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人教版数学六年级上册第5单元《圆》单元复习讲义（原卷版+解析版）
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人教版数学六年级上册第五单元《圆》单元复习一、圆的认识1．圆的定义：一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。2．圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。6.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。7.圆的对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。二、圆的周长。 8．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。9．圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14。世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。10．圆的周长公式：或圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2三、圆的面积。 11.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。12．圆的面积公式：或者或者13.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。14.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。15.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是或。（其中R＝r＋环的宽度）16．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2公式为：半圆面积＝圆的面积÷2公式为：17．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。18．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。19．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。四、扇形。 20．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。圆的认识。1．将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。【答案】圆【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理即可理解。【详解】将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是（圆）。2．( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。【答案】 圆心 半径【详解】画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。3．填表（单位：米）。【答案】见详解【分析】根据在一个圆内，直径是半径的2倍，解答即可。【详解】0.24×2＝0.48（米）0.86÷2＝0.43（米）1.42×2＝2.84（米）1.04÷2＝0.52（米）2.6×2＝5.2（米）4．在一块长8分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取( )个直径是2分米的圆形铁板。【答案】8【分析】根据题意，先确定长方形的长可以截取几个圆，宽可以截取几个圆，即长、宽里面各有几个2分米，用除法计算，再把长、宽可以截取的圆的个数相乘即可求解。【详解】8÷2＝4（个）5÷2＝2（个）……1（分米）4×2＝8（个）最多能截取8个直径是2分米的圆形铁板。圆与半圆的周长。1．一个半圆的半径是4dm，这个半圆的周长是( )dm。【答案】20.56【分析】半圆的周长=πr+2r，把半径的长度4dm代入公式计算即可。【详解】3.14×4＋2×4＝12.56＋8＝20.56（dm）所以这个半圆的周长是20.56dm。【点睛】注意半圆的周长不等于圆的周长的一半，而是等于圆的周长的一半加上1条直径（或2条半径）。2．用一根长6.28m的铁丝弯成一个铁环，这个铁环的直径是( )m。【答案】2【分析】铁丝长度是圆的周长，根据圆的直径＝圆的周长÷圆周率，列式计算即可。【详解】6.28÷3.14＝2（m）这个铁环的直径是2m。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式。3．如图，图中每个圆的半径是5厘米，每个圆的周长是( )，这个长方形的周长是( )。【答案】 31.4厘米/31.4cm 80厘米/80cm【分析】根据圆周长公式：C＝2πr，用2×3.14×5即可求出每个圆周长，观察题意可知每个长方形的长相当于圆的3个直径，宽相当于圆的1个直径，据此求出长方形的长和宽，再根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，代入数据解答。【详解】2×3.14×5＝31.4（厘米）5×2＝10（厘米）10×3＝30（厘米）（30＋10）×2＝40×2＝80（厘米）图中每个圆的半径是5厘米，每个圆的周长是31.4厘米；这个长方形的周长是80厘米。4．一个挂钟的时针长8分米，时针尖端一昼夜走过的路程是多少分米？【答案】100.48分米【分析】一昼夜时针尖端绕钟面转动2圈，根据圆的周长＝2πr，求出一圈长度，乘2即可。