新高考数学一轮复习函数重难点专题08函数的周期性（2份打包，原卷版+解析版）

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①若 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，则 SKIPIF 1 < 0 是周期函数；
②若 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，则 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，
则下列说法中正确的是（ ）．
A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，设周期为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 也是周期函数，故①正确；
若 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，设周期为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定成立，
故②错误.故选：B.
2．若函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数的周期为 SKIPIF 1 < 0 .
A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此函数的周期不可能 SKIPIF 1 < 0 ，本选项不符合题意；
B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此函数的周期不可能 SKIPIF 1 < 0 ，本选项不符合题意；
C：该函数的最小正周期为： SKIPIF 1 < 0 ，因此函数的周期不可能 SKIPIF 1 < 0 ，本选项不符合题意；
D：该函数的最小正周期为： SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项符合题意，
故选：D
3．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的非常数函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对于每一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周期为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，
则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个周期；而取 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 不存在小于 SKIPIF 1 < 0 的周期；故选：C
4．若定义在R上的偶函数f(x)满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 的解有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．多于4个
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得函数的周期为2，
又函数为偶函数且当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故可作出函数 SKIPIF 1 < 0 得图象．
SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 的解个数等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象的交点，
由图象可得它们有4个交点，故方程 SKIPIF 1 < 0 的解个数为4.故选：C．
5．设 SKIPIF 1 < 0 是定义在实数集 SKIPIF 1 < 0 上的函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是奇函数.故选：C.
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为3，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为______．
【解析】设函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，又函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为3，∴ SKIPIF 1 < 0 .
7．函数 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周期为__________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数.
8．若定义在 SKIPIF 1 < 0 上的非零函数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称 SKIPIF 1 < 0 是一个“ SKIPIF 1 < 0 函数”，试写出一个“ SKIPIF 1 < 0 函数”：__________．
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需写一个周期为1的函数，
所以满足条件的函数可以为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 (答案不唯一).
专项突破二 利用周期性求函数值(或解析式)
1．已知定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．1
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为2，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .故选：B
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，若对于 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【解析】∵函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵对于 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
3．定义在R上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】∵f(x)是R上偶函数，∴f(-x)=f(x)，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故f(x)的一个周期是2，故 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-11B．-8C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于原点对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知，函数 SKIPIF 1 < 0 是以4为周期的函数，又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
5．已知定义在R上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
【解析】∵定义在R上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的周期为4，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A,
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
7．定义在R上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．4D．8
【解析】因为定义在R上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的周期函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或-1.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，则f(7) SKIPIF 1 < 0 ______.
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴f(x)周期为2，则f(7)＝f(2×3＋1)＝f(1)＝e.
9．已知 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为周期的偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的周期为3的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【解析】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
11．设定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 同时满足以下条件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【解析】依题意知：函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数且周期为2，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
12．已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】根据题意， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的周期函数，
所以 SKIPIF 1 < 0
13．设 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上周期为4的偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的解析式为__________.
【解析】根据题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为周期为4的偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
14．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【解析】根据题意，函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 , 则函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数，
SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
15．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．
（1）求证：f(x)是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
（3）计算f(0)＋f（1）＋f（2）＋…＋f(2019)．
【解析】（1）∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．
（2）当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2．∴f(x)＝x2＋2x．
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．
从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8．
（3）f(0)＝0，f（2）＝0，f（1）＝1，f（3）＝－1．又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0．
∴f(0)＋f（1）＋f（2）＋…＋f(2019)＝0．
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是实数集 SKIPIF 1 < 0 上的函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的周期.
(2)求 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式.
(3)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有4个解，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 是实数集 SKIPIF 1 < 0 上的函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的周期为6.
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(3) SKIPIF 1 < 0 ，图象如下：
又∵ SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（舍 SKIPIF 1 < 0 ），
此时直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相切，
∴若方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰好有4解，则 SKIPIF 1 < 0 .
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
专项突破三 抽象函数周期性
1．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列是周期函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意，定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数.故选：D
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，函数 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 的周期为2D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
用x代换上式中的2x，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.
函数 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称.
对于 SKIPIF 1 < 0 ，令x取x+1，可得： SKIPIF 1 < 0 .
对于 SKIPIF 1 < 0 ，令x取x+2，可得： SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令x取-x，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令x取x+2，可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为4.所以C、D错误；
对于B：对于 SKIPIF 1 < 0 ，令x取x-3，可得： SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为4，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故B正确.
对于A：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为对称轴，所以不能确定 SKIPIF 1 < 0 是否成立.故A错误.
故选：B
3．已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则下列等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A判断正确；选项B判断错误；
把函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，
可以得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，
则由函数 SKIPIF 1 < 0 有对称中心 SKIPIF 1 < 0 ，可知函数 SKIPIF 1 < 0 有对称中心 SKIPIF 1 < 0 .
选项C：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为2.判断错误；
选项D：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数 SKIPIF 1 < 0 有对称轴 SKIPIF 1 < 0 .判断错误.
故选：A
4．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．6B．4C．2D．0
【解析】∵定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
5．若定义在实数集R上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．3C．2D．1
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为周期函数，最小正周期为4，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
6．定义在正整数上的函数满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ②
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的周期 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
7．函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，且函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
且把 SKIPIF 1 < 0 向左平移1个单位可得 SKIPIF 1 < 0 的图象，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，即函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 是以4为周期的周期函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是定义域为R的偶函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－3B．－2C．2D．3
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，即 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也满足.
