第五章《三角函数》综合检测卷（拔尖C卷）(课件)

这是一份第五章《三角函数》综合检测卷（拔尖C卷）(课件)，共21页。

高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章综合检测卷（拔尖C卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．若角，则（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】分母有理化再利用平方关系和商数关系化简得解.【详解】解：.故选：C2．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；② 的整体范围在正弦函数的增区间内，取合适的整数求出的取值范围.【详解】，    ∵函数在区间内单调递增，∴，∴，∵，∴，若在区间上单调递增，则，解得，当时，，当时，，当取其它值时不满足，    ∴的取值范围为，故选：D3．已知函数，则下列结论中正确的是（     ）A．的最小正周期为B．点是图象的一个对称中心C．的值域为D．不等式的解集为【答案】C【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.【详解】，作出的图象，如图， 观察图象，的最小正周期为，A错误；的图象没有对称中心，B错误；的值域为，C正确；不等式，即时，，得，解得，所以的解集为，故D错误.故选：C4．已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由最值可求得，根据最小正周期可求得，由可求得，从而得到解析式；由三角函数平移和伸缩变换原则可得.【详解】由图象可知：，最小正周期，，，，，解得：，又，，；将图象向右平移个单位长度可得：；将横坐标变为原来的倍得：.故选：A.5．已知函数，对于任意的，方程恰有一个实数根，则m的取值范围为（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数的图象与直线有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m的取值范围.【详解】方程恰有一个实数根，等价于函数的图象与直线有且仅有1个交点．当得：，结合函数的图象可知，，解得：.故选：D6．已知函数，则以下结论：①的周期为；②的图像关于直线对称；③的最小值为；④在上单调，其中正确的个数为（     ）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】对于①，利用诱导公式证昨，故的周期为；对于②，研究在上的函数，利用余弦的函数性质及诱导公式证得，故的图像关于直线对称；对于③，分类讨论与两种情况，发现都不成立，故的最小值不为；对于④，直接计算发现，故在上不单调.【详解】对于①，因为，根据函数周期性的定义可知①正确；对于②，由得，研究1个周期上的函数图像即可，当时，，故，此时，，，故的图像关于直线对称，故②正确；对于③，若，则，此时，；同理：若，则，此时，；故最小值不能取，故③错误；对于④，因为，即，所以函数在上不单调，故④错误；综上：正确的个数为2.故选：B.7．已知函数的图象关于对称，且，则的值是（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为，其中，，由于函数的图象关于对称，所以，即，化简得，所以，即，所以，故选：C.8．将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，都存在，使得，则的值可能是（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意易得在上的值域包含在上的值域，再分析的最值判断值域的包含关系，结合选项排除即可【详解】由题，，又对任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又当时，，即在上的值域包含.又当时， ，且有解，故区间包含，排除AB；又当时，，因为，故不包含不合题意排除D；当时，此时，故，故此时在上的值域包含满足条件.综上所述满足条件故选：C多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知函数，则（     ）A． B．C．， D．，【答案】AD【分析】根据函数的解析式逐项检验函数是否满足相应的性质，必要时可利用反例.【详解】对于A，，故A正确.对于B，，故，故B错误.对于C，，故，故C错误.对于D，当k为奇数时，；当k为偶数时，，所以.故D正确.故选：AD.10．设函数，，则下列叙述正确的是（     ）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称【答案】ACD【分析】利用可求得，从而得到；根据正弦型函数最小正周期的求法可知A正确；利用代入检验法可知BD正误；根据正弦型函数最值的求法可知C正确.【详解】，，又，，；对于A，的最小正周期，A正确；对于B，当时，，不关于直线对称，B错误；对于C，当时，，则当，即时，，C正确；对于D，当时，，此时，的图象关于点对称，D正确.故选：ACD.11．若定义在R上的函数满足：（ⅰ）存在，使得；（ⅱ）存在，使得；（ⅲ）任意恒有．则下列关于函数的叙述中正确的是（     ）A．任意恒有 B．函数是偶函数C．函数在区间上是减函数 D．函数最大值是1，最小值是-1【答案】ABD【分析】A选项，赋值法得到，从而得到；B选项，令得到，再令得到，B正确；C选项，可举出反例；D选项，令得到，令，则，由，得到，故可得，求出函数最大值是1，最小值是-1.【详解】令得，故，上式中，用代替得：，即，从而，故，A正确；，令得：，即，∵，不恒为0，∴，令，得，即，又的定义域为R，定义域关于原点对称，所以为偶函数，B正确；不妨令，满足，故，此时存在，使得，且存在，使得；但函数在区间上不单调，C错误；令得：，即，所以，令，则，因为，所以，因为，所以，故函数最大值是1，最小值是-1.故选：ABD12．已知函数，则（     ）A．的最小正周期是B．的值域为C．当且仅当时，D．的单调递增区间为【答案】AB【分析】根据三角函数的性质可得当时，，当时，，结合图象逐一判断即可.【详解】当，即时，；当，即时，.综上，的值域为，故B正确；的单调递增区间是和，D错误；当时，，故C错误；结合的图象可知的最小正周期是，故A正确.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，且，则______．【答案】【分析】利用三角恒等变换及两角和差公式即可求得的值.【详解】，即，即，则，又，则，，则，即．（写成90°也给分）故答案为：或90°.14．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．【答案】【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积所以莱洛三角形的面积是.