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数学4 分式方程教案设计
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这是一份数学4 分式方程教案设计，共9页。教案主要包含了课时安排，第一课时，教学目标，教学重点，教学难点，教学过程，作业布置，教学反思等内容，欢迎下载使用。
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
（1）通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。
（2）通过观察，归纳分式方程的概念。
（3）体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。
【教学重点】
探索分式方程的概念，分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性。
【教学难点】
列方程解应用题。
【教学过程】
（一）板书课题，揭示目标。
自学指导：
请同学们认真考虑下列问题：
1．乘坐列车问题
甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？
2．高速公路问题
从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长450km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快30km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需的时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。这一问题中有哪些等量关系？
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为xh，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________________h。
根据题意，可得方程_______________________________________________。
教师点拨：
找出的等量关系有：
（1）600km=客车在普通公路上行驶的平均速度客车由普通公路从甲地到乙地的时间。
（2）450km=客车在高速公路上行驶的平均速度客车由高速公路从甲地到乙地的时间。
（3）客车在高速公路上行驶的平均速度减去客车在普通公路上行驶的平均速度。
（4）由高速公路从甲地到乙地的时间由普通公路从甲地到乙地的时间。
同样注意引导学生每一步的实际意义。
（三）电脑网络培训问题
1．王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？
这一问题中有哪些等量关系？
如果设原定是人，那么每人平均分摊______________元。
人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊_________________元。
根据题意，可得方程_______________________________________________。
教师点拨：
找出如下的等量关系
（1）实际参加活动的人数=原定人数。
（2）原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元。
根据题意：
（四）捐款问题
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园。某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程。
（五）管理问题
某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1：4，那么应抽调的管理人员数满足怎样的方程？
（六）课时小节
本节你有哪些收获，有什么感想？
1．对于一个现实问题找到它的等量关系建立分式方程。
2．分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
【作业布置】
随堂练习。
【教学反思】
1．问题的提出必须以现实生活为背景。不要出一些与实际生活不符的纯理论问题。
2．课堂上要把激发学生学习的积极性放在首位，多让学生说，帮助学生培养发展有条理的思考及其语言表达能力。同时要多注意困难学生的疑问。不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他同学的思考。使小组学习更有实效性。
3．列分式方程解决应用问题教学时，要引导学生抓住寻找等量关系，恰当选设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量等关键环节，细心分析问题中的数量关系。
【第二课时】
【教学目标】
1．体会分式方程到整式方程的转化思想。
2．掌握分式方程的解法。
【教学重难点】
掌握分式方程的解法。
【教学过程】
（一）
注意事项：
学生能很快回忆起根据等式性质，找出各分母的最小公分母，两边同时乘以相同的因式，达到去分母的目的，并能熟练解出方程。但是，部分学生容易出现去分母时漏乘某一项，特别是不含分母的项。另外，学生还容易出现的错误是：去分母后，如果分子是多项式，漏去括号，导致计算错误，这些错误在解分式方程时也容易出现，在复习一元一次方程时老师对这一点要重点强调。在复习解一元一次方程时，老师还应强调检验方程的根，培养学生严谨的作风，并为解分式方程的验根打下基础。
（二）想一想
活动内容：
解下列分式方程：
注意事项：
通过观察类比，学生容易发现只要方程两边同时乘以相同的因式，可以去分母，使方程变为学过的一元一次方程，从而解快了问题。另外，学生还能根据比例的性质：内项积等于外项积。解出这个方程，对于这部分学生应该鼓励，肯定数学一题多解。
（三）议一议
活动内容：
解分式方程：时，小明的解为，他的答案正确吗？
注意事项：
在解这个方程的过程中，学生容易忽视两个分母互为相反数，所以在去分母时会化简为繁。要提醒学生先将一个分母化为另一个分母的相反数。另外这个方程把学生易犯的错误集中在一起，例如-2这一项没乘公分母。通过仔细观察，积极讨论，学生都发现使原方程无意义，了解增根的概念，及产生的原因，提高了对方程验根的重视程度，总结出验根的方法（其方法是代入最简公分母中或原方程中进行检验，使分母为零的是增根，否则不是。）
（四）试一试
活动内容：
解下列分式方程：
注意事项：
通过前面的探索体验，学生都很有兴趣并能基本掌握分式方程的解法，并在老师的指导下，规范书写过程。在解题过程中，要提醒学生注意可先化简原方程，从而达到简便运算的目的。
（五）练一练
活动内容：
解下列分程
注意事项：
学生解第一小题时，从比例式的性质出发，利用外项积等于内项积的性质，交叉相乘，和利用等式性质去分母一样，都能把分式方程转化为整式方程。解第二题时，有的学生因为审题不仔细，把和当成两个不同的整式，给计算带来不必要的麻烦。反应出有些学生处理问题的能力的欠缺。
（六）学生小结
活动内容：
在今天的学习活动中，你学会了哪些知识？掌握了哪些数学方法？
注意事项：
学生在解方程过程中易犯的错误：
解方程时忘记检验；
去分母时忘记加括号；
去分母时漏乘不含分母的项。
（七）反馈练习
活动内容：
1．方程的解为（ ）。
A．1 B．-1 C． D．0
2．方程的解为___________。
3．解方程
4．若关于的方程有增根，则的值为_______。
注意事项：
从学生的反馈练习中来看，学生能熟练解出分式方程，但对增根的理解及灵活处理还不够，在今后的练习中还要巩固渗透，要让学生弄清增根产生的原因，因此要正确验根从而排除增根。
【作业布置】
解下列方程：
（1）
（2）
【教学反思】