【详解】2×3.14×8×2＝50.24×2＝100.48（分米）答：时针尖端一昼夜走过的路程是100.48分米。5．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，要骑过62.8米长的钢丝，车轮大约转动多少周？【答案】50周【分析】用总的长度÷车轮的周长＝转动的周数，先换算单位，再求圆的周长，圆的周长＝πd，依据公式计算即可。【详解】62.8米＝6280厘米6280÷（3.14×40）＝6280÷125.6＝50（周）答：车轮大约转动50周。6．在一个半径为50米的圆形小广场周围栽树，每隔6.28米栽一棵树，一共可以栽多少棵树？【答案】50棵【分析】根据圆周长公式：C＝2πr，用50×2×3.14即可求出小广场周长；植树棵数＝间隔数，总长度÷间隔距离＝间隔数，用小广场周长除以6.28米，即可求出植树棵数。【详解】50×2×3.14＝314（米）314÷6.28＝50（棵）答：一共可以栽50棵树。不规则或组合图形的周长。1．如下图，幸福小学操场的跑道由正方形的两条对边和两个半圆组成，笑笑在操场上跑了4圈，一共跑了多少米？【答案】1028米【分析】由题意可知，根据圆的周长公式先求出直径是50米圆的周长，然后再加上两条正方形的边长，求出一圈的长度再乘4即可解答。【详解】（3.14×50＋50×2）×4＝（157＋100）×4＝257×4＝1028（米）答：一共跑了1028米。2．如图，4根直径为40厘米的圆木被一根铁丝紧紧地捆在一起，求这根铁丝的长。【答案】285.6厘米【分析】由题意可知，铁丝的长度等于1个圆的周长再加4个直径的长度，圆木的直径已知，从而可以求出铁丝的长度。【详解】3.14×40＋4×40＝125.6＋160＝285.6（厘米）答：这根铁丝长285.6厘米。2．下图是公园中的一个花瓣形状的门洞，这个门洞的四周是4个直径相等的半圆。它的周长是多少？【答案】7.536米【分析】根据图形可知门洞的周长是四个半圆的弧长，也就是2个圆的周长，根据圆的周长计算公式可解。【详解】1.2×3.14×2＝3.768×2＝7.536（米）答：它的周长是7.536米。圆的面积。1．一个圆形茶几桌面直径是10cm，它的周长是( )m，面积是( )cm2。【答案】 0.314 78.5【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此代入数值进行计算即可。【详解】3.14×10＝31.4（cm）31.4cm＝0.314m3.14×（10÷2）2＝3.14×52＝3.14×25＝78.5（cm2）则一个圆形茶几桌面直径是10cm，它的周长是0.314m，面积是78.5cm2。2．在一个长6cm，宽3cm的长方形里画一个最大的半圆，这个半圆的直径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 6 15.42 14.13【分析】由题意可知，长方形的长是6cm，宽是3cm，以长方形的长为直径的圆是长方形里面最大的半圆，半圆的周长比圆周长的一半多一条直径的长度，分别求出半圆的周长和面积，据此解答。【详解】分析可知，这个半圆的直径是6cm。3.14×6÷2＋6＝18.84÷2＋6＝9.42＋6＝15.42（cm）3.14×（6÷2）2÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（cm2）所以，这个半圆的直径是6cm，周长是15.42cm，面积是14.13cm2。3．小圆半径是2厘米，大圆半径是3厘米，小圆与大圆周长的比是( )，面积比是( )。【答案】 2∶3 4∶9【分析】圆的周长＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，两个圆的半径比＝周长比，半径比前后项平方以后的比是面积比，据此分析。【详解】22∶32＝4∶9小圆半径是2厘米，大圆半径是3厘米，小圆与大圆周长的比是2∶3，面积比是4∶9。4．如下图，将一个圆等分成若干份，再拼成一个近似的长方形，圆的周长是31.4厘米，近似的长方形的周长是( )厘米。 【答案】41.4【分析】由图可知，近似长方形的长相当于圆周长的一半，近似长方形的宽相当于圆的半径，求出圆的直径，近似长方形的周长＝圆的周长＋一条直径的长度，据此解答。【详解】31.4＋31.4÷3.14＝31.4＋10＝41.4（厘米）所以，近似的长方形的周长是41.4厘米。【点睛】掌握圆的面积公式的推导过程，理解近似长方形的长与宽和圆的周长与半径的对应关系是解答题目的关键。圆环的面积。1．一个直径是14米的圆形花坛，周围有一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？【答案】47.1平方米【分析】先求出圆形花坛的半径，小路是一个环形，小圆的半径就是花坛的半径，大圆的半径＝小圆的半径＋环宽，再根据“S环=π（R²-r²）”求出这条小路的面积，据此解答。【详解】14÷2＝7（米）7＋1＝8（米）3.14×（82－72）＝3.14×15＝47.1（平方米）答：这条小路的面积是47.1平方米。2．花博园菊花展，要用大理石沿圆形花坛外围铺一条4米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？如果每平方米按200元的费用计算，铺设这条小路需要多少元？【答案】552.64平方米；110528元【分析】已知圆形花坛的直径是40米，用直径除以2，求出内圆的半径；又已知沿圆形花坛外围铺一条4米宽的小路，用内圆的半径加上4米，求出外圆的半径；求这条小路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2）即可求解；再用每平方米的费用乘小路的面积，求出铺设这条小路需要的总费用。【详解】40÷2＝20（米）20＋4＝24（米）3.14×（242－202）＝3.14×（576－400）＝3.14×176＝552.64（平方米）200×552.64＝110528（元）答：这条小路的面积是552.64平方米，铺设这条小路需要110528元。