故答案为：15．已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为______.【答案】【分析】先由题意，得到为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；作出函数图象，结合图象，由勾股定理，列出方程求解， 即可得出结果.【详解】根据题意，为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；由题意，令，可得 ，则，所以，，即；当，，，当，，，如图所示，由勾股定理得，即，即，解得：.故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定两交点在同一周期内，结合函数图象列出方方程，即可求解，求解此类题目，要熟记三角函数的图象和性质.16．已知函数图像的两条相邻对称轴之间的距离小于，且，则的最小值为___________.【答案】13【分析】先由对称轴间的距离确定了，再利用得到，依次利用诱导公式与基本关系式求得、、的关于表达式，求出的值，进而得到，即可得到结果.【详解】，，因为两条相邻对称轴之间的距离小于，即，故，所以，因为在处取得最大值，所以，即，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，又，解得，又，所以，所以，又，所以，解得，又，所以的最小值为13.故答案为：13.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（）部分图象如图所示，函数的图象过点.(1)求函数的解析式；(2)当，求函数的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设及周期公式得，再由点在图象上求得、，即可得解析式；（2）应用诱导公式、辅助角公式得，根据自变量范围及正弦型函数的性质求值域.【详解】（1）因为，则，所以.由，则，，解得，，所以.由，则，所以.（2），因为，所以，则.所以函数值域为.18．已知，.(1)当且是第四象限角时，求的值；(2)若关于的方程有实数根，求的取值范围.注：立方差公式【答案】(1)；(2)【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求出、的值，再结合立方差公式可求得所求代数式的值；（2）由已知可得出，，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，由参变量分离法可得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围，综合可得结果.【详解】（1）解：因为，即，则，即，所以.因为是第四象限角，则，，所以，所以，所以.（2）解：由，可得，则方程可化为，.①当时，，显然方程无解；②当时，方程等价于.当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，又，故，所以要使得关于的方程有实数根，则.故的取值范围是.19．已知函数的最大值为．（1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(1);(2) 函数的单调递增区间;(3) 取最大值,取最小值-3.【详解】试题分析：(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，在计算所求.（2）利用正弦函数的最值，求在的最值.(3)求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可.(4)求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方. 试题解析：解：（1），（2）由，解得，所以函数的单调递增区间（3）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，，取最大值当时，，取最小值-3.考点：（1）求三角函数的单调区间；（2）求三角函数在闭区间上的最值.20．已知函数．(1)若，求函数在的值域；(2)若函数，且对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依题意可得，，根据二次函数的性质计算可得；（2）根据二次函数的性质求出，依题意，令，则问题转化为在上有解，参变分离可得，再令，最后利用对勾函数的性质计算可得；【详解】(1)解：因为，所以          因为，令          而在上单调递增  ，        所以，即         所以在的值域为(2)解：二次函数的对称轴为，开口向下，         所以在，         ，对任意的，都存在使得不等式成立，即，因为，令，所以在上有解，即在上有解         因为，所以，令，，所以，设，，函数在上为增函数，在为减函数，又，所以          综上可得21．设函数在的图像大致如下：(1)求的对称轴方程；(2)将函数图像上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像．证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得，结合图像可得，进而可得，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据图像变换规律可得，然后根据三角恒等变换即得.【详解】（1）因为，由题可知函数的最小正周期，即，由图像可知时，，所以，又，则，，由，可得，的对称轴方程为；（2）∵，．22．已知函数，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，将函数向左平移个单位得到的图像关于y轴对称且．(1)求函数的解析式：(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据给定函数的性质，求出，再由平移后的图象特征求出并判断作答.（2）由给定方程可得或，根据根的情况结合图形求解作答.【详解】(1)因函数图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，则的周期，解得，有，依题意的图像关于y轴对称，则有，即，而，即有或，当时，，不符合要求，当时，，所以函数的解析式是.(2)由（1）知，，当时，，，由得：，即或，由，即，而，解得或，即在上有两个根，方程在上存在4个不相等的实数根，当且仅当且在上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线，如图，方程在上有两个不等实根，当且仅当函数在上的图象和直线有两个公共点，观察图象知：或，解得或，所以实数a的取值范围是或.【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.