5.1.2 平行四边形的对角线性质 课件 鲁教版数学八年级上册

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第5章 平行四边形5.1 平行四边形的性质第2课时 平行四边形的对角线性质平行四边形的对角线互相平分平行四边形的面积平行四边形的性质：对边相等；对角相等回顾与思考 在上一课的“做一做”中，我们还发现：平行四边形的对角线互相平分. 请你尝试证明这一结论. 知识点平行四边形对角线互相平分 1例1已知：如图， ▱ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.求证：OA＝OC, OB＝OD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)， AB∥CD(平行四边形的定义).∴∠BAO＝∠DCO, ∠ABO＝∠CDO.∴△ABO≌△CDO. ∴OA＝OC，OB＝OD.你还有其他证明方法吗？与同伴交流. 证明：定理 平行四边形的对角线互相平分.对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD.由“平行四边形的对角线互相平分”可以得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个小三角形的周长之差等于平行四边形中对应的两邻边之差”.例2已知：如图， ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO(平行四边形的对角线互相平分），AD∥BC(平行四边形的定义）.∴∠ODE＝∠OBF.∵∠DOE＝∠BOF,∴△DOE≌△BOF. ∴OE＝OF.已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB 他的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度.因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC＝2OA＝6 ，BD＝2OB＝8 .又因为OA2＋OB2＝32＋42＝52＝AB2，所以AC⊥BD.由勾股定理，可得AD2＝OA2＋OD2，而OD＝OB，所以AD2＝32＋42.所以AD＝5. 同理，可得DC＝5，BC＝5.解：1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(　　)A．AO＝OD B．AO⊥ODC．AO＝OC D．AO⊥AB2.C如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是(　　)A．10 B．14 C．20 D．223.B如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为(　　)A. B. C. D.4.D如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(　　)A．14 B．13 C．12 D．105.C如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：①CF＝AE； ②OE＝OF；③DE＝BF； ④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是(　　)A．4 B．3 C．2 D．1B6.1. 面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；2. 等底等高的平行四边形的面积相等．知识点平行四边形的面积2例3如图， ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是________．20求 ABCD的周长，已知一条边AD＝6，只需求出AD的邻边AB或CD的长即可．∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，AD∥BC.∴EC＝BC－BE＝6－2＝4，∠ADE＝∠DEC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠EDC＝∠DEC. ∴DC＝EC＝4.∴ ABCD的周长是2×(4＋6)＝20.导引：例4 如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6， ∠B＝30°，则此平行四边形的面积是(　　) A．6　　　 B．12　　　 C．18　　　 D．24B过点A作AE⊥BC于E，根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面积公式即可求出其面积．如图，过点A作AE⊥BC于E，∵在直角三角形ABE中，∠B＝30°，∴AE＝ ×AB＝ ×4＝2.∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.导引：求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD的面积为(　 　)cm2.A．40 B．32 C．36 D．501.A2. 如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是(　　)A．S1＞S2 B．S1＜S2C．S1＝S2 D．2S1＝S2C3. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为(　　)A．3 B．6 C．12 D．24C练点 平行四边形的对角线性质 1. [母题·教材P123例2·2023·益阳]如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，下列结论一定成立的是(　C　)C2. [情境题·生活应用]阳光透过长方形玻璃射到地面上，地面上出现一个明亮的▱ ABCD 光影(如图)，连接 AC ， BD 交于点 O ，则图中的全等三角形共有(　D　)D3. [2024·临沂兰山区期末]如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，且 AC ＋ BD ＝22 cm.若 AB ＝5 cm，则△ OCD 的周长是(　A　)1. 平行四边形的对角线互相平分．2. 平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.试说明：OE＝OF.易错点：容易把未知条件当作已知条件使用∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，∵OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，又∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.错解：错解误认为已知E，O，F三点共线，从而得到∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个．E，O，F三点共线需要在解题过程中加以推理，否则就犯了逻辑错误．诊断：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF.正解：必做: 请完成教材课后练习 补充: 请完成本课时习题作业1作业2