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中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册4.3.3 直线与平面所成的角一等奖教学设计
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这是一份中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册4.3.3 直线与平面所成的角一等奖教学设计，共6页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
学习重难点
教材分析
本节课学习直线在平面内的射影的定义，直线与平面所成角的定义，找出直线在平面内的射影，解决直线与平面所成角的简单问题，为后面学习二面角打下基础.
学情分析
学生已学习了直线与平面平行，直线与平面垂直的判定与性质，为学习线面所成角做了准备．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型,依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示,斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交,但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？
【设计意图】感受直线与平面所成角的情况，渗透课程思政
（二）调动思维，探究新知
如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.
如图所示, 直线m是平面α的斜线, 点P为斜足, A∈m且AB⊥α, 垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线 AP 与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度.
一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角.
规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角为.于是,直线与平面所成的角的范围为
【设计意图】将线面问题转化为线线问题，降维解决.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1) 找出BC1在底面ABCD上的射影；
(2) 求BC1与底面ABCD所成角的大小；
(3)求BD1与底面ABCD所成角的正切值.
解：(1)因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个面都是正方形
所以 CC₁⊥DC,CC₁⊥BC,且DC∩BC=C,从而CC₁⊥平面ABCD且垂足为C.
又BC₁ ∩平面ABCD=B, 故BC是BC1在平面ABCD上的射影.
(2)由(1)可知，BC1与底面ABCD所成的角是∠C₁BC. 因为BC1是正方形BCC₁B1的对角线，所以∠C₁BC=于是，BC1与底面ABCD所成的角为
( 3 ) 在 正 方 体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，因为DD₁⊥AD,DD₁⊥DC, 且 AD∩DC=D, 所以DD₁⊥底面 ABCD,从而BD是BD₁在平面ABCD上的射影，且DD₁⊥BD.
因为DD₁=a,BD=√2α,所以 即 BD 与平面ABCD 所成的角的正切值
因为DD1=a, BD1=a, 所以tanD1BD=,
即 BD₁ 与底面ABCD 所成角的正切值是
【设计意图】在学生熟悉的正方体中解决线面所成角的概念，归纳求出线面所成角的解题步骤，“找，证，求”.
【典例2】中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示, 为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响, 牵拉绳接地点 A 到电杆与地面的交点C的距离是2.5m. 若牵拉绳与水平地面所成的角为60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离.
解：由题意可知电杆与地面是垂直的,所以 BC⊥AC, 且AC是AB在地面上的射影,于是∠BAC= 60°.
在RtΔABC中, 因为AC=2.5m, 所以BC=ACtan∠BAC=m
因此,牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离m
【设计意图】线面所成角的实际应用，同时实施课程思政
（四）巩固练习，提升素养
1.观察教室墙面，从中找出直线与平面之间三种位置关系的情形.
2. 画 出 符 合 下 列 描 述 的 一 个 图 形 并 用 符 号 表 示
(1)直线l 与平面α平行，直线m 在平面α内；
(2)点M 在直线l 上，且在平面β内，l 不在平面β内；
(3)直线AB 与平面γ相交于点A,直线BC 垂直于平面γ, 且垂足为C
2. 如图所示,己知长方体ABCD-A1B1C1D1,判断下列说法是否正确.
(1)直线A1B1与DD1相交；
(2)直线AD与CC1平行；
(3)直线AB与D1B1相交；
(4)直线BD与B1D1平行.
3. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, 找出对角线AC1分别在六个面上的射影.
4. 己知AB∩α=A, 线段AB 的长是它在平面α上射影的2倍, 求直线 AB 与平面α所成的角的大小.
5. 在长正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求：
(1) AD1 与平面ABCD所成的角的大小；
(2) AC1 与平面BCC1B1所成的角的正切值.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.3.3；
(2)书面作业： P131习题4.3的2，4.
（八）教学反思
知识
能力与素养
知道直线在平面内的射影的定义，知道直线与平面所成角的定义，会找出直线在平面内的射影，会解决直线与平面所成角的简单问题.
