D．63°【答案】C【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA=74°，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．【详解】解：如下图，连接OA，  ∵A是劣弧DF的中点，即DA=FA，∴∠DOA=∠FOA，∵∠EOD=32°，∴∠DOA=∠FOA=12(180°−∠EOD)=74°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD=12(180°−∠DOA)=53°，即∠CDA=53°．故选：C．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（   ）  A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根据垂径定理的推论得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，进而得到CD=2CG=8，再证明BE=CD，则BE=CD=8．【详解】解：如图所示，连接OC，∵点B是CD的中点，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，BC=BD，∴CD=2CG，∵AB=10，∴OC=OB=12AB=5，∵BG=2，∴OG=3，在Rt△COG中，由勾股定理得CG=OC2−OG2=4，∴CD=2CG=8，∵点C是BE的中点，∴BC=EC，∴BC=EC=BD，∴BE=CD，∴BE=CD=8，故选D．  【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（    ） A．2 B．3 C．1 D．2【答案】C【分析】延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，根据圆心角、弧、弦、的关系由AC=BC得到AC=BC，可以判断OC是AB的垂直平分线，则AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用点C和点D关于AB对称得出CE=2，最后计算OE−CE即可得出答案．【详解】解：延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，如图，∵C为折叠后AB的中点，∴AC=BC，∴AC=BC，∵OA=OB，∴OC是AB的垂直平分线，∴AE=BE=12AB=4，在Rt△AOE中，OE=OA2−AE2=52−42=3,∴DE=OD−OE=5−3=2，∵ADB沿AB折叠得到ACB，CD⊥AB，∴点C和点D关于AB对称，∴CE=DE=2，∴OC=OE−CE=3−2=1，故选C【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点ACb D．a，b大小无法比较【答案】A【分析】连接P1P2,P2P3，依题意得P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P1P7，△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，故b−a=P1P2+P2P3−P1P3，根据△P1P2P3的三边关系即可得解．【详解】连接P1P2,P2P3，  ∵点P1~P8是⊙O的八等分点，即P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=P6P7=P7P8=P8P1∴P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P4P5+P5P6=P7P8+P8P1=P1P7∴P4P6=P1P7又∵△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，∴b−a=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7−P1P3+P1P7+P3P7 =P1P2+P1P7+P2P3+P3P7−P1P3+P1P7+P3P7=P1P2+P2P3−P1P3在△P1P2P3中有P1P2+P2P3>P1P3∴b−a=P1P2+P2P3−P1P3>0故选A．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.【答案】见解析【分析】连接OC、OD，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等得∠BOC=∠BOD，即可根据SAS证得△OPC≌△OPD，则PC=PD可以证得．【详解】PC=PD.连接OC、OD,则∵BC=BD,∴∠BOC=∠BOD,又OP=OP,OC=OD,∴△OPC≌△OPD,∴PC=PD.【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，证明∠BOC=∠BOD是解题的关键.【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（   ）A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．无法比较它们的大小【答案】C【分析】作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=BE，根据题意，得出AE=BE=CD，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，得出AE=BE=CD，再根据三角形的三边关系，得出AE+BE>AB，再根据等量代换，即可得出结果．【详解】解：如图，作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=BE，∵AB=2CD，∴AE=BE=CD，∴AE=BE=CD，在△ABE中，∵AE+BE>AB，∴AB<2CD，故选项C正确．故选：C【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系及应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想．【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（    ）A．当x1>x2时，dx1>dx2 B．当dx1>dx2时，x1>x2C．当x1+x2=1时，dx1=dx2 D．当x1=2x2时，dx1=2dx2【答案】C【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．【详解】解：A、当x1>x2时，dx1可能大于dx2，故本选项不符合题意；B、当dx1>dx2时，x1可能大于x2，故本选项不符合题意；C、当x1+x2=1时，dx1=dx2，故本选项符合题意；D、当x1=2x2时，dx1不一定等于2dx2，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2−AD2=AB•AC．  【答案】见解析【分析】在BA上截取BF=CA，连接DF，DC，由D为BAC的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE−EF=BE−AE=CA，因此BD2−AD2=BE2−AE2=(BE+AE)(BE−AE)=AB·AC．【详解】证明：在BA上截取BF=CA，连接DF，DC，如图，  ∵D为BAC的中点，∴DB=DC，∠DBF=∠ACD，在△DBF,△DCA中，DB=DC∠DBF=∠DCABF=CA，∴△DBF≌△DCA(SAS)，∴DF=DA，∵DE⊥AB，∴AE=EF，∴BF=BE−EF=BE−AE=CA，在Rt△BDE,Rt△ADE中，BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，∴BD2−AD2=BE2−AE2=(BE+AE)(BE−AE)=AB·AC，即BD2−AD2=AB•AC．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．    【答案】见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【详解】证明：∵AB=CD，∴AB=CD，                                        ∴AB−BC=CD−BC，即AC=BD，                                      ∴∠B=∠C，                                                             ∴BE=CE；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使2CE=AC，且CE∥AB，连接BE．  (1)求证：△DBC≅△ECB．(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)47【分析】（1）根据SAS即可证明△DBC≅△ECB；（2）作DH⊥AC于点H，求出DC=47，再根据△DBC≅△ECB得DE=CD,从而可得结论．【详解】（1）∵BA=AC，∴BA=CA，∵2CE=AC，∴BA=2CE，∵D为AB的中点，∴BA=2BD，∴BD=CE，∵CE∥AB，∴∠DBC=∠ECB，∵BC=BC，∴△DBC≅△ECB（2）作DH⊥AC于点H，  ∵BA=CA，∴∠ACB=∠ABC=30°，∠DAH=∠ACB+∠ABC=60°.