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中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册第4章 立体几何4.3 直线与平面的位置关系4.3.2 直线与平面垂直精品教案及反思
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这是一份中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册第4章 立体几何4.3 直线与平面的位置关系4.3.2 直线与平面垂直精品教案及反思，共7页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
学习重难点
教材分析
本节课主要学习直线和平面垂直的定义，判定定理以及初步应用，本节内容是本章中研究直线、平面平行和垂直关系中重要的一节.
学情分析
学生在初中对平面几何平行线及前阶段空间平行公理的学习和研究，已经具备了较为初步的空间认知和一定的操作实验能力，掌握了研究类似问题的一些基本方法，但是学生的抽象概括能力，空间想象力还有待提高，线面垂直的定义比较抽象，要让学生体会“与平面内任何一条直线”有一定困难，所以，适当的引导，相应的练习有助于认识问题的本质．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
4.3.2 直线与平面垂直
（一）创设情境，生成问题
某型号无人机如图所示,其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴AB均垂直,垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α,显然,无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问,平面α与旋轴AB之间有怎样的位置关系？
【设计意图】从线面垂直的形成过程引入
（二）调动思维，探究新知
容易看出,平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直.对于平面α内不过点B的任意一条直线,它一定与平面α内过点B的某条直线平行.由异面直线所成角的定义可知,这条直线也与旋转轴AB 垂直.因此,平面α内的每一条直线都与AB 垂直.
据此,有如下定义：
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线,这个平面称为这条直线的垂面,直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α.
如图所示,若l⊥α,m⊆α,根据直线与平面垂直的定义可知l⊥m.这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法.
画竖直的直线与水 平平面垂直时,应 将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直．
在日常生活和生产中,常常需要判断直线与平面的垂直关系.例如,国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等.但是,判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的.
经过观察研究,人们发现以下判定直线与平面垂直的方法：
直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
如图所示,若m、n是平面α内的两条相交直线,且直线l⊥m, l⊥n,则l⊥α.
【设计意图】通过线线垂直来说明线面垂直.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体ABCD,如图所示.求证：BD⊥AC.
证明：设BD的中点为O,连接 AO 、CO.
因为正四面体 ABCD 的四个面都是正三角形，所以AO⊥BD,CO ⊥BD.
又AO∩CO=O,且AO、CO ⊆平面AOC,故BD⊥平面AOC.
根据直线与平面垂直的定义,由AC ⊆平面AOC,可知BD⊥AC.
【设计意图】引导学生在空间怎样通过做辅助线来建立辅助面.
【典例2】证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知: m∥n,m⊥α,如图所示.
求证: n⊥α.
证明:在平面α内任取两条相交直线c和d ,因为 m⊥α,c⊆α,
d ⊆ α,所以m⊥c,m⊥d. 又m∥n,故n⊥c,n⊥d, 根据直线与平面垂直的判定定理,由c与d相交,n⊥α.
【设计意图】巩固线面垂直定理的同时，介绍了线面垂直的另一种判定方法，可以看作是直线与平面垂直的另一个判定定理.
温馨提示
例2是直线与平面垂直的另一个判定定理.
可以证明,例5中所述命题的逆命题也成立.如图所示若m⊥α, n⊥α,则m∥n.
直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
根据该定理可以证明：
在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
【设计意图】解决设定问题引出性质定理
【典例3】如图所示,已知一条直线l和平面α平行,过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线 AA' 、BB',垂足分别为A' 、B'. 求证: AA'=BB'.
证明：因为 AA'⊥α, BB'⊥α,所以AA'∥ BB'.
设经过直线AA'、BB'的平面为β,则β∩α=A'B'.
由l∥α ,可知l∥A'B' ,因此四边形AA'B'B
为平行四边形,所以AA'=BB'.
【设计意图】为学有余力学生思考“线面平行距离”打下基础
（四）巩固练习，提升素养
长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？
解 因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 判断下列命题的真假.
（1）如果直线m垂直于平面α内的无数条直线，那么m⊥α;
（2）如果l⊥m,且m⊆α, n⊆α,那么l⊥α;
（3）如果l⊥α, m⊥α,那么l⊥m.
2. 已知如图,PO⊥α,垂直为O, PA∩α=A,m⊆α,且m⊥OA.求证: m⊥PA.
3. 如果l⊥α,m//α,求证: l⊥m.
4. 己知线段AB、CD 位于平面α的同侧, AB⊥α, DC⊥α, 垂足分别为B、C,AB=DC.求证: AD=BC.
5. 某中职学校建设新校区时,修建了升旗台,用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时,要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地 面垂直.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.3.2；
(2)书面作业： P131习题4.3的1,5,6.
