2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第四章第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

知 识 梳 理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan__α.

2.三角函数的诱导公式

[常用结论与微点提醒]

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)

(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)

(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)

(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)

解析　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.

(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.

(3)中当α的终边落在y轴上，商数关系不成立.

(4)当k为奇数时，sin α＝，

当k为偶数时，sin α＝－.

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.(新教材必修第一册P186T15改编)已知tan α＝2，则＝(　　)

A.   B.－   C.   D.－

解析　原式＝＝＝.

答案　A

3.(老教材必修4P29T2改编)已知α为锐角，且sin α＝，则cos(π＋α)＝(　　)

A.－   B.   C.－   D.

解析　因为α为锐角，所以cos α＝＝，

故cos(π＋α)＝－cos α＝－.

答案　A

4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)

A.－   B.－   C.   D.

解析　∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，

∴sin 2α＝1－＝－.

答案　A

5.(2019·济南质检)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　)

A.   B.－   C.   D.－

解析　∵sin α＝－，α为第四象限角，

∴cos α＝＝，因此tan α＝＝－.

答案　D

6.(2020·豫北六校精英对抗赛)若f(x)＝cos＋1，且f(8)＝2，则f(2 018)＝________.

解析　∵f(8)＝cos(4π＋α)＋1＝cos α＋1＝2，

∴cos α＝1，∴f(2 018)＝cos ＋1

＝cos(1 009π＋α)＋1＝cos(π＋α)＋1＝－cos α＋1

＝－1＋1＝0.

答案　0

考点一　同角三角函数基本关系及其应用多维探究

角度1　切弦互化

【例1－1】 (1)已知β为第二象限角，tan β＝－，则cos β＝(　　)

A.－   B.－   C.－   D.－

(2)若tan(α－3π)＝－5，则＝(　　)

A.   B.－   C.   D.－

解析　(1)因为β为第二象限角，所以tan β＝＝＝－，解得cos β＝－.

(2)由tan(α－3π)＝－5，得tan α＝－5，

所以＝

＝＝＝.

答案　(1)B　(2)A

规律方法　利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.

角度2　“1”的变换

【例1－2】 (1)若tan(α－π)＝，则＝(　　)

A.－   B.－2   C.   D.2

(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

解析　(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α＝，

＝＝＝＝2.

(2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，又tan θ＝2，故原式＝＝.

答案　(1)D　(2)D

规律方法　注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

角度3　sin α±cos α与sin αcos α的转化

【例1－3】 (2019·河南中原名校联盟联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝(　　)

A.    B.

C.    D.－

解析　因为sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.因为θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，所以sin θ－cos θ＝＝＝＝＝.故选B.

答案　B

规律方法　应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.

【训练1】 (1)(角度1)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

(2)(角度2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)

A.   B.   C.   D.－2

(3)(角度3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.

解析　(1)因为α是第四象限角，sin α＝－，

所以cos α＝＝，

故tan α＝＝－.

(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，

＝＝

＝＝.

(3)∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.

又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，

∴sin θ－cos θ＝－.

答案　(1)C　(2)A　(3)－

考点二　诱导公式的应用

【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4)，则sin＝(　　)

A.－   B.－   C.   D.

(2)已知f(α)＝，则f的值为________.

解析　(1)由题意知sin α＝，cos α＝，

∴sin＝sin＝－cos α＝－.

(2)因为f(α)＝＝＝cos α，

所以f＝cos＝cos ＝.

答案　(1)B　(2)

规律方法　(1)诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

(2)含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.

【训练2】 已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f＝________.

解析　∵f(α)＝

＝＝＝，

∴f＝＝＝＝.

答案　

考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

【例3】 (1)(2020·邯郸联考)已知3sin＝－5cos，则tan＝(　　)

A.－   B.－   C.   D.

(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　(1)由3sin＝－5cos，

得sin＝－cos，

所以tan＝＝＝－.

(2)由已知得

消去sin β，得tan α＝3，

∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，

化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角).

