高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案

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知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系： sin2x＋cs2x＝1 .
(2)商数关系： eq \f(sin x,cs x)＝tan x .
知识点二 三角函数的诱导公式
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x＝tan x·cs x，tan2x＋1＝eq \f(1,cs2x)，(sin x＋cs x)2＝1＋2sin xcs x等．
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)所在的象限．
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( × )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( × )
(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(4)若sin (kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).( × )
[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cs α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k为奇数和偶数时，sin α的值不同．
题组二 走进教材
2．(必修4P22B组T3改编)已知tan α＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin α－cs α,3sin α＋2cs α)＝( A )
A．－eq \f(1,7) B．eq \f(1,7)
C．－7 D．7
[解析] eq \f(sin α－cs α,3sin α＋2cs α)＝eq \f(tan α－1,3tan α＋2)＝eq \f(\f(1,2)－1,3×\f(1,2)＋2)＝－eq \f(1,7).故选A.
3．(必修4P22B组T2改编)化简cs αeq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin αeq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π<α<\f(3π,2)))得( A )
A．sin α＋cs α－2 B．2－sin α－cs α
C．sin α－cs α D．cs α－sin α
[解析] 原式＝cs αeq \r(\f(1－sin α2,cs2α))＋sin αeq \r(\f(1－cs α2,sin2α))，
∵π<α∴原式＝－(1－sin α)－(1－cs α)＝sin α＋cs α－2.
4．(必修4P29B组T2改编)若sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)，则sin(7π－α)＝ eq \f(1,2) ，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝ eq \f(1,2) .
[解析] 由sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)，得sin α＝eq \f(1,2)，
则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝eq \f(1,2)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)－2π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(1,2).
题组三 走向高考
5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )
A．－2－eq \r(3) B．－2＋eq \r(3)
C．2－eq \r(3) D．2＋eq \r(3)
[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝eq \f(\f(\r(3),3)＋1,1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3)，故选D.
另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝eq \r(3)，∴选D.
6．(2015·福建)若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )
A.eq \f(12,5) B．－eq \f(12,5)
C．eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12)
[解析] 因为sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，
所以cs α＝eq \f(12,13)，所以tan α＝－eq \f(5,12)，故选D.
7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝( A )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9)
C．eq \f(2,9) D．eq \f(7,9)
[解析] 将sin α－cs α＝eq \f(4,3)的两边进行平方，得sin2α－2sin αcs α＋cs2α＝eq \f(16,9)，即sin 2α＝－eq \f(7,9)，故选A.
考点突破·互动探究
考点一 同角三角函数的基本关系式——师生共研
例1 (1)已知α为第三象限角，cs α＝－eq \f(8,17)，则tan α＝( D )
A．－eq \f(8,15) B．eq \f(8,15)
C．－eq \f(15,8) D．eq \f(15,8)
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为 －eq \f(\r(10),5) .
(3)若角α的终边落在第三象限，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))的值为 －3 .
[解析] (1)因为α是第三象限角，cs α＝－eq \f(8,17)，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,17)))2)＝－eq \f(15,17)，
故tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(15,8).选D.
(2)由tan α＝－eq \f(1,3)，得sin α＝－eq \f(1,3)cs α，
将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f(10,9)cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(9,10)，易知cs α<0，
所以cs α＝－eq \f(3\r(10),10)，sin α＝eq \f(\r(10),10)，
故sin α＋cs α＝－eq \f(\r(10),5).
(3)由角α的终边落在第三象限，
得sin α<0，cs α<0，
故原式＝eq \f(cs α,|cs α|)＋eq \f(2sin α,|sin α|)＝eq \f(cs α,－cs α)＋eq \f(2sin α,－sin α)＝－1－2＝－3.
名师点拨
(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin2α＋cs2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cs α)求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．
(2)遇sin α，cs α的齐次式常“弦化切”，如：
eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)＝eq \f(atan α＋b,ctan α＋d)；sin αcs α＝eq \f(sin αcs α,1)
＝eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan α,1＋tan2α)；
sin2α＋sin αcs α－2cs2α＝eq \f(sin2α＋sin αcs α－2cs2α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(tan2α＋tan α－2,1＋tan2α).
〔变式训练1〕
(1)若α是第二象限角，tan α＝－eq \f(5,12)，则sin α＝( C )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C．eq \f(5,13) D．－eq \f(5,13)
(2)已知α是第二象限角，化简eq \f(1－cs4α－sin4α,1－cs6α－sin6α)＝ eq \f(2,3) .
(3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝2，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ eq \f(3\r(10),10) .
[解析] (1)∵tan α＝－eq \f(5,12)，∴eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12).
∵sin2α＋cs2α＝1，
∴sin2α＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)sin α))2＝1，∴sin α＝±eq \f(5,13).
又α为第二象限角，∴sin α＝eq \f(5,13)，故选C.
(2)解法一：原式＝eq \f(1－cs2α1＋cs2α－sin4α,1－cs2α1＋cs2α＋cs4α－sin6α)
＝eq \f(sin2α1＋cs2α－sin2α,sin2α1＋cs2α＋cs4α－sin4α)
＝eq \f(2cs2α,1＋cs2α＋cs2α－sin2α)
＝eq \f(2cs2α,3cs2α)＝eq \f(2,3).