外方内圆与外圆内方。1．在一个长为16cm，宽为10cm的长方形内画一个最大的圆，它的周长是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 31.4 78.5【分析】根据题意，在一个长方形内画一个最大的圆，那么圆的直径等于长方形的宽；根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。【详解】3.14×10＝31.4（cm）3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（cm2）这个圆的周长是31.4cm，面积是78.5cm2。【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积公式的运用，明确长方形内最大的圆的直径等于长方形的宽。含圆的阴影部分图形面积。1．求下图的周长和面积。【答案】34.84厘米；19.74平方厘米【分析】如图所示，整个图形是一个长方形，空白部分合在一起是一个整圆，阴影部分的周长＝空白部分圆的周长＋长方形的长×2，阴影部分的面积＝长方形的面积－空白部分圆的面积，据此解答。【详解】周长：3.14×6＋8×2＝18.84＋16＝34.84（厘米）面积：6×8－3.14×（6÷2）2＝6×8－3.14×9＝48－28.26＝19.74（平方厘米）所以，阴影部分的周长是34.84厘米，阴影部分的面积是19.74平方厘米。2．求阴影部分的面积。 【答案】2平方厘米【分析】如图：先把左边的弓形经过对称到右边，与右边的阴影部分组合成一个直角三角形；已知圆的直径为4厘米，则半径为4÷2＝2（厘米），且这个直角三角形的底和高均和圆的半径相等，那么要求得阴影部分面积，根据三角形面积＝底×高÷2，列式为：（4÷2）×（4÷2）÷2。 【详解】（4÷2）×（4÷2）÷2＝2×2÷2＝2（平方厘米）阴影部分面积是2平方厘米。3．计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】343平方厘米；75.36平方厘米【分析】阴影部分可以看成是一个长方形减去一个半圆的面积，根据长方形的面积＝长×宽，圆的面积S＝πr2，把数据代入计算即可；阴影部分是一个半圆环，根据圆环的面积S环＝π（R2－r2），把数据代入公式，所得结果再除以2即可。【详解】20×25－（20÷2）2×3.14÷2＝500－102×3.14÷2＝500－100×3.14÷2＝500－314÷2＝500－157＝343（平方厘米）所以阴影部分的面积为343平方厘米；大圆半径：16÷2＝8（厘米）小圆半径：8÷2＝4（厘米）3.14×（82－42）÷2＝3.14×（64－16）÷2＝3.14×48÷2＝150.72÷2＝75.36（平方厘米）所以阴影部分的面积为75.36平方厘米。圆与作图。1．分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径各画一个圆。【答案】见详解【分析】画圆时，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。用圆规画圆，分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径各画一个圆。【详解】如图：【点睛】明确画圆时，圆规两脚间的距离等于圆的半径。一、填空题。1．在同一个圆里，半径的长度是直径的( )。【答案】一半【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，据此填空。【详解】如图，在同一个圆里，半径的长度是直径的一半。2．一个挂钟分钟长7cm，它的尖端走了一圈走了( )cm。【答案】43.96【分析】由题意可知，求挂钟走了一圈就是求半径为7cm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此进行计算即可。【详解】3.14×2×7＝6.28×7＝43.96（cm）则它的尖端走了一圈走了43.96cm。3．在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( )厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是( )厘米。【答案】 4 10【分析】在长方形上画一个最大的圆，则圆的直径相当于长方形的宽，根据d＝2r，用8÷2即可求出圆的半径，如果在这个长方形内画一个最大的半圆，则半径要小于宽，所以以长为半圆的直径可以画出最大的半圆。据此解答。【详解】8÷2＝4（厘米）10÷2＝5（厘米）5＜8在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是4厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是10厘米。4．把一个圆平均分成若干等份后，拼成了一个近似的长方形，这个长方形的长是3.14米，那么这个圆的周长是( )米。【答案】6.28【分析】把一个圆平均分成若干等份后，拼成了一个近似的长方形，长方形的长＝圆周长的一半，长方形的长×2＝圆的周长，据此列式计算。【详解】3.14×2＝6.28（米）这个圆的周长是6.28米。5．如图，正方形的内部有一个四分之一圆（涂色部分），已知正方形的面积是20平方厘米，涂色部分的面积是( )平方厘米。 【答案】15.7【分析】正方形边长＝四分之一圆的半径，正方形面积＝边长×边长＝边长2；涂色部分的面积＝πr2÷4，据此列式计算。【详解】3.14×20÷4＝15.7（平方厘米）涂色部分的面积是15.7平方厘米。【点睛】关键是理解正方形和四分之一圆之间的关系，掌握并灵活运用正方形和扇形面积公式。二、判断题。1.画圆时圆规两脚叉开的距离，也就是所画的圆的直径。( )【答案】×【分析】画圆时圆规两脚叉开的距离，也就是所画的圆的半径。【详解】根据分析可知画圆时圆规两脚叉开的距离，也就是所画的圆的半径。故答案为：×2.半径为2厘米的圆的周长和面积相等。