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，本节课中，让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，在本节课中，关于分式方程的增根的教学，通过创设议一议的问题，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识、形成技能、发展思维、学会学习，促使学生在教师指导下，生动活泼地、主动地、富有个性地学习，使学生的学习能力得到最大限度的提升。
【第三课时】
【教学目标】
（1）能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。
（2）经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程。
【教学重难点】
经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程。
【教学过程】
（一）回顾
活动内容：
1．列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？
2．列一元一次方程解下列应用题：
某工人原计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10件，用12小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
（二）练一练
活动内容：
解下列分式方程：
（三）想一想
活动内容：
你能用所学过的知识和方法为下列应用题列出方程吗？
1．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时。现在该从甲站到乙站所用其所的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是千米/时，请根据题意列出方程。
2．“华联”商厦进货员在苏州用80000元购进某品牌衬衫，后又在上海用176000元购进这种品牌衬衫，数量是从苏州购进的2倍，只是单价比苏州的贵4元，请问从苏州购进的衬衫每件多少元？
（四）试一试
活动内容：
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
1．你能找出这一情境中的等量关系吗？
2．根据这一情境你能提出哪些问题？
3．你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
（五）做一做
活动内容：
某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去年12月份的水费是14.7元，而今年7月份的水费则是28元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多3立方米，求该市今年居民用水的价格。
（六）学生小结
活动内容：
你能用自己的语言总结这节课的主要内容，并谈谈你的感受。
解题步骤：1设；2列；3解；4检验；5得出结论。
（七）反馈练习
活动内容：
独立完成下列问题：
1．小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
2．某化肥厂计划在天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，那么适合的方程是（ ）。
A． B． C． D．
3．全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车进行宣传，全程共10千米，自行车队速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车车队晚到了2小时，如果设长跑队跑步的速度为千米/时，那么根据题意可列方程为（ ）。
A． B．
C． D．
【作业布置】
习题2.10
【教学反思】
在教学中应结合具体的数学内容采用“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心。在教学中始终把学生置于一种动态、开放、生动、多元的教学环境中。这种动态的开放式的学习，体现了活动、内容、问题的开放性，从探究实践中形成想象，抓本质、揭规律、找方法。
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
（1）通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。
（2）通过观察，归纳分式方程的概念。
（3）体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。
【教学重点】
探索分式方程的概念，分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性。
【教学难点】
列方程解应用题。
【教学过程】
（一）板书课题，揭示目标。
自学指导：
请同学们认真考虑下列问题：
1．乘坐列车问题
甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？
2．高速公路问题
从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长450km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快30km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需的时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。这一问题中有哪些等量关系？
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为xh，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________________h。
根据题意，可得方程_______________________________________________。
教师点拨：
找出的等量关系有：
（1）600km=客车在普通公路上行驶的平均速度客车由普通公路从甲地到乙地的时间。
（2）450km=客车在高速公路上行驶的平均速度客车由高速公路从甲地到乙地的时间。
（3）客车在高速公路上行驶的平均速度减去客车在普通公路上行驶的平均速度。
（4）由高速公路从甲地到乙地的时间由普通公路从甲地到乙地的时间。
同样注意引导学生每一步的实际意义。
（三）电脑网络培训问题
1．王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？
这一问题中有哪些等量关系？
如果设原定是人，那么每人平均分摊______________元。
人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊_________________元。
根据题意，可得方程_______________________________________________。
教师点拨：
找出如下的等量关系
（1）实际参加活动的人数=原定人数。
（2）原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元。
根据题意：
（四）捐款问题
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园。某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程。
（五）管理问题
某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1：4，那么应抽调的管理人员数满足怎样的方程？
（六）课时小节
本节你有哪些收获，有什么感想？
1．对于一个现实问题找到它的等量关系建立分式方程。
2．分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
