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新高考数学一轮复习函数重难点专题09函数的对称性（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习函数重难点专题09函数的对称性（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习函数重难点专题09函数的对称性原卷版doc、新高考数学一轮复习函数重难点专题09函数的对称性解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 向上平移一个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称；故选：B
2．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 、坐标原点 SKIPIF 1 < 0 分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，其图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，其图象关于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
3．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列函数的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由反比例函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 知，
SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
选项A： SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 图像上所有点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
选项B： SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 图像上所有点向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
选项C： SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 图像上所有点向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，
所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
选项D： SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 图像上所有点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，
所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
故选：C
4．函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 对称B．点 SKIPIF 1 < 0 对称
C．直线 SKIPIF 1 < 0 对称D．点 SKIPIF 1 < 0 对称
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，它与 SKIPIF 1 < 0 之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称．
故选：D．
5．有三个函数：① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，其中图像是中心对称图形的函数共有（ ）.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，显然函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是中心对称图形，对称中心是 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 的图形是由 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平行3个单位，再向下平移1个单位得到的，对称中心是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 不是中心对称图形，
SKIPIF 1 < 0 ，中间是一条线段，它关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，因此有两个中心对称图形．
故选：C．
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
D． SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 为常数函数，不具有单调性，故A、B均错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，故C正确，D错误；故选：C
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于（ ）对称．
A．原点B．x轴C．y轴D．直线 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 是R上的偶函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于y轴对称.故选：C
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，且图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
B． SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，且图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
C． SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，且图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
D． SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，且图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即对任意实数x恒有， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 图像连续，
故 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，故选：D.
9．对于函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称．探究函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称中心，并利用它求 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的值为2021.
故选：D
10．(多选)函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形的充要条件是函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数；下列函数有对称中心的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】∵函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
对于A：由 SKIPIF 1 < 0 得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，P(1，－2)即为其对称中心，故B满足题意；
对于C：∵ SKIPIF 1 < 0 是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致为：
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，
根据双勾函数的图象性质可知， SKIPIF 1 < 0 关于(1，1)中心对称，故D满足题意.
故选：ABD.
11．函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴方程为___________.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0
12．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【解析】根据题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ；
13．若函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值分别为M、m﹐则函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的对称中心是_________．
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，h(x)定义域为R关于原点对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是奇函数，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴当a＝1时， SKIPIF 1 < 0 ，∴g(x)关于( SKIPIF 1 < 0 ，1)中心对称.故答案为：( SKIPIF 1 < 0 ，1).
专项突破二 利用对称性求函数解析式或函数值
1．下列函数与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
2．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．5C．7D．9
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且其图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选: SKIPIF 1 < 0 .
4．函数f(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于x轴对称，则f(x)=（ ）
A．-ex-1B．-ex+1C．-e-x-1D．-e-x+1
【解析】与y=ex的图象关于x轴对称的图象所对函数解析式为y=-ex，
将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y=-ex-1，
而按上述变换所得图象对应的函数是f(x)，所以f(x)=-ex-1.故选：A
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，且 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上任意一点，则其关于 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图象上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，所以方程 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 有两个相等的实数根，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象上分别存在点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上的任意一点，其关于 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的函数为 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象上分别存在点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
故函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 图象在区间 SKIPIF 1 < 0 有交点，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，则下列不等关系正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，得 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
画出其图象，如图所示：
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
同理，对于B， SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于D，即为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：C.
9．若函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．12D．18
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B
11．已知定义域为R的函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①，而 SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C
12．设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为D，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 具有对称性，其中点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，研究函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，求 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2022B．4043C．4044D．8086
【解析】令函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，其图象关于原点对称，
可得 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 点中心对称，
即当 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
13．若 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
由 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对于任意的实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 时))分别单调递减和单调递增，且对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 取值范围都是实数集 SKIPIF 1 < 0 ,且除了 SKIPIF 1 < 0 时相等，其余情况下不相等，
∴ SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 且使得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 取值在 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 时)或 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 时)之外的所有实数 SKIPIF 1 < 0 的值恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 有无穷多实数根，故 SKIPIF 1 < 0 ,故选：C.
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
15．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围为________f（x）的最大值与最小值和为________ .
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 故 a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
第（2）空:由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
16．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【解析】根据题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，是由 SKIPIF 1 < 0 的图像平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到的（ SKIPIF 1 < 0 ，向左平移， SKIPIF 1 < 0 ，向右平移），所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 .
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 b∈R)的图像关于点(1，1)对称，则a+b=____.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，因为函数 SKIPIF 1 < 0 b∈R)的图像关于点(1，1)对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
专项突破三 利用对称性研究单调性
1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，若f(x)在区间[1，2]为增函数，则f(x)（ ）
A．在区间[-4，-3]上是增函数，在区间[2，3]上是增函数；
B．在区间[-4，-3]上是增函数，在区间[2，3]上是减函数；
C．在区间[-4，-3]上是减函数，在区间[2，3]上是增函数；
D．在区间[-4，-3]上是减函数，在区间[2，3]上是减函数.