( )【答案】×【分析】根据圆的周长和面积的意义，圆的周长是指围成这个圆的曲线的长度，而面积是指所围成圆的平面的大小，它们不是同类量，不能进行比较。据此判断。【详解】因为圆的周长和圆的面积它们不是同类量，不能进行比较，所以原题说法是错误的。故答案为：×3.在同一个圆中，半圆的周长大于圆周长的一半。( )【答案】√【分析】根据半圆的周长＝整圆的周长的一半＋一条直径的长度，据此判断即可。【详解】由分析可知：在同一个圆中，半圆的周长比圆周长的一半多一条直径的长度。原题干说法正确。故答案为：√4.圆越大它的圆周率就越大，圆越小它的的圆周率就越小。( )【答案】×【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。【详解】圆周率是圆的周长与直径的比值，是个固定的数，与圆的大小无关，所以原题说法错误。故答案为：×三、选择题1．在下面图形中，对称轴最多的是（ ）。A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．半圆形【答案】A【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此解答即可。【详解】A．正方形有4条对称轴；B．一般三角形不是轴对称图形，没有对称轴；等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴；C．长方形有2条对称轴；D．半圆形有1条对称轴；则对称轴最多的是正方形。故答案为：A2．一个小圆和一个大圆的直径比是2∶3，小圆和大圆的周长的比是（ ）。A．2∶3 B．3∶2 C．4∶6 D．4∶9【答案】A【分析】已知小圆和大圆的直径之比是2∶3，假设小圆的直径为2，则大圆的直径为3，根据圆的周长＝πd，分别求两个圆的周长，即可求得其周长比。【详解】假设小圆的直径为2，则大圆的直径为3，则它们的周长比是（π×2）∶（π×3）＝2π∶3π＝（2π÷π）∶（3π÷π）＝2∶3一个小圆和一个大圆的直径比是2∶3，小圆和大圆的周长的比是2∶3。故答案为：A3.一个圆的直径由5分米减少到4分米，周长比原来减少原来的（ ）。A． B． C． D．【答案】A【分析】一个圆的直径由5分米减少到4分米，根据圆的周长公式：C＝πd，代入数据求出原来圆的周长和减少后圆的周长，用原来圆的周长减去减少后圆的周长，再除以原来圆的周长，即可得解。【详解】3.14×5＝15.7（分米）3.14×4＝12.56（分米）（15.7－12.56）÷15.7＝3.14÷15.7＝15即周长比原来减少原来的15。故答案为：A4.如图，从甲地到乙地有A、B两条路可走，这两条路的长度相比，结果是（ ）。A．路线A长 B．路线B长 C．同样长 D．不能确定【答案】C【分析】由图中可得到：A走的路线是圆的周长，圆的直径是A、B两地直线距离的一半；B走的路线是圆的周长一半，直径是A、B两地直线距离。可设A路线的圆周长的直径为d，则B走的路线直径是2d，根据圆周长＝πd，计算得出答案。【详解】设A路线的圆周长的直径为d，则B走的路线直径是2d。则：A路线长：πd；B路线长：2πd2=πd。即A路线与B路线一样长。故答案为：C四、图形计算。正方形的边长是2厘米，求阴影部分的周长和面积。 【答案】6.28厘米；0.86平方厘米【分析】观察图形可得，阴影部分的周长等于直径是2厘米的圆的周长；阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个半径2÷2＝1（厘米）的圆的面积，分别利用正方形和圆的面积公式，求出这两个图形的面积，再相减即可得解。【详解】周长：2×3.14＝6.28（厘米）面积：2×2－3.14×（2÷2）2＝4－3.14×12＝4－3.14＝0.86（平方厘米）即阴影部分的周长是6.28厘米，面积是0.86平方厘米。五、解决问题。1.聪聪在西安街头看到一种共享单车，前齿轮齿数是36个，后齿轮齿数是16个。后轮直径约为60厘米，这种单车蹬一圈大约前进多少米？（得数保留1位小数）【答案】4.2米【分析】将前齿轮齿数除以后齿轮齿数，求出蹬一圈，后轮转过的圈数。圆周长＝3.14×直径，据此求出后轮周长，将后轮周长乘后轮转过的圈数，即可求出这种单车蹬一圈大约前进的距离。【详解】36÷16＝2.25（圈）3.14×60×2.25＝188.4×2.25＝423.9（厘米）423.9厘米＝4.239米≈4.2米答：这种单车蹬一圈大约前进4.2米。2.一个圆形菜地的周长是18.84米，如果周围再加宽2米，这时菜地的周长是多少米？菜地的面积增加了多少平方米？【答案】31.4米；50.24平方米【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，据此求出菜地的直径，如果周围再加宽2米，即可得到加宽后的直径，进而求出这时菜地的周长；根据圆的面积公式：S＝πr2，然后用加宽后菜地的面积减去加宽前菜地的面积即可求出面积增加了多少。【详解】18.84÷3.14＝6（米）6＋2×2＝6＋4＝10（米）3.14×10＝31.4（米）3.14×（10÷2）2－3.14×（6÷2）2＝3.14×52－3.14×32＝3.14×25－3.14×9＝3.14×（25－9）＝3.14×16＝50.24（平方米）答：这时菜地的周长是31.4米，菜地的面积增加了50.24平方米。3.为庆祝中国共产党二十大胜利召开，县政府在文化广场搭建了一个半径是6米的半圆形花坛供市民观赏。 （1）这个花坛的一周有多长？（2）这个花坛的占地面积是多少平方米？【答案】（1）30.84米（2）56.52平方米【分析】（1）根据半圆的周长＝πr＋2r，列式解答即可；（2）根据半圆的面积＝πr2÷2，列式解答即可。【详解】（1）3.14×6＋6×2＝18.84＋12＝30.84（米）答：这个花坛的一周有30.84米长。（2）3.14×62÷2＝3.14×36÷2＝56.52（平方米）答：这个花坛的占地面积是56.52平方米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。答：六年级一共有210人。 r0.241.422.6d0.861.04