∵BA=CA=8，∴DA=4，HA=2，HC=HA+AC=10，HD=23，在Rt△DHC中，DC=DH2+HC2=232+102=47∵△DBC≅△ECB，∴BE=CD=47．【点睛】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．  (1)求证：点C平分BD．(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OB，因为AB∥OC，得到∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，又因为半径相等，则∠OAB=∠OBA，即可证明点C平分BD； （2）分别以A、B为圆心，大于12AB为半径，画弧交于一点，连接该点与圆心交AB于一点即为AB的中点P．【详解】（1）证明：如图，连接OB，  ∵OC∥AB，∴∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DOC=∠COB，∴点C平分BD；（2）解：如图所示：点P为所求：  【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及基本作图等知识内容，正确掌握基本作图的方法是解题的关键．【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】见解析【分析】根据题意，先找到圆心O，过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，然后在OC的两侧分别作正方形，则MN=2MQ，矩形MNPQ即为所求．【详解】解：如图所示，①过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，②作∠AOC,∠BOC的角平分线，交⊙O于点Q,P，③作QM,PN垂直于AB，垂足分别为M,N，则矩形MNPQ即为所求．理由如下，∵OQ是∠AOC的角平分线，OD⊥AB，∴∠AOQ=∠QOD=45°，又MQ⊥AO则△QMO是等腰直角三角形，四边形QMOD是矩形，∴QM=MO，则四边形QMOD是正方形，同理可得DONP是正方形，又MO=OD=ON∴MN=2MQ．【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，正方形的性质，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题的关键．【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】=【分析】过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，根据【详解】解：如图，过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，∴AF=BF，AE=12AB∵ AB=2AC∴∠AOF=∠AOC∵AD⊥OC，AE⊥OE∴AD=AE=12AB即AB=2AD故答案为：=【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键．【变式9-2】（2023•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（　　）A．BC=12AC B．BC=13AC C．BC=AC D．不能确定【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论．【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，∵把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，∴OD=12OE，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OB，∴OD=12BC，∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴BC=12AC，故选：A．【变式9-3】（2023•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（　　）A．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC＝BC【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，计算AC和BC的比可得结论．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC=3BC，∴∠AOC＝135°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝22.5°，∵OD是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝22.5°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，∴BCAC=xx+2x=12+1，∴AC＝（2+1）BC．故选：C．【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】【例10】（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，点M，N在⊙O上，且点N是弧BM的中点，P是直径AB上的一个动点，连接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度数为40°，则PM+PN的最小值为（    ）  A．10 B．53 C．52 D．5【答案】D【分析】，作点N关于AB的对称点C，连接MC,OC，当P点在MC上时，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得△OMC是等边三角形，即可求解．【详解】解：如图所示，作点N关于AB的对称点C，连接MC,OC，当P点在MC上时，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值  ∵BM的度数为40°，点N是弧BM的中点，∴MC的度数为40°+12×40°=60°，又OM=OC，∴△OMC是等边三角形，∵AB=10∴MC=OM=5，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．【变式10-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，OC⊥AB,BD=2CD，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．【答案】43【分析】依题意，作点D关于OC的对称点为D1，连接BD1，BD1长即为BP+DP最小值；过点D1作D1Q⊥AB，构造RtΔQD1B和RtΔQOD1进行对应线段求解；【详解】作点D关于OC的对称点为D1，连接BD1，OD1；过点D1作D1Q⊥AB；由题知，OC⊥AB，BD=2CD，∴BC=3CD，可得CD对应的圆心角∠COD=30°；又点D关于OC的对称点为D1，∴∠COD1=30°，∠AOD1=60°，∴BD1长为BP+DP的最小值在RtΔQOD1中，OD1=4，∴OQ=2，D1Q=23；在RtΔQD1B中，BQ=OQ+OB=6，D1Q=23，∴BD1=62+(23)2=43；故填：43；【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算；【变式10-2】（2023·山东枣庄·九年级学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP，NP，则MP+NP的最小值是 cm．【答案】52【分析】试题分析：作N关于AB的对称点N'，连接M N'交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MO N'的值，再由勾股定理即可求出M N'的长．【详解】作N关于AB的对称点N'，连接M N'交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB= 180°3 =60°，∠BO N' = 180°6 =30°，∴∠MO N' =90°，∵AB=10，∴OM=O N' =5，∴M N' = OM2+ON'2=52+52=52，即MP+NP的最小值是52 .故答案为：52．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式10-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为 ．【答案】22【分析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E'时，CE+DE长最小，此时的最小值为CD'的长度．【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，∴∠COD′=90°，∴CD′=OC2+OD'2=22，故答案为22．【点睛】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质及圆心角与圆弧的关系是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．