【作业布置】
随堂练习。
【教学反思】
1．问题的提出必须以现实生活为背景。不要出一些与实际生活不符的纯理论问题。
2．课堂上要把激发学生学习的积极性放在首位，多让学生说，帮助学生培养发展有条理的思考及其语言表达能力。同时要多注意困难学生的疑问。不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他同学的思考。使小组学习更有实效性。
3．列分式方程解决应用问题教学时，要引导学生抓住寻找等量关系，恰当选设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量等关键环节，细心分析问题中的数量关系。
【第二课时】
【教学目标】
1．体会分式方程到整式方程的转化思想。
2．掌握分式方程的解法。
【教学重难点】
掌握分式方程的解法。
【教学过程】
（一）
注意事项：
学生能很快回忆起根据等式性质，找出各分母的最小公分母，两边同时乘以相同的因式，达到去分母的目的，并能熟练解出方程。但是，部分学生容易出现去分母时漏乘某一项，特别是不含分母的项。另外，学生还容易出现的错误是：去分母后，如果分子是多项式，漏去括号，导致计算错误，这些错误在解分式方程时也容易出现，在复习一元一次方程时老师对这一点要重点强调。在复习解一元一次方程时，老师还应强调检验方程的根，培养学生严谨的作风，并为解分式方程的验根打下基础。
（二）想一想
活动内容：
解下列分式方程：
注意事项：
通过观察类比，学生容易发现只要方程两边同时乘以相同的因式，可以去分母，使方程变为学过的一元一次方程，从而解快了问题。另外，学生还能根据比例的性质：内项积等于外项积。解出这个方程，对于这部分学生应该鼓励，肯定数学一题多解。
（三）议一议
活动内容：
解分式方程：时，小明的解为，他的答案正确吗？
注意事项：
在解这个方程的过程中，学生容易忽视两个分母互为相反数，所以在去分母时会化简为繁。要提醒学生先将一个分母化为另一个分母的相反数。另外这个方程把学生易犯的错误集中在一起，例如-2这一项没乘公分母。通过仔细观察，积极讨论，学生都发现使原方程无意义，了解增根的概念，及产生的原因，提高了对方程验根的重视程度，总结出验根的方法（其方法是代入最简公分母中或原方程中进行检验，使分母为零的是增根，否则不是。）
（四）试一试
活动内容：
解下列分式方程：
注意事项：
通过前面的探索体验，学生都很有兴趣并能基本掌握分式方程的解法，并在老师的指导下，规范书写过程。在解题过程中，要提醒学生注意可先化简原方程，从而达到简便运算的目的。
（五）练一练
活动内容：
解下列分程
注意事项：
学生解第一小题时，从比例式的性质出发，利用外项积等于内项积的性质，交叉相乘，和利用等式性质去分母一样，都能把分式方程转化为整式方程。解第二题时，有的学生因为审题不仔细，把和当成两个不同的整式，给计算带来不必要的麻烦。反应出有些学生处理问题的能力的欠缺。
（六）学生小结
活动内容：
在今天的学习活动中，你学会了哪些知识？掌握了哪些数学方法？
注意事项：
学生在解方程过程中易犯的错误：
解方程时忘记检验；
去分母时忘记加括号；
去分母时漏乘不含分母的项。
（七）反馈练习
活动内容：
1．方程的解为（ ）。
A．1 B．-1 C． D．0
2．方程的解为___________。
3．解方程
4．若关于的方程有增根，则的值为_______。
注意事项：
从学生的反馈练习中来看，学生能熟练解出分式方程，但对增根的理解及灵活处理还不够，在今后的练习中还要巩固渗透，要让学生弄清增根产生的原因，因此要正确验根从而排除增根。
【作业布置】
解下列方程：
（1）
（2）
【教学反思】
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，本节课中，让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，在本节课中，关于分式方程的增根的教学，通过创设议一议的问题，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识、形成技能、发展思维、学会学习，促使学生在教师指导下，生动活泼地、主动地、富有个性地学习，使学生的学习能力得到最大限度的提升。
【第三课时】
【教学目标】
（1）能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。
（2）经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程。
【教学重难点】
经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程。
【教学过程】
（一）回顾
活动内容：
1．列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？
2．列一元一次方程解下列应用题：
某工人原计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10件，用12小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
（二）练一练
活动内容：
解下列分式方程：
（三）想一想
活动内容：
你能用所学过的知识和方法为下列应用题列出方程吗？
1．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时。现在该从甲站到乙站所用其所的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是千米/时，请根据题意列出方程。
2．“华联”商厦进货员在苏州用80000元购进某品牌衬衫，后又在上海用176000元购进这种品牌衬衫，数量是从苏州购进的2倍，只是单价比苏州的贵4元，请问从苏州购进的衬衫每件多少元？
（四）试一试
活动内容：
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
1．你能找出这一情境中的等量关系吗？
2．根据这一情境你能提出哪些问题？
3．你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
（五）做一做
活动内容：
某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去年12月份的水费是14.7元，而今年7月份的水费则是28元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多3立方米，求该市今年居民用水的价格。
（六）学生小结
活动内容：
你能用自己的语言总结这节课的主要内容，并谈谈你的感受。
解题步骤：1设；2列；3解；4检验；5得出结论。
（七）反馈练习
活动内容：
独立完成下列问题：
1．小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
2．某化肥厂计划在天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，那么适合的方程是（ ）。
A． B． C． D．
3．全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车进行宣传，全程共10千米，自行车队速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车车队晚到了2小时，如果设长跑队跑步的速度为千米/时，那么根据题意可列方程为（ ）。
A． B．
C． D．
【作业布置】
习题2.10
【教学反思】
在教学中应结合具体的数学内容采用“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心。在教学中始终把学生置于一种动态、开放、生动、多元的教学环境中。这种动态的开放式的学习，体现了活动、内容、问题的开放性，从探究实践中形成想象，抓本质、揭规律、找方法。
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