高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第一课时任意角和弧度制、三角函数的概念学案

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【教师备选资源】
第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念
[考试要求] 1．了解任意角的概念和弧度制．2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．考点一 任意角
1．定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．分类：(1)按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
(2)按终边位置不同分为象限角和轴线角．
3．相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α．
4．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
[典例1] (1)(多选)下列说法正确的是( )
A．第二象限角比第一象限角大
B．60°角与600°角是终边相同的角
C．钝角一定是第二象限角
D．将表的分针拨慢10 min，则分针转过的角的弧度数为π3
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
(1)CD (2)－675°或－315° [(1)A中，如100°是第二象限角，400°是第一象限角，第二象限角比第一象限角小，故错误；
B中，因为600°≠k·360°＋60°，k∈Z，所以60°角与600°角终边不同，故错误；C中，因为钝角的范围为π2，π，所以钝角是第二象限角，故正确；D显然正确．故选CD．
(2)所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°(k∈Z)．令－720°<45°＋k·360°<0°(k∈Z)，得－765° 特别注意，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
跟进训练1 (1)角－2 024°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)(易错题)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋9π4(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)
(1)B (2)C [(1)∵－2 024°＝－6×360°＋136°，∴它是第二象限角．
(2)由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．]
考点二 扇形的弧长及面积公式
1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
2．公式
[典例2] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[解] (1)α＝60°＝π3rad，∴l＝α·R＝π3·10＝10π3(cm)．
(2)由题意得2R+αR=10，12α·R2=4，
解得R=1，α=8(舍去)，R=4，α=12．
故扇形的圆心角为12．
(3)由已知得，l＋2R＝20(cm)．
所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10，α＝2．
准确记忆弧长公式及扇形的面积公式是解决此类问题的关键．
跟进训练2 一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm．
2 2 [设扇形的圆心角为α，半径为r．
则由题意得S=12αr2=1，αr+2r=4，解得α=2，r=1，
所以弧长l＝αr＝2，所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm．]
考点三 三角函数的概念及应用
1．定义
2．定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cs α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
[典例3] (1)若sin α＜0且cs α＜0，则α 所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知α的终边过点(x，4)，且cs α＝－35，则tan α＝________．
(3)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝______．
(1)C (2)－43 (3)±255 [(1)由sin α＜0，可知α 在第三、四象限或y轴非正半轴上，由cs α＜0，可知α在第二、三象限或x轴非正半轴上．所以α在第三象限．
(2)∵α的终边过点(x，4)，且cs α＝－35，∴x<0．
∵cs α＝xx2+16＝－35，
∴x＝－3，∴tan α＝－43．
(3)由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1，2)，
∴sin α＝212+22＝255，若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，
∴sin α＝-2-12+-22＝－255．
综上，sin α＝±255．]
【教师备用】
已知角α的终边与单位圆的交点为P-12，y，则sin α·tan α等于( )
A．－33 B．±33 C．－32 D．±32
C [设O为坐标原点，由|OP|2＝14＋y2＝1，得y2＝34，y＝±32．
法一：当y＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，
此时，sin α·tan α＝－32．
当y＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，
此时，sin α·tan α＝－32．
所以sin α·tan α＝－32．
法二：由三角函数定义知，
cs α＝－12，sin α＝y，
所以sin α·tan α＝sin α·sinαcsα＝sin2αcsα＝y2-12＝34-12＝－32．]
(1)利用三角函数的定义求三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离为r．
(2)判断三角函数值的符号口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
跟进训练3 (1)已知θ是第三象限角，满足sinθ2＝－sin θ2，则θ2是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝2m4，则cs α＝________，tan α＝________．
(1)D (2)－64 ±153 [(1)∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ<θ<3π2＋2kπ，k∈Z，则π2＋kπ<θ2<3π4＋kπ，k∈Z，
即θ2为第二或第四象限角，
又sinθ2＝－sin θ2，∴θ2为第四象限角．
(2)由sin α＝m3+m2＝2m4，解得m＝±5，
∴r＝3+m2＝22，当m＝5时，cs α＝-322＝－64，tan α＝－153；
当m＝－5时，cs α＝-322＝－64，tan α＝153．]
课后习题(十九) 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．(人教A版必修第一册P180例3改编)若sin α<0，且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[答案] C
2．(多选)(人教A版必修第一册P175习题5.1T1改编)下列四个命题中，正确的是( )
A．－3π4是第二象限角
B．4π3是第三象限角
C．－400°是第四象限角
D．－315°是第一象限角
BCD [－3π4是第三象限角，故A错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．]
3．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________，由该弧及半径围成的扇形的面积为________．
10π9 5π9 [单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×π180＝10π9，由弧度数的定义得10π9＝lr，
所以l＝10π9，S扇形＝12lr＝12×10π9×1＝5π9．]
4．(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，cs α＝________，tan α＝________．
－31313 21313 －32 [因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝22+-32＝13．于是sin α＝yr＝-313＝－31313，cs α＝xr＝213＝21313，tan α＝yx＝－32．]
5．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1csα＝( )
A．－15B．3715
C．3720D．1315
D [因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－45，cs α＝35，所以sin α＋1csα＝－45＋53＝1315．故选D．]
6．已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [由题意知tan α＜0，cs α＜0，∴α是第二象限角．]
7．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝35，则m＝( )
A．－3 B．3
C．163 D．±3
B [sin θ＝m16+m2＝35，易知m>0，解得m＝3．]
8．(2024·扬州中学月考)若α＝－5，则( )
A．sin α>0，cs α>0
B．sin α>0，cs α<0
C．sin α<0，cs α>0
D．sin α<0，cs α<0
A [因为－2π<α＝－5<－32π，
所以α＝－5为第一象限的角，所以sin α>0，cs α>0．]
9．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项可能正确的有( )
A．扇形的半径为2 B．扇形的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
ABC [设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，
则由题意得2r+αr=6，12αr2=2，解得r=1，α=4或r=2，α=1，
故选ABC．]
10．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．
3π [∵120°＝2π3，l＝αr，
∴r＝lα＝2π2π3＝3，∴S＝12lr＝12×2π×3＝3π．]
11．在平面直角坐标系Oxy中，点P在角2π3的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________．
(－1，3) [设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得x=OPcs2π3，y=OPsin2π3， 所以x=-1，y=3， 所以点P的坐标为(－1，3)．]
12．若角α的终边落在直线y＝－x上，则sinαcsα＋sinαcsα＝________．
0 [因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，
sinαcsα＋sinαcsα＝sinα-csα＋sinαcsα＝0；当角α的终边位于第四象限时，sinαcsα＋sinαcsα＝sinαcsα＋-sinαcsα＝0．所以sinαcsα＋sinαcsα＝0．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：三角函数的图象与性质、解三角形．
主要考查三角函数的图象和性质，以及应用正、余弦定理解三角形及解决与三角形有关的距离、高度、角度等测量问题．
2．轮考点：三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换等．
主要考查运用三角函数的概念、诱导公式及三角恒等变换的策略进行化简求值．
角α的弧度数公式
|α|＝lr(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝π180 rad；1 rad＝180π°
弧长公式
l＝αR
扇形面积公式
S＝12lR＝12αR2
前提
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sin α
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cs α
正切
yx叫做α的正切函数，记作tan α