又 SKIPIF 1 < 0 是定义域为R偶函数，关于y轴对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 周期为4，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
9．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是奇函数， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 .故选：C
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 …①，
SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 …②，
由①②， SKIPIF 1 < 0 …③，
由③， SKIPIF 1 < 0 …④.
根据②，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
根据③，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
根据④， SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
而 SKIPIF 1 < 0 无法确定.故选：C.
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以4为周期的周期函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数的周期为6，
由已知可得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
13．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是偶函数， SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则下列命题正确的个数是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 .
A．1B．2C．3D．4
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又因函数 SKIPIF 1 < 0 是由函数 SKIPIF 1 < 0 向右平移1个单位得到，
所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的一个周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
故有 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
由函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确，所以正确的个数为4个.故选：D.
14．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 为偶函数D． SKIPIF 1 < 0 为奇函数
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 图像关于 SKIPIF 1 < 0 对称，同时关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称；
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A选项错误；
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B选项正确；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 为周期函数，周期为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，故C选项正确；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，D选项正确；
故选：BCD
15．已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 最小正周期为4B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，选项B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，选项C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，选项D正确.
故选：BCD.
16．已知定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 是以12为周期的函数，
SKIPIF 1 < 0
又函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，利用函数图像平移知，
函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
17．定义在实数集 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为4，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
18．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_________
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 .
再令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数.令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
19．已知y=f(x)满足对一切x，y SKIPIF 1 < 0 R都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 为奇函数，证明：令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为奇函数；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求式子的值为 SKIPIF 1 < 0 .
20．已知f(x)是定义在R上的函数，满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：函数f(x)的周期是2；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，f(x)＝2x，求f(x)在 SKIPIF 1 < 0 时的解析式，并写出f(x)在 SKIPIF 1 < 0 时的解析式．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，令x取x＋1得，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，2是函数f(x)的周期．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为f(x)的周期为2，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 .
专项突破四 函数周期性的应用
1．已知在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上只有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上根的个数为（）
A．404B．405C．406D．203
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ；
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是以10为周期的函数.
又 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上只有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两个零点，
根据函数对称性可知， SKIPIF 1 < 0 在一个周期 SKIPIF 1 < 0 内也只有两个零点，
又区间 SKIPIF 1 < 0 内包含 SKIPIF 1 < 0 个周期，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的零点个数与 SKIPIF 1 < 0 的零点个数相同，只有一个.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有405个零点.故选：B.
2．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的函数，又由 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，可函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上零点的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数是偶函数且周期为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上零点的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.
结合 SKIPIF 1 < 0 为偶函数可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是周期为2的周期函数，
在平面直角坐标系中作出 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示：
由图象可得 SKIPIF 1 < 0 的图象的交点有7个，故 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为7，故选：C.
5．辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以此纪年法恰好六十年一循环.那么下列干支纪年法纪年错误项是 （ ）
A．庚子年B．丙卯年C．癸亥年D．戊申年
【解析】干支纪年法中年份相当于第一排把10个天干按顺序排列6次（共60个），第二排把12个地支排列5次（共60个），然后上下组合成一个年份．所有年份如下表所示：
1-10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉
11-20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰辛巳 壬午 癸未
21-30 甲申 乙酉 丙戌 丁亥 戊子 己丑 庚寅辛卯 壬辰 癸巳
31-40甲午乙未 丙申 丁酉 戊戌 己亥 庚子 辛丑 壬寅 癸卯
41-50甲辰 乙巳 丙午 丁未 戊申 己酉 庚戌 辛亥 壬子 癸丑
51-60甲寅 乙卯 丙辰 丁巳 戊午 己未 庚申 辛酉 壬戌 癸亥
故B错误，故选：B．
6．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下面结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，且周期为6，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A．
7．定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足以下三个条件：①对于任意的实数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立；②函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于y轴对称；③对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立.则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于y轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
又因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
8．已知f（x）是定义在R上周期为2的偶函数，若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上零点的个数为（ ）
A．2021B．2020C．4043D．4044
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有 SKIPIF 1 < 0 个交点，
又因为f（x）是定义在R上周期为2的偶函数，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 上的交点个数为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象和直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，可得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，即函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为周期的周期函数，
如下图所示：
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，要使得函数 SKIPIF 1 < 0 的图象和直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个交点，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是以2为周期的周期函数 B．点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个对称中心
C． SKIPIF 1 < 0 D．函数 SKIPIF 1 < 0 有3个零点
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的周期函数，故A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 的周期为4， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个对称中心，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 的周期为4，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
作函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数 SKIPIF 1 < 0 有3个零点，故D正确.
故选：BD.
11．周期为4的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的解集为______；
【解析】 SKIPIF 1 < 0 周期是4，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
12．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的所有根之和为____.
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为2，
又因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的简图如图所示，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，线段 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 仅有一个交点，
故由图可知，有 SKIPIF 1 < 0 个交点，这 SKIPIF 1 < 0 个交点是关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的，
且关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的两个点的横坐标之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则所有根之和为 SKIPIF 1 < 0 .