答案　(1)A　(2)C

规律方法　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.

2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.

【训练3】 (1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

(2)已知sin α＝，则tan(π＋α)＋＝________.

解析　(1)由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，

即tan2θ－tan θ－＝0，

解得tan θ＝或tan θ＝－.

又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，

故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ

＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ

＝

＝

＝＝.

(2)∵sin α>0，∴α为第一或第二象限角，

tan(α＋π)＋＝tan α＋

＝＋＝.

①当α是第一象限角时，cos α＝＝，

原式＝＝；

②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，

原式＝＝－.

综合①②知，原式＝或－.

答案　(1)D　(2)或－

A级　基础巩固

一、选择题

1.(2019·闽粤赣三省十校联考)若α∈，sin α＝，则tan α＝(　　)

A.－   B.－   C.－   D.

解析　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－.

答案　C

2.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)

A.－   B.－   C.   D.

解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，

∴－sin θ＝－cos θ，

∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.

答案　D

3.＝(　　)

A.sin 2－cos 2    B.sin 2＋cos 2

C.±(sin 2－cos 2)    D.cos 2－sin 2 

解析　＝

＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.

答案　A

4.(2020·成都诊断)已知cos(α＋π)＝，则sin＝(　　)

A.   B.－   C.   D.－

解析　由cos(α＋π)＝－cos α＝，得cos α＝－，

sin＝cos 2α＝2cos2α－1＝－.

答案　D

5.若＝，则tan θ＝(　　)

A.1   B.－1   C.3   D.－3

解析　因为＝＝，

所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，

所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.

答案　D

6.当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是(　　)

A.1   B.－1   C.±1   D.0

解析　∵sin＝，∴cos ＝，

∴在第一象限，且cos <sin ，

∴＝＝－1.

答案　B

7.已知sin＝，则cos＝(　　)

A.   B.   C.－   D.－

解析　因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.

答案　B

8.已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x等于(　　)

A.－   B.   C.   D.－

解析　由题意可知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝，因为sin2x＋cos2x＝1，

所以2sin xcos x＝－，即＝＝－，得tan x＝－或tan x＝－.当tan x＝－时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去，所以tan x＝－.故选D.

答案　D

二、填空题

9.在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.

解析　因为tan A＝>0，所以A为锐角，

由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，

可求得sin A＝.

答案　

10.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.

解析　由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.

答案　－

11.化简：＝________.

解析　原式＝

＝＝＝－1.

答案　－1

12.已知tan θ＝3，则cos＝________.

解析　∵tan θ＝3，∴cos＝sin 2θ＝＝＝＝.

答案　

B级　能力提升

13.(2020·河北六校联考)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　∵方程5x2－7x－6＝0的两根分别为x1＝2和x2＝－，∴sin α＝－.

则＝

＝

＝－＝，故选B.

答案　B

14.若tan α＝cos α，则＋cos4α的值为(　　)

A.   B.2   C.2   D.4

解析　tan α＝cos α⇒＝cos α⇒sin α＝cos2α，故＋cos4α＝＋sin2α＝sin α＋＋1－cos2α＝sin α＋＋1－sin α＝2.

答案　2

15.已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ等于________.

解析　由题意知sin θ·cos θ＝－，

联立得或

又θ为三角形的一个内角，∴sin θ>0，则cos θ＝－，

∴θ＝.

答案　

16.(多填题)已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.

解析　sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.

∵0<α<，∴0<sin α<cos α.

又∵sin2α＋cos2α＝1，

∴sin α＝，cos α＝.

答案　　

C级　创新猜想

17.(多选题)已知tan＝4cos(2π－θ)，|θ|<，则(　　)

A.sin θ＝－    B.cos θ＝

C.cos 2θ＝－    D.tan 2θ＝

解析　因为tan＝4cos(2π－θ)，所以＝4cos θ，又|θ|<，所以sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝，所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝，tan 2θ＝＝.

答案　BD