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 为偶函数且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为周期函数且周期为2，且在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
所以函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，如果 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A．可正可负B．恒为正
C．可能为 SKIPIF 1 < 0 D．恒为负
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可知：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：C
4．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
5．设定义在 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，其图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数单调递减，而函数图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
因此函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
6．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 是通过函数 SKIPIF 1 < 0 向右平移2个单位得到且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
易知函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数.作出示意图如下图：
则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为： SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
7．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的函数，
则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
8．已知对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
10．已知定义在R上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是R上的奇函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
11．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称； SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
可排除 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可排除 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均存在，则可得 SKIPIF 1 < 0 示意图如下：
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ，故选 SKIPIF 1 < 0
12．(多选)定义在R上的偶函数f（x）满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数D． SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是周期为2的周期函数，则有 SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 ，故D选项正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故A选项正确；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是增函数，且函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是减函数，B选项错误；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是增函数，且 SKIPIF 1 < 0 是周期为2的周期函数，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在在[1，2]上是增函数，C选项错误.
故选：AD.
13．已知函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为R，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 解集为______．
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
由对称性可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
专项突破四 对称性的应用
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，在 SKIPIF 1 < 0 上递减.
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，图象关于原点对称，所以 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
两个交点关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
2．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的所有零点之和为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，在同一直角坐标系上分别作出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如图所示，其中两个函数的图象均关于 SKIPIF 1 < 0 对称，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的所有零点之和为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3．已知定义域为R的偶函数满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上所有解的和为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
又函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为2的函数，又 SKIPIF 1 < 0 的图象也关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
作出函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象，如图所示：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象在区间 SKIPIF 1 < 0 上有8个交点，且关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上所有解的和为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
4．若定义在 SKIPIF 1 < 0 上的单调增函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可知函数关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，
因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是单调增函数，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
二次函数开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时是单调递增的，根据对称性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也是单调递增的，又由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增的.
所以即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
5．设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为D，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 具有对称性，其中点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，研究函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．2022C．4043D．8086
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
6．函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的解的个数是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 为周期函数，周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于函数 SKIPIF 1 < 0 一个周期内， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有2个交点，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个交点.
所以关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的解的个数是 SKIPIF 1 < 0 个.故选：B
7．已知非零函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且周期 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以这两点之间距离的最小值等于P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离最小值的2倍.
函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以这两点之间距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
9．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．
【解析】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，因为函数图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 也是 SKIPIF 1 < 0 的零点，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
由题意可知，关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的实数解．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中一个方程有两个相同的实数解，另一个方程有两个不同的实数解，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中有一个等于 SKIPIF 1 < 0 ，另一个大于 SKIPIF 1 < 0 ．
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足条件，
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
10．方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是___________.
【解析】方程 SKIPIF 1 < 0 ，令函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象也关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，其图象如图，
区间 SKIPIF 1 < 0 关于数1对称，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的交点成对出现，
它们关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，因方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上所有根的和等于2024，
因此，两函数图象在 SKIPIF 1 < 0 上有1012对关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的交点，
则有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以满足条件的整数m的值是1009或1010.
11．函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为__________．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象都关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
在同一坐标系内作出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，如图，
观察图象知，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象有6个公共点，其横坐标依次为 SKIPIF 1 < 0 ，
这6个点两两关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为9.
12．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
结合图象可得：只需当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即可，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 向上平移一个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称；故选：B
2．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 、坐标原点 SKIPIF 1 < 0 分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，其图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，其图象关于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
3．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列函数的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由反比例函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 知，
SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
选项A： SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 图像上所有点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
选项B： SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 图像上所有点向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
选项C： SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 图像上所有点向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，
所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
选项D： SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 图像上所有点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，
所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
故选：C
4．函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 对称B．点 SKIPIF 1 < 0 对称
C．直线 SKIPIF 1 < 0 对称D．点 SKIPIF 1 < 0 对称
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，它与 SKIPIF 1 < 0 之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称．
故选：D．
5．有三个函数：① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，其中图像是中心对称图形的函数共有（ ）.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，显然函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是中心对称图形，对称中心是 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 的图形是由 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平行3个单位，再向下平移1个单位得到的，对称中心是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 不是中心对称图形，
SKIPIF 1 < 0 ，中间是一条线段，它关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，因此有两个中心对称图形．
故选：C．
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
D． SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 为常数函数，不具有单调性，故A、B均错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，故C正确，D错误；故选：C
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于（ ）对称．
A．原点B．x轴C．y轴D．直线 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 是R上的偶函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于y轴对称.故选：