人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时精练

第2课时　函数表示法的应用

(教师独具内容)

课程标准：1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.2.进一步理解函数图象的作用．

教学重点：根据实际情境，选择恰当的函数表示法解决问题．

教学难点：在实际情境中，构造分段函数并解决问题.

【知识导学】

知识点　应用函数知识解决实际问题的一般步骤

(1)阅读材料、理解题意；

(2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型；

(3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论；

(4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题．

【新知拓展】

应用函数知识解决实际问题的关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f(x)＝2x＋1还能用图象法表示．(　　)

(2)在实际情境中，只能用解析法表示函数关系．(　　)

(3)利用函数解决实际问题时，函数的定义域仅考虑使函数的解析式有意义即可．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象，由图象可知，下列说法中错误的是(　　)

A．这天15时的温度最高

B．这天3时的温度最低

C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃

D．这天21时的温度是30 ℃

(2)李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他快速地回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是(　　)

(3)下表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高处h落下时，弹跳高度d与下落高度h的关系，则能表示这种关系的式子是________．

答案　(1)C　(2)D　(3)d＝(或h＝2d)

题型一　列表法在实际生活中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力F与温度t的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度t下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力F，得到了如下表所示的一组数据：

(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图象；

(2)根据上述数据以及得到的图象，你能得到怎样的实验结论呢？

[解]　(1)

(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37 ℃时，口香糖的黏附力最大．

金版点睛

1对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题，求解时需根据表中两个变量的对应数据，分析其变化情况，即可做出判断.

2在根据实际问题的特征选择合适的方法表示函数时，如果自变量有限，函数值确定，则可以选择列表法也可以用图象法；如果自变量的取值为区间的形式，则一般选择解析法.

　某商场在国庆促销期间，规定商场内所有商品均按标价的80%出售．同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的消费券：

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400－320＋30＝110元．若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为(　　)

A．130元  B．330元  C．360元  D．800元

答案　B

解析　当顾客购买一件标价为1000元的商品时，消费金额为1000×80%＝800.由表格，可知该顾客还可获得130元的消费券，故所能得到的优惠额为1000－800＋130＝330元．故选B.

题型二  图象法在实际生活中的应用

例2　如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回到家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：

(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

(2)何时开始第一次休息？休息了多长时间？

(3)第一次休息时，离家多远？

(4)11：00到12：00他骑了多少千米？

(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？

(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？

[解]　(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．

(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．

(3)第一次休息时，离家17千米．

(4)11：00至12：00他骑了13千米．

(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．

(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．

金版点睛

利用图象法解决实际问题的解题策略

仔细阅读题目条件，认真观察分析图象和数据中的信息，充分利用图象和数据中的信息解决问题．

　下列图象中，哪几个图象与下述三事件分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．

(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停车思考一番，于是返回家里找到了作业本再上学；

(2)我骑着车一路匀速行驶，只是途中遇到了一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

解　(1)分析可知离开家的距离先逐渐增大；后来发现作业本忘家里了，返回家的过程中离开家的距离又逐渐减小；找到作业本后离开家的距离又逐渐增大，故(1)对应D.

(2)分析可知离开家的距离先逐渐增大；后因为交通堵塞，在一段时间内没有前进，因此离开家的距离未变化；交通通畅后继续前进，离开家的距离又逐渐增加，故(2)对应A.

 (3)刚开始缓缓前进，所以离开家的距离缓缓增加；加速后离开家的距离急剧增加，故(3)对应B.

剩下的图象C为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢(只要合理即可).

题型三  解析法在实际生活中的应用

例3　某市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9 元/km 收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．

(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：km)的函数；

(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？

(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)

[解]　(1)由题意，得车费f(x)关于路程x的函数为：

f(x)＝

＝

(2)只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；

换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．

∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．

金版点睛

对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域.

注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.

　为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．

解　由题意知，当0<x≤5时，y＝1.2x；

当5<x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6；

当6<x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.

所以应交的水费y＝

1．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可以是(　　)

答案　B

解析　取h＝与h＝H两个位置观察注水量V，知h＝时，水量已经超过，由此可以判断水瓶的下半部分体积大，上半部分体积小．故选B.

2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

答案　C

解析　出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B，故选C.

3．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)

A．y＝20－2x   B．y＝20－2x(0<x<10)

C．y＝20－2x(5≤x≤10)   D．y＝20－2x(5<x<10)

答案　D

解析　由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，

又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，

由y>0即20－2x>0得x<10，

所以5<x<10.故选D.

4．从市场中了解到，饰用K金的含量如下表：

饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大含金量________．

答案　函数　越高

解析　通过表格可以得出K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高．

5．甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300 km外的B地，甲车先以75 km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2 h后，再以100 km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶．

(1)请将甲车离A地的距离x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数图象；

(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A，B两地)，试确定乙车行驶速度v的取值范围．

解　(1)x＝

它的图象如图①所示．

(2)由已知，乙车离开A地的距离x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x＝vt，其图象是一条线段．由图象知，当此线段经过点(4,150)时，v＝(km/h)；当此线段经过点(5.5,300)时，v＝(km/h)．

∴当<v<时，两车在途中相遇两次(如图②)．