人教版数学六年级上册第五单元《圆》单元复习一、圆的认识1．圆的定义：一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。2．圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。6.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。7.圆的对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。二、圆的周长。 8．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。9．圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14。世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。10．圆的周长公式：或圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2三、圆的面积。 11.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。12．圆的面积公式：或者或者13.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。14.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。15.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是或。（其中R＝r＋环的宽度）16．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2公式为：半圆面积＝圆的面积÷2公式为：17．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。18．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。19．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。四、扇形。 20．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。圆的认识。1．将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。【答案】圆【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理即可理解。【详解】将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是（圆）。2．( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。【答案】 圆心 半径【详解】画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。3．填表（单位：米）。【答案】见详解【分析】根据在一个圆内，直径是半径的2倍，解答即可。【详解】0.24×2＝0.48（米）0.86÷2＝0.43（米）1.42×2＝2.84（米）1.04÷2＝0.52（米）2.6×2＝5.2（米）4．在一块长8分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取( )个直径是2分米的圆形铁板。【答案】8【分析】根据题意，先确定长方形的长可以截取几个圆，宽可以截取几个圆，即长、宽里面各有几个2分米，用除法计算，再把长、宽可以截取的圆的个数相乘即可求解。【详解】8÷2＝4（个）5÷2＝2（个）……1（分米）4×2＝8（个）最多能截取8个直径是2分米的圆形铁板。圆与半圆的周长。1．一个半圆的半径是4dm，这个半圆的周长是( )dm。【答案】20.56【分析】半圆的周长=πr+2r，把半径的长度4dm代入公式计算即可。【详解】3.14×4＋2×4＝12.56＋8＝20.56（dm）所以这个半圆的周长是20.56dm。【点睛】注意半圆的周长不等于圆的周长的一半，而是等于圆的周长的一半加上1条直径（或2条半径）。2．用一根长6.28m的铁丝弯成一个铁环，这个铁环的直径是( )m。【答案】2【分析】铁丝长度是圆的周长，根据圆的直径＝圆的周长÷圆周率，列式计算即可。【详解】6.28÷3.14＝2（m）这个铁环的直径是2m。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式。3．如图，图中每个圆的半径是5厘米，每个圆的周长是( )，这个长方形的周长是( )。【答案】 31.4厘米/31.4cm 80厘米/80cm【分析】根据圆周长公式：C＝2πr，用2×3.14×5即可求出每个圆周长，观察题意可知每个长方形的长相当于圆的3个直径，宽相当于圆的1个直径，据此求出长方形的长和宽，再根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，代入数据解答。【详解】2×3.14×5＝31.4（厘米）5×2＝10（厘米）10×3＝30（厘米）（30＋10）×2＝40×2＝80（厘米）图中每个圆的半径是5厘米，每个圆的周长是31.4厘米；这个长方形的周长是80厘米。4．一个挂钟的时针长8分米，时针尖端一昼夜走过的路程是多少分米？【答案】100.48分米【分析】一昼夜时针尖端绕钟面转动2圈，根据圆的周长＝2πr，求出一圈长度，乘2即可。【详解】2×3.14×8×2＝50.24×2＝100.48（分米）答：时针尖端一昼夜走过的路程是100.48分米。5．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，要骑过62.8米长的钢丝，车轮大约转动多少周？