（1）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维；
（2）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．
重点
难点
直线与平面所成角的求法
直线与平面所成角的求法
学习重难点
教材分析
本节课学习直线在平面内的射影的定义，直线与平面所成角的定义，找出直线在平面内的射影，解决直线与平面所成角的简单问题，为后面学习二面角打下基础.
学情分析
学生已学习了直线与平面平行，直线与平面垂直的判定与性质，为学习线面所成角做了准备．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型,依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示,斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交,但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？
【设计意图】感受直线与平面所成角的情况，渗透课程思政
（二）调动思维，探究新知
如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.
如图所示, 直线m是平面α的斜线, 点P为斜足, A∈m且AB⊥α, 垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线 AP 与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度.
一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角.
规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角为.于是,直线与平面所成的角的范围为
【设计意图】将线面问题转化为线线问题，降维解决.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1) 找出BC1在底面ABCD上的射影；
(2) 求BC1与底面ABCD所成角的大小；
(3)求BD1与底面ABCD所成角的正切值.
解：(1)因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个面都是正方形
所以 CC₁⊥DC,CC₁⊥BC,且DC∩BC=C,从而CC₁⊥平面ABCD且垂足为C.
又BC₁ ∩平面ABCD=B, 故BC是BC1在平面ABCD上的射影.
(2)由(1)可知，BC1与底面ABCD所成的角是∠C₁BC. 因为BC1是正方形BCC₁B1的对角线，所以∠C₁BC=于是，BC1与底面ABCD所成的角为
( 3 ) 在 正 方 体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，因为DD₁⊥AD,DD₁⊥DC, 且 AD∩DC=D, 所以DD₁⊥底面 ABCD,从而BD是BD₁在平面ABCD上的射影，且DD₁⊥BD.
因为DD₁=a,BD=√2α,所以 即 BD 与平面ABCD 所成的角的正切值
因为DD1=a, BD1=a, 所以tanD1BD=,
即 BD₁ 与底面ABCD 所成角的正切值是
【设计意图】在学生熟悉的正方体中解决线面所成角的概念，归纳求出线面所成角的解题步骤，“找，证，求”.
【典例2】中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示, 为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响, 牵拉绳接地点 A 到电杆与地面的交点C的距离是2.5m. 若牵拉绳与水平地面所成的角为60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离.
解：由题意可知电杆与地面是垂直的,所以 BC⊥AC, 且AC是AB在地面上的射影,于是∠BAC= 60°.
在RtΔABC中, 因为AC=2.5m, 所以BC=ACtan∠BAC=m
因此,牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离m
【设计意图】线面所成角的实际应用，同时实施课程思政
（四）巩固练习，提升素养
1.观察教室墙面，从中找出直线与平面之间三种位置关系的情形.
2. 画 出 符 合 下 列 描 述 的 一 个 图 形 并 用 符 号 表 示
(1)直线l 与平面α平行，直线m 在平面α内；
(2)点M 在直线l 上，且在平面β内，l 不在平面β内；
(3)直线AB 与平面γ相交于点A,直线BC 垂直于平面γ, 且垂足为C
2. 如图所示,己知长方体ABCD-A1B1C1D1,判断下列说法是否正确.
(1)直线A1B1与DD1相交；
(2)直线AD与CC1平行；
(3)直线AB与D1B1相交；
(4)直线BD与B1D1平行.
3. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, 找出对角线AC1分别在六个面上的射影.
4. 己知AB∩α=A, 线段AB 的长是它在平面α上射影的2倍, 求直线 AB 与平面α所成的角的大小.
5. 在长正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求：
(1) AD1 与平面ABCD所成的角的大小；
(2) AC1 与平面BCC1B1所成的角的正切值.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.3.3；
(2)书面作业： P131习题4.3的2，4.
（八）教学反思
知识
能力与素养
知道直线在平面内的射影的定义，知道直线与平面所成角的定义，会找出直线在平面内的射影，会解决直线与平面所成角的简单问题.
（1）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维；
（2）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．
重点
难点
直线与平面所成角的求法
直线与平面所成角的求法
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