（八）教学反思
知识
能力与素养
（1）知道直线与平面垂直的定义、判定与性质定理；
（2）能根据定义或判定定理来证明直线与平面垂直，能根据性质定理来证明直线与直线平行．
（1）画出线面垂直关系的直观图；
（2）利用线面垂直的判定与性质，解释生活空间的一些实例；
（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．
重点
难点
直线与平面垂直的判定与性质．
直线与平面垂直的判定与性质．
学习重难点
教材分析
本节课主要学习直线和平面垂直的定义，判定定理以及初步应用，本节内容是本章中研究直线、平面平行和垂直关系中重要的一节.
学情分析
学生在初中对平面几何平行线及前阶段空间平行公理的学习和研究，已经具备了较为初步的空间认知和一定的操作实验能力，掌握了研究类似问题的一些基本方法，但是学生的抽象概括能力，空间想象力还有待提高，线面垂直的定义比较抽象，要让学生体会“与平面内任何一条直线”有一定困难，所以，适当的引导，相应的练习有助于认识问题的本质．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
4.3.2 直线与平面垂直
（一）创设情境，生成问题
某型号无人机如图所示,其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴AB均垂直,垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α,显然,无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问,平面α与旋轴AB之间有怎样的位置关系？
【设计意图】从线面垂直的形成过程引入
（二）调动思维，探究新知
容易看出,平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直.对于平面α内不过点B的任意一条直线,它一定与平面α内过点B的某条直线平行.由异面直线所成角的定义可知,这条直线也与旋转轴AB 垂直.因此,平面α内的每一条直线都与AB 垂直.
据此,有如下定义：
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线,这个平面称为这条直线的垂面,直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α.
如图所示,若l⊥α,m⊆α,根据直线与平面垂直的定义可知l⊥m.这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法.
画竖直的直线与水 平平面垂直时,应 将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直．
在日常生活和生产中,常常需要判断直线与平面的垂直关系.例如,国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等.但是,判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的.
经过观察研究,人们发现以下判定直线与平面垂直的方法：
直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
如图所示,若m、n是平面α内的两条相交直线,且直线l⊥m, l⊥n,则l⊥α.
【设计意图】通过线线垂直来说明线面垂直.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体ABCD,如图所示.求证：BD⊥AC.
证明：设BD的中点为O,连接 AO 、CO.
因为正四面体 ABCD 的四个面都是正三角形，所以AO⊥BD,CO ⊥BD.
又AO∩CO=O,且AO、CO ⊆平面AOC,故BD⊥平面AOC.
根据直线与平面垂直的定义,由AC ⊆平面AOC,可知BD⊥AC.
【设计意图】引导学生在空间怎样通过做辅助线来建立辅助面.
【典例2】证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知: m∥n,m⊥α,如图所示.
求证: n⊥α.
证明:在平面α内任取两条相交直线c和d ,因为 m⊥α,c⊆α,
d ⊆ α,所以m⊥c,m⊥d. 又m∥n,故n⊥c,n⊥d, 根据直线与平面垂直的判定定理,由c与d相交,n⊥α.
【设计意图】巩固线面垂直定理的同时，介绍了线面垂直的另一种判定方法，可以看作是直线与平面垂直的另一个判定定理.
温馨提示
例2是直线与平面垂直的另一个判定定理.
可以证明,例5中所述命题的逆命题也成立.如图所示若m⊥α, n⊥α,则m∥n.
直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
根据该定理可以证明：
在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
【设计意图】解决设定问题引出性质定理
【典例3】如图所示,已知一条直线l和平面α平行,过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线 AA' 、BB',垂足分别为A' 、B'. 求证: AA'=BB'.
证明：因为 AA'⊥α, BB'⊥α,所以AA'∥ BB'.
设经过直线AA'、BB'的平面为β,则β∩α=A'B'.
由l∥α ,可知l∥A'B' ,因此四边形AA'B'B
为平行四边形,所以AA'=BB'.
【设计意图】为学有余力学生思考“线面平行距离”打下基础
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长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？
解 因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 判断下列命题的真假.
（1）如果直线m垂直于平面α内的无数条直线，那么m⊥α;
（2）如果l⊥m,且m⊆α, n⊆α,那么l⊥α;
（3）如果l⊥α, m⊥α,那么l⊥m.
2. 已知如图,PO⊥α,垂直为O, PA∩α=A,m⊆α,且m⊥OA.求证: m⊥PA.
3. 如果l⊥α,m//α,求证: l⊥m.
4. 己知线段AB、CD 位于平面α的同侧, AB⊥α, DC⊥α, 垂足分别为B、C,AB=DC.求证: AD=BC.
5. 某中职学校建设新校区时,修建了升旗台,用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时,要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地 面垂直.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.3.2；
(2)书面作业： P131习题4.3的1,5,6.
（八）教学反思
知识
能力与素养
（1）知道直线与平面垂直的定义、判定与性质定理；
（2）能根据定义或判定定理来证明直线与平面垂直，能根据性质定理来证明直线与直线平行．
（1）画出线面垂直关系的直观图；
（2）利用线面垂直的判定与性质，解释生活空间的一些实例；
（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．
重点
难点
直线与平面垂直的判定与性质．
直线与平面垂直的判定与性质．
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