【答案】50周【分析】用总的长度÷车轮的周长＝转动的周数，先换算单位，再求圆的周长，圆的周长＝πd，依据公式计算即可。【详解】62.8米＝6280厘米6280÷（3.14×40）＝6280÷125.6＝50（周）答：车轮大约转动50周。6．在一个半径为50米的圆形小广场周围栽树，每隔6.28米栽一棵树，一共可以栽多少棵树？【答案】50棵【分析】根据圆周长公式：C＝2πr，用50×2×3.14即可求出小广场周长；植树棵数＝间隔数，总长度÷间隔距离＝间隔数，用小广场周长除以6.28米，即可求出植树棵数。【详解】50×2×3.14＝314（米）314÷6.28＝50（棵）答：一共可以栽50棵树。不规则或组合图形的周长。1．如下图，幸福小学操场的跑道由正方形的两条对边和两个半圆组成，笑笑在操场上跑了4圈，一共跑了多少米？【答案】1028米【分析】由题意可知，根据圆的周长公式先求出直径是50米圆的周长，然后再加上两条正方形的边长，求出一圈的长度再乘4即可解答。【详解】（3.14×50＋50×2）×4＝（157＋100）×4＝257×4＝1028（米）答：一共跑了1028米。2．如图，4根直径为40厘米的圆木被一根铁丝紧紧地捆在一起，求这根铁丝的长。【答案】285.6厘米【分析】由题意可知，铁丝的长度等于1个圆的周长再加4个直径的长度，圆木的直径已知，从而可以求出铁丝的长度。【详解】3.14×40＋4×40＝125.6＋160＝285.6（厘米）答：这根铁丝长285.6厘米。2．下图是公园中的一个花瓣形状的门洞，这个门洞的四周是4个直径相等的半圆。它的周长是多少？【答案】7.536米【分析】根据图形可知门洞的周长是四个半圆的弧长，也就是2个圆的周长，根据圆的周长计算公式可解。【详解】1.2×3.14×2＝3.768×2＝7.536（米）答：它的周长是7.536米。圆的面积。1．一个圆形茶几桌面直径是10cm，它的周长是( )m，面积是( )cm2。【答案】 0.314 78.5【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此代入数值进行计算即可。【详解】3.14×10＝31.4（cm）31.4cm＝0.314m3.14×（10÷2）2＝3.14×52＝3.14×25＝78.5（cm2）则一个圆形茶几桌面直径是10cm，它的周长是0.314m，面积是78.5cm2。2．在一个长6cm，宽3cm的长方形里画一个最大的半圆，这个半圆的直径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 6 15.42 14.13【分析】由题意可知，长方形的长是6cm，宽是3cm，以长方形的长为直径的圆是长方形里面最大的半圆，半圆的周长比圆周长的一半多一条直径的长度，分别求出半圆的周长和面积，据此解答。【详解】分析可知，这个半圆的直径是6cm。3.14×6÷2＋6＝18.84÷2＋6＝9.42＋6＝15.42（cm）3.14×（6÷2）2÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（cm2）所以，这个半圆的直径是6cm，周长是15.42cm，面积是14.13cm2。3．小圆半径是2厘米，大圆半径是3厘米，小圆与大圆周长的比是( )，面积比是( )。【答案】 2∶3 4∶9【分析】圆的周长＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，两个圆的半径比＝周长比，半径比前后项平方以后的比是面积比，据此分析。【详解】22∶32＝4∶9小圆半径是2厘米，大圆半径是3厘米，小圆与大圆周长的比是2∶3，面积比是4∶9。4．如下图，将一个圆等分成若干份，再拼成一个近似的长方形，圆的周长是31.4厘米，近似的长方形的周长是( )厘米。 【答案】41.4【分析】由图可知，近似长方形的长相当于圆周长的一半，近似长方形的宽相当于圆的半径，求出圆的直径，近似长方形的周长＝圆的周长＋一条直径的长度，据此解答。【详解】31.4＋31.4÷3.14＝31.4＋10＝41.4（厘米）所以，近似的长方形的周长是41.4厘米。【点睛】掌握圆的面积公式的推导过程，理解近似长方形的长与宽和圆的周长与半径的对应关系是解答题目的关键。圆环的面积。1．一个直径是14米的圆形花坛，周围有一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？【答案】47.1平方米【分析】先求出圆形花坛的半径，小路是一个环形，小圆的半径就是花坛的半径，大圆的半径＝小圆的半径＋环宽，再根据“S环=π（R²-r²）”求出这条小路的面积，据此解答。【详解】14÷2＝7（米）7＋1＝8（米）3.14×（82－72）＝3.14×15＝47.1（平方米）答：这条小路的面积是47.1平方米。2．花博园菊花展，要用大理石沿圆形花坛外围铺一条4米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？如果每平方米按200元的费用计算，铺设这条小路需要多少元？【答案】552.64平方米；110528元【分析】已知圆形花坛的直径是40米，用直径除以2，求出内圆的半径；又已知沿圆形花坛外围铺一条4米宽的小路，用内圆的半径加上4米，求出外圆的半径；求这条小路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2）即可求解；再用每平方米的费用乘小路的面积，求出铺设这条小路需要的总费用。【详解】40÷2＝20（米）20＋4＝24（米）3.14×（242－202）＝3.14×（576－400）＝3.14×176＝552.64（平方米）200×552.64＝110528（元）答：这条小路的面积是552.64平方米，铺设这条小路需要110528元。外方内圆与外圆内方。1．