2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第四章第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式


第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用定义推导出诱导公式.

知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
－α
π－α
π＋α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
sin__α
－sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
cos__α
－cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
－tan__α
－tan__α
tan__α


口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
[常用结论与微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
诊 断 自 测

1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
解析　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝，
当k为偶数时，sin α＝－.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.(新教材必修第一册P186T15改编)已知tan α＝2，则＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　原式＝＝＝.
答案　A
3.(教材必修4P21例4改编)已知α为锐角，且sin α＝，则cos(π＋α)＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　因为α为锐角，所以cos α＝＝，
故cos(π＋α)＝－cos α＝－.
答案　A

4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
解析　∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，
∴sin 2α＝1－＝－.
答案　A
5.(2019·济南质检)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　∵sin α＝－，α为第四象限角，
∴cos α＝＝，因此tan α＝＝－.
答案　D
6.(2019·豫北六校精英对抗赛)若f(x)＝cos＋1，且f(8)＝2，则f(2 018)＝________.
解析　∵f(8)＝cos(4π＋α)＋1＝cos α＋1＝2，
∴cos α＝1，∴f(2 018)＝cos ＋1
＝cos(1 009π＋α)＋1＝cos(π＋α)＋1＝－cos α＋1
＝－1＋1＝0.
答案　0

考点一　同角三角函数基本关系及其应用多维探究
角度1　切弦互化
【例1－1】 (1)已知β为第二象限角，tan β＝－，则cos β＝(　　)
A.－ B.－ C.－ D.－
(2)若tan(α－3π)＝－5，则＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　(1)因为β为第二象限角，所以tan β＝＝＝－，解得cos β＝－.
(2)由tan(α－3π)＝－5，得tan α＝－5，
所以＝
＝＝＝.
答案　(1)B　(2)A
规律方法　利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
角度2　“1”的变换
【例1－2】 (1)若tan(α－π)＝，则＝(　　)
A.－ B.－2 C. D.2
(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α＝，
＝＝＝＝2.
(2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，又tan θ＝2，故原式＝＝.
答案　(1)D　(2)D
规律方法　注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
角度3　sin α±cos α与sin αcos α的转化
【例1－3】 (2020·连云港检测)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝(　　)
A. B.
C. D.－
解析　因为sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.因为θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，所以sin θ－cos θ＝＝＝＝＝.故选B.
答案　B
规律方法　应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
【训练1】 (1)(角度1)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
(2)(角度2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)
A. B. C. D.－2
(3)(角度3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.
解析　(1)因为α是第四象限角，sin α＝－，
所以cos α＝＝，
故tan α＝＝－.
(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，
＝＝
＝＝.
(3)∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，
∴sin θ－cos θ＝－.
答案　(1)C　(2)A　(3)－
考点二　诱导公式的应用
【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4)，则sin＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
(2)已知f(α)＝，则f的值为________.
解析　(1)由题意知sin α＝，cos α＝，
∴sin＝sin＝－cos α＝－.
(2)因为f(α)＝
＝＝cos α，
所以f＝cos＝cos ＝.
答案　(1)B　(2)
规律方法　(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【训练2】 (多选题)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)
A.cos(A＋B)＝cos C B.sin(A＋B)＝－sin C
C.cos＝sin D.sin＝cos
解析　因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos＝cos＝sin ，sin＝sin＝cos .
答案　CD
考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【例3】 (1)(2020·潍坊调研)已知3sin＝
－5cos，则tan＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
解析　(1)由3sin＝－5cos，
得sin＝－cos，
所以tan＝＝
＝－.
(2)由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角).
答案　(1)A　(2)C
规律方法　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
【训练3】 (1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
(2)已知sin α＝，则tan(π＋α)＋＝________.
解析　(1)由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，
即tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝或tan θ＝－.
又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，
故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ
＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ
＝
＝
＝＝.
(2)∵sin α>0，∴α为第一或第二象限角，
tan(α＋π)＋＝tan α＋
＝＋＝.
①当α是第一象限角时，cos α＝＝，
原式＝＝；
②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
综合①②知，原式＝或－.
答案　(1)D　(2)或－

A级　基础巩固
一、选择题
1.(2019·扬州联考)若α∈，sin α＝，则tan α＝(　　)
A.－ B.－ C.－ D.
解析　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－.
答案　C
2.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，
∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.
答案　D
3.＝(　　)
A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2
C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2
解析　＝
＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.
答案　A
4.(2020·成都诊断)已知cos(α＋π)＝，则sin＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　由cos(α＋π)＝－cos α＝，得cos α＝－，
sin＝cos 2α＝2cos2α－1＝－.
答案　D
5.若＝，则tan θ＝(　　)
A.1 B.－1 C.3 D.－3
解析　因为
＝＝，
所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.
答案　D
6.当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是(　　)
A.1 B.－1 C.±1 D.0
解析　∵sin＝，∴cos ＝，
∴在第一象限，且cos ∴＝＝－1.
答案　B
7.已知sin＝，则cos＝(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.
答案　B
8.已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x等于(　　)
A.－ B. C. D.－
解析　由题意可知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝，因为sin2x＋cos2x＝1，
所以2sin xcos x＝－，即＝＝－，得tan x＝－或tan x＝－.当tan x＝－时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去，所以tan x＝－.故选D.
答案　D
二、填空题
9.在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.
解析　因为tan A＝>0，所以A为锐角，
由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，
可求得sin A＝.
答案　
10.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.
解析　由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.
答案　－
11.化简：＝________.
解析　原式＝
＝＝＝－1.
答案　－1
12.已知tan θ＝3，则cos＝________.
解析　∵tan θ＝3，∴cos＝sin 2θ＝＝＝＝.
答案　
B级　能力提升
13.(2020·河北六校联考)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝(　　)
A. B. C. D.
解析　∵方程5x2－7x－6＝0的两根分别为x1＝2和x2＝－，∴sin α＝－.
则＝
＝
＝－＝，故选B.
答案　B
14.若tan α＝cos α，则＋cos4α的值为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
解析　tan α＝cos α⇒＝cos α⇒sin α＝cos2α，故＋cos4α＝＋sin2α＝sin α＋＋1－cos2α＝sin α＋＋1－sin α＝2.
答案　2
15.已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ等于________.
解析　由题意知sin θ·cos θ＝－，
联立得或
又θ为三角形的一个内角，∴sin θ>0，则cos θ＝－，
∴θ＝.
答案　
16.(多填题)已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.
解析　sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.
∵0<α<，∴0 又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝，cos α＝.
答案　　
C级　创新猜想
17.(多选题)已知tan＝4cos(2π－θ)，|θ|<，则(　　)
A.sin θ＝－ B.cos θ＝
C.cos 2θ＝－ D.tan 2θ＝
解析　因为tan＝4cos(2π－θ)，所以＝4cos θ，又|θ|<，所以sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝，所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝，tan 2θ＝＝.
答案　BD
18.(多填题)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则ab＝________，cos＝________.
解析　由题知sin α＝b，cos α＝a.∵a＋b＝，∴sin α＋cos α＝.两边平方可得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，∴1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝.
∴sin αcos α＝ab＝，cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－.
答案　　－