人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义教学设计

第五章一元函数的导数及其应用

5.1　导数的概念及其意义

5.1.1　变化率问题

课后篇巩固提升

基础达标练

1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为(　　)

A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3

解析S(3)=12,S(3.3)=13.89,

∴平均速度=6.3,故应选A.

答案A

2.(2018全国高二单元测试)表示 (　　)

A.曲线y=x2切线的斜率

B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率

C.曲线y=-x2切线的斜率

D.曲线y=-x2在(1,-1)处切线的斜率

解析,

可知表示y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线的斜率.故选B.

答案B

3.(2020海南中学高二期末)两个学校W1、W2开展节能活动,活动开始后两学校的用电量W1(t)、W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有              (　　)

A.W1比W2节能效果好

B.W1的用电量在[0,t0]上的平均变化率比W2的用电量在[0,t0]上的平均变化率大

C.两学校节能效果一样好

D.W1与W2自节能以来用电量总是一样大

解析由图象可知,对任意的t1∈(0,t0),曲线W=W1(t)在t=t1处的切线比曲线W=W2(t)在t=t1处的切线要“陡”,所以,W1比W2节能效果好,A正确,C错误;由图象可知,,则W1的用电量在[0,t0]上的平均变化率比W2的用电量在[0,t0]上的平均变化率要小,B选项错误;由于曲线W=W1(t)和曲线W=W2(t)不重合,D选项错误.故选A.

答案A

4.(多选)已知物体做自由落体运动的方程为s=s(t)=gt2,当Δt无限趋于0时,无限趋于9.8 m/s,那么下列说法不正确的是(　　)

A.9.8 m/s是在0~1 s这一段时间内的平均速度

B.9.8 m/s是在1 s到(1+Δt) s这段时间内的平均速度

C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的瞬时速度

D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt) s这段时间内的平均速度

解析当Δt趋于0时,平均速度趋于该时刻的瞬时速度.选ABD.

答案ABD

5.(2019全国高一课时练习)甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,两人的平均速度　　　　 (用“>”“<”或“=”填空).

解析由题图可知s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0),

所以,所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大.故答案为<.

答案<

6.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是　　　　　;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是　　　　　. 

解析当Δx=1时,割线AB的斜率

k1==5,

当Δx=0.1时,割线AB的斜率

k2=

==4.1.

答案5　4.1

7.已知曲线y=上一点P(1,1),则曲线在点P处的切线的斜率为　　　　　. 

解析曲线y=上一点P(1,1),在点P处的切线的斜率为

==-2,

所以点P处的切线的斜率为-2.

答案-2

8.一个做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2(s的单位是:m,t的单位是:s).

(1)求此物体的初速度;

(2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度;

(3)求t=0 s到t=2 s的平均速度.

解(1)=3-Δt.

(3-Δt)=3,所以v0=3.

(2)

==-Δt-1.

(-Δt-1)=-1,

所以t=2时的瞬时速度为-1.

(3)=1.

能力提升练

1.(2019甘肃高三月考)曲线y=x3+x2-2x在x=-1处的切线斜率是(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.3

解析由题意知所求的切线斜率为

=[-1-2Δx+(Δx)2]=-1.

答案B

2.(2020内蒙古自治区高二期末)一个质量m=5 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=1+t2表示,并且物体的动能Ek=mv2,则物体开始运动后第4 s时的动能是(　　)

A.160 J B.165 J C.170 J D.175 J

解析根据题意,物体的运动距离s与时间t的关系式为s(t)=1+t2,物体开始运动后第4 s时的瞬时速度为v==8,物体开始运动后第4 s时的动能E=×mv2=×5×64=160(J),故选A.

答案A

3.(多选)(2017重庆巴蜀中学高二期末)在曲线y=x3-x+1的所有切线中,斜率的可能取值为(　　)

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析因为y=x3-x+1=f(x),所以k==x2-1.

当x=0时,k有最小值-1,故只要k≥-1即可,故选BCD.

答案BCD

4.(2019全国高一课时练习)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,则三者的大小关系为　　　　　(由大到小排列). 

解析∵=kOA,

=kAB,=kBC,

又∵由图象得kOA<kAB<kBC,∴.

故答案为.

答案

5.(2020江苏省高二期末)今年10月,宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组,最高时速为160 km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内,速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系v=0.4t+0.6t2,则出站后“绿巨人”速度首次达到24 m/s时加速度为　　　　　(m/s2). 

解析当v=24时,0.4t+0.6t2=24,解得t=6(负根舍去).瞬时加速度为

=(Δt+1.2t+0.4)=1.2t+0.4.

当t=6时,v'=0.4+1.2×6=7.6(m/s2).

故答案为7.6.

答案7.6

素养培优练

　(2019云南云天化中学高二期中)在曲线y=x3-x2+3x-的所有切线中,斜率最小的切线方程为　　　　　　　　　　　. 

解析由题意知在曲线上一点(x0,f(x0))的切线斜率为

=(Δx)2+x0Δx+-2x0+3-Δx

=-2x0+3,故当x0=1时,切线最小的斜率为2.

∴y=×13-12+3×1-=2,

故斜率最小的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

答案y=2x