在一个长为16cm，宽为10cm的长方形内画一个最大的圆，它的周长是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 31.4 78.5【分析】根据题意，在一个长方形内画一个最大的圆，那么圆的直径等于长方形的宽；根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。【详解】3.14×10＝31.4（cm）3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（cm2）这个圆的周长是31.4cm，面积是78.5cm2。【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积公式的运用，明确长方形内最大的圆的直径等于长方形的宽。含圆的阴影部分图形面积。1．求下图的周长和面积。【答案】34.84厘米；19.74平方厘米【分析】如图所示，整个图形是一个长方形，空白部分合在一起是一个整圆，阴影部分的周长＝空白部分圆的周长＋长方形的长×2，阴影部分的面积＝长方形的面积－空白部分圆的面积，据此解答。【详解】周长：3.14×6＋8×2＝18.84＋16＝34.84（厘米）面积：6×8－3.14×（6÷2）2＝6×8－3.14×9＝48－28.26＝19.74（平方厘米）所以，阴影部分的周长是34.84厘米，阴影部分的面积是19.74平方厘米。2．求阴影部分的面积。 【答案】2平方厘米【分析】如图：先把左边的弓形经过对称到右边，与右边的阴影部分组合成一个直角三角形；已知圆的直径为4厘米，则半径为4÷2＝2（厘米），且这个直角三角形的底和高均和圆的半径相等，那么要求得阴影部分面积，根据三角形面积＝底×高÷2，列式为：（4÷2）×（4÷2）÷2。 【详解】（4÷2）×（4÷2）÷2＝2×2÷2＝2（平方厘米）阴影部分面积是2平方厘米。3．计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】343平方厘米；75.36平方厘米【分析】阴影部分可以看成是一个长方形减去一个半圆的面积，根据长方形的面积＝长×宽，圆的面积S＝πr2，把数据代入计算即可；阴影部分是一个半圆环，根据圆环的面积S环＝π（R2－r2），把数据代入公式，所得结果再除以2即可。【详解】20×25－（20÷2）2×3.14÷2＝500－102×3.14÷2＝500－100×3.14÷2＝500－314÷2＝500－157＝343（平方厘米）所以阴影部分的面积为343平方厘米；大圆半径：16÷2＝8（厘米）小圆半径：8÷2＝4（厘米）3.14×（82－42）÷2＝3.14×（64－16）÷2＝3.14×48÷2＝150.72÷2＝75.36（平方厘米）所以阴影部分的面积为75.36平方厘米。圆与作图。1．分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径各画一个圆。【答案】见详解【分析】画圆时，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。用圆规画圆，分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径各画一个圆。【详解】如图：【点睛】明确画圆时，圆规两脚间的距离等于圆的半径。一、填空题。1．在同一个圆里，半径的长度是直径的( )。【答案】一半【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，据此填空。【详解】如图，在同一个圆里，半径的长度是直径的一半。2．一个挂钟分钟长7cm，它的尖端走了一圈走了( )cm。【答案】43.96【分析】由题意可知，求挂钟走了一圈就是求半径为7cm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此进行计算即可。【详解】3.14×2×7＝6.28×7＝43.96（cm）则它的尖端走了一圈走了43.96cm。3．在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( )厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是( )厘米。【答案】 4 10【分析】在长方形上画一个最大的圆，则圆的直径相当于长方形的宽，根据d＝2r，用8÷2即可求出圆的半径，如果在这个长方形内画一个最大的半圆，则半径要小于宽，所以以长为半圆的直径可以画出最大的半圆。据此解答。【详解】8÷2＝4（厘米）10÷2＝5（厘米）5＜8在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是4厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是10厘米。4．把一个圆平均分成若干等份后，拼成了一个近似的长方形，这个长方形的长是3.14米，那么这个圆的周长是( )米。【答案】6.28【分析】把一个圆平均分成若干等份后，拼成了一个近似的长方形，长方形的长＝圆周长的一半，长方形的长×2＝圆的周长，据此列式计算。【详解】3.14×2＝6.28（米）这个圆的周长是6.28米。5．如图，正方形的内部有一个四分之一圆（涂色部分），已知正方形的面积是20平方厘米，涂色部分的面积是( )平方厘米。 【答案】15.7【分析】正方形边长＝四分之一圆的半径，正方形面积＝边长×边长＝边长2；涂色部分的面积＝πr2÷4，据此列式计算。【详解】3.14×20÷4＝15.7（平方厘米）涂色部分的面积是15.7平方厘米。【点睛】关键是理解正方形和四分之一圆之间的关系，掌握并灵活运用正方形和扇形面积公式。二、判断题。1.画圆时圆规两脚叉开的距离，也就是所画的圆的直径。( )【答案】×【分析】画圆时圆规两脚叉开的距离，也就是所画的圆的半径。【详解】根据分析可知画圆时圆规两脚叉开的距离，也就是所画的圆的半径。故答案为：×2.半径为2厘米的圆的周长和面积相等。( )【答案】×【分析】根据圆的周长和面积的意义，圆的周长是指围成这个圆的曲线的长度，而面积是指所围成圆的平面的大小，它们不是同类量，不能进行比较。据此判断。