中职数学高教版(2021)拓展模块一 上册4.3.2 直线与平面垂直一等奖ppt课件
展开某型号无人机如图所示,其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴 AB 均垂直,垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α,显然,无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问,平面α与旋轴 AB 之间有怎样的位置关系?
容易看出,平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直.对于平面α内不过点B的任意一条直线,它一定与平面α内过点B的某条直线平行.由异面直线所成角的定义可知,这条直线也与旋转轴AB 垂直.因此,平面α内的每一条直线都与AB 垂直.
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线,这个平面称为这条直线的垂面,直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α.
如图所示,若l⊥α,m⊆α,根据直线与平面垂直的定义可知l⊥m.这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法.
画竖直的直线与水 平平面垂直时,应 将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直.
在日常生活和生产中,常常需要判断直线与平面的垂直关系.例如,国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等.但是,判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的.
经过观察研究,人们发现以下判定直线与平面垂直的方法:
直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
如图所示,若m、n是平面α内的两条相交直线,且直线l⊥m, l⊥n,则l⊥α.
典例1 四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体ABCD,如图所示.求证:BD⊥AC.
典例2 证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 已知: m∥n,m⊥α,如图所示. 求证: n⊥α.
证明: 在平面α内任取两条相交直线c和d ,因为 m⊥α,c⊆α,d ⊆ α,所以m⊥c,m⊥d. 又m∥n,故n⊥c,n⊥d, 根据直线与平面垂直的判定定理,由c与d相交,n⊥α.
例2是直线与平面垂直的另一个判定定理.
可以证明,例2中所述命题的逆命题也成立.如图所示若m⊥α, n⊥α,则m∥n.
直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
典例3 如图所示,已知一条直线l和平面α平行,过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线 AA' 、BB',垂足分别为A' 、B'. 求证: AA'=BB'.
证明:因为 AA'⊥α, BB'⊥α,所以AA'∥ BB'. 设经过直线AA'、BB'的平面为β,则β∩α=A'B'. 由l∥α ,可知l∥A'B' ,因此四边形AA'B'B 为平行四边形,所以AA'=BB'.
长方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),直线AA1与平面ABCD垂直吗?为什么?
解 因为长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD.且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线.由直线与平面垂直的判定定理知,直线AA1⊥平面ABCD.
1. 判断下列命题的真假. (1)如果直线m垂直于平面α内的无数条直线,那么m⊥α; (2)如果l⊥m,且m⊆α, n⊆α,那么l⊥α; (3)如果l⊥α, m⊥α,那么l⊥m.
2.已知如图,PO⊥α,垂直为O, PA∩α=A,m⊆α,且m⊥OA.求证: m⊥PA.
3. 如果l⊥α,m//α,求证: l⊥m. 4. 己知线段AB、CD 位于平面α的同侧, AB ⊥α, DC⊥α, 垂足分别为 B、C,AB=DC.求证: AD=BC.
5. 某中职学校建设新校区时,修建了升旗台,用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时,要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地 面垂直.
(1) 读书部分: 教材章节4.3.2; (2) 书面作业: P131习题4.3的1,5,6.
数学是一种别具匠心的艺术
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高教版(2021)基础模块下册第9章 立体几何9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质一等奖备课教学ppt课件: 这是一份高教版(2021)基础模块下册<a href="/sx/tb_c4030625_t3/?tag_id=26" target="_blank">第9章 立体几何9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质一等奖备课教学ppt课件</a>,文件包含高教版2021中职数学基础模块下册94直线与直线直线与平面平面与平面垂直的判定与性质课件PPTppt、高教版2021中职数学基础模块下册94直线与直线直线与平面平面与平面垂直的判定与性质教案doc、高教版2021中职数学基础模块下册教学大纲定稿pdf等3份课件配套教学资源,其中PPT共34页, 欢迎下载使用。