解法二：∵1－cs4α－sin4α＝1－(cs2α＋sin2α)2＋2sin2αcs2α＝2sin2αcs2α，
∴原式＝eq \f(2sin2αcs2α,1－cs2α＋sin2αcs4α－cs2αsin2α＋sin4α)
＝eq \f(2sin2αcs2α,1－cs4α－sin4α＋cs2αsin2α)
＝eq \f(2sin2αcs2α,3sin2αcs2α)＝eq \f(2,3).
(3)由tan α＝2得sin α＝2cs α.
又sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(1,5).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin α＝eq \f(2\r(5),5).
因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝cs αcs eq \f(π,4)＋sin αsin eq \f(π,4)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3\r(10),10).
考点二 诱导公式及其应用——多维探究
角度1 利用诱导公式化简三角函数式
例2 (1)化简：
eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)＝ －eq \f(1,sin α) .
(2)化简eq \f(\r(1－2sin 10°sin 100°),cs 80°－\r(1－sin2170°))＝ －1 .
[解析] (1)原式＝eq \f(cs α－cs αtan2α,sin α－sin α－sin α)
＝eq \f(－cs2α·\f(sin2α,cs2α),sin3α)＝－eq \f(1,sin α).
(2)∵cs 10°>sin 10°，∴原式＝eq \f(\r(1－2sin 10°cs 10°),sin 10°－cs 10°)＝eq \f(\r(sin210°－2sin 10°cs 10°＋cs210°),sin 10°－cs 10°)＝eq \f(|sin 10°－cs 10°|,sin 10°－cs 10°)＝eq \f(cs 10°－sin 10°,－cs 10°－sin 10°)＝－1.
角度2 “换元法”的应用
例3 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))的值是 0 .
[解析] 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))
＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝0.
名师点拨
(1)诱导公式的两个应用方向与原则：
①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α；eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，互补关系有eq \f(π,3)＋α与eq \f(2π,3)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(3π,4)－α等．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)已知f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α).
①化简f(α)；
②若α是第三象限的角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
(2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(3,4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝ －eq \f(\r(7),4) ，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ eq \f(3,4) .
[解析] (1)①f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α)
＝eq \f(－sin α·cs α·－cs α,－cs α·sin α)
＝－cs α.
②因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sin α，所以sin α＝－eq \f(1,5).
又α是第三角限的角，
所以cs α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))2)＝－eq \f(2\r(6),5).
所以f(α)＝eq \f(2\r(6),5).
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，
因为α为钝角，
所以eq \f(3,4)π所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))<0.
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2)＝－eq \f(\r(7),4).
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(3,4).
名师讲坛·素养提升
sin x＋cs x、sin x－cs x、sin xcs x之间的关系
例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －eq \f(12,5) .
[解析] 解法一：因为sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)
所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(49,169)，
sin θcs θ＝－eq \f(60,169).
由根与系数的关系，知sin θ，cs θ是方程x2－eq \f(7,13)x－eq \f(60,169)＝0的两根，所以x1＝eq \f(12,13)，x2＝－eq \f(5,13).
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.
所以sin θ＝eq \f(12,13)，cs θ＝－eq \f(5,13)，tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(12,5).
解法二：同解法一，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
所以eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝－eq \f(60,169)，弦化切，得 eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝－eq \f(60,169)，解得tan θ＝－eq \f(12,5)或tan θ＝－eq \f(5,12).
又θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)>0，sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0.
∴θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin θ>|cs θ|，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(sin θ,cs θ)))＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－eq \f(12,5).
解法三：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(7,13)，,sin2θ＋cs2θ＝1.))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(12,13)，,cs θ＝－\f(5,13)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝－\f(5,13)，,cs θ＝\f(12,13).))(舍去)
故tan θ＝－eq \f(12,5).
名师点拨
sin x＋cs x、sin x－cs x、sin xcs x之间的关系为(sin x＋cs x)2＝1＋2sin xcs x，(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x，(sin x＋cs x)2＋(sin x－cs x)2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
〔变式训练3〕
(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－eq \f(π,2)<α<0，sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则eq \f(1,cs2α－sin2α)的值为( C )
A.eq \f(7,5) B．eq \f(7,25)
C．eq \f(25,7) D．eq \f(24,25)
(2)若eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,cs α)＝eq \r(3)，则sin αcs α＝( A )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3)或1 D．eq \f(1,3)或－1
[解析] (1)解法一：∵sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，
∴(sin α＋cs α)2＝eq \f(1,25)，∴sin αcs α＝－eq \f(12,25)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴sin α<0，cs α>0，
∴cs α－sin α＝eq \r(sin α－cs α2)＝eq \r(1－2sin αcs α)＝eq \f(7,5).
∴eq \f(1,cs2α－sin2α)＝eq \f(1,cs α－sin αcs α＋sin α)＝eq \f(25,7)，故选C.
解法二：由解法一知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＋cs α＝\f(1,5)，,sin α－cs α＝－\f(7,5)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝\f(4,5)，,sin α＝－\f(3,5).))
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
∴eq \f(1,cs2α－sin2α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α－sin2α)＝eq \f(1＋tan2α,1－tan2α)
＝eq \f(1＋\f(9,16),1－\f(9,16))＝eq \f(25,7)，故选C.
(2)由eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,cs α)＝eq \r(3)，可得sin α＋cs α＝eq \r(3)sin αcs α，两边平方，得1＋2sin αcs α＝3sin2αcs2α，解得sin αcs α＝－eq \f(1,3)或sin αcs α＝1.
由题意，知－1组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α