【详解】因为圆的周长和圆的面积它们不是同类量，不能进行比较，所以原题说法是错误的。故答案为：×3.在同一个圆中，半圆的周长大于圆周长的一半。( )【答案】√【分析】根据半圆的周长＝整圆的周长的一半＋一条直径的长度，据此判断即可。【详解】由分析可知：在同一个圆中，半圆的周长比圆周长的一半多一条直径的长度。原题干说法正确。故答案为：√4.圆越大它的圆周率就越大，圆越小它的的圆周率就越小。( )【答案】×【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。【详解】圆周率是圆的周长与直径的比值，是个固定的数，与圆的大小无关，所以原题说法错误。故答案为：×三、选择题1．在下面图形中，对称轴最多的是（ ）。A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．半圆形【答案】A【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此解答即可。【详解】A．正方形有4条对称轴；B．一般三角形不是轴对称图形，没有对称轴；等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴；C．长方形有2条对称轴；D．半圆形有1条对称轴；则对称轴最多的是正方形。故答案为：A2．一个小圆和一个大圆的直径比是2∶3，小圆和大圆的周长的比是（ ）。A．2∶3 B．3∶2 C．4∶6 D．4∶9【答案】A【分析】已知小圆和大圆的直径之比是2∶3，假设小圆的直径为2，则大圆的直径为3，根据圆的周长＝πd，分别求两个圆的周长，即可求得其周长比。【详解】假设小圆的直径为2，则大圆的直径为3，则它们的周长比是（π×2）∶（π×3）＝2π∶3π＝（2π÷π）∶（3π÷π）＝2∶3一个小圆和一个大圆的直径比是2∶3，小圆和大圆的周长的比是2∶3。故答案为：A3.一个圆的直径由5分米减少到4分米，周长比原来减少原来的（ ）。A． B． C． D．【答案】A【分析】一个圆的直径由5分米减少到4分米，根据圆的周长公式：C＝πd，代入数据求出原来圆的周长和减少后圆的周长，用原来圆的周长减去减少后圆的周长，再除以原来圆的周长，即可得解。【详解】3.14×5＝15.7（分米）3.14×4＝12.56（分米）（15.7－12.56）÷15.7＝3.14÷15.7＝15即周长比原来减少原来的15。故答案为：A4.如图，从甲地到乙地有A、B两条路可走，这两条路的长度相比，结果是（ ）。A．路线A长 B．路线B长 C．同样长 D．不能确定【答案】C【分析】由图中可得到：A走的路线是圆的周长，圆的直径是A、B两地直线距离的一半；B走的路线是圆的周长一半，直径是A、B两地直线距离。可设A路线的圆周长的直径为d，则B走的路线直径是2d，根据圆周长＝πd，计算得出答案。【详解】设A路线的圆周长的直径为d，则B走的路线直径是2d。则：A路线长：πd；B路线长：2πd2=πd。即A路线与B路线一样长。故答案为：C四、图形计算。正方形的边长是2厘米，求阴影部分的周长和面积。 【答案】6.28厘米；0.86平方厘米【分析】观察图形可得，阴影部分的周长等于直径是2厘米的圆的周长；阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个半径2÷2＝1（厘米）的圆的面积，分别利用正方形和圆的面积公式，求出这两个图形的面积，再相减即可得解。【详解】周长：2×3.14＝6.28（厘米）面积：2×2－3.14×（2÷2）2＝4－3.14×12＝4－3.14＝0.86（平方厘米）即阴影部分的周长是6.28厘米，面积是0.86平方厘米。五、解决问题。1.聪聪在西安街头看到一种共享单车，前齿轮齿数是36个，后齿轮齿数是16个。后轮直径约为60厘米，这种单车蹬一圈大约前进多少米？（得数保留1位小数）【答案】4.2米【分析】将前齿轮齿数除以后齿轮齿数，求出蹬一圈，后轮转过的圈数。圆周长＝3.14×直径，据此求出后轮周长，将后轮周长乘后轮转过的圈数，即可求出这种单车蹬一圈大约前进的距离。【详解】36÷16＝2.25（圈）3.14×60×2.25＝188.4×2.25＝423.9（厘米）423.9厘米＝4.239米≈4.2米答：这种单车蹬一圈大约前进4.2米。2.一个圆形菜地的周长是18.84米，如果周围再加宽2米，这时菜地的周长是多少米？菜地的面积增加了多少平方米？【答案】31.4米；50.24平方米【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，据此求出菜地的直径，如果周围再加宽2米，即可得到加宽后的直径，进而求出这时菜地的周长；根据圆的面积公式：S＝πr2，然后用加宽后菜地的面积减去加宽前菜地的面积即可求出面积增加了多少。【详解】18.84÷3.14＝6（米）6＋2×2＝6＋4＝10（米）3.14×10＝31.4（米）3.14×（10÷2）2－3.14×（6÷2）2＝3.14×52－3.14×32＝3.14×25－3.14×9＝3.14×（25－9）＝3.14×16＝50.24（平方米）答：这时菜地的周长是31.4米，菜地的面积增加了50.24平方米。3.为庆祝中国共产党二十大胜利召开，县政府在文化广场搭建了一个半径是6米的半圆形花坛供市民观赏。 （1）这个花坛的一周有多长？（2）这个花坛的占地面积是多少平方米？【答案】（1）30.84米（2）56.52平方米【分析】（1）根据半圆的周长＝πr＋2r，列式解答即可；（2）根据半圆的面积＝πr2÷2，列式解答即可。【详解】（1）3.14×6＋6×2＝18.84＋12＝30.84（米）答：这个花坛的一周有30.84米长。（2）3.14×62÷2＝3.14×36÷2＝56.52（平方米）答：这个花坛的占地面积是56.52平方米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。答：六年级一共有210人。 r0.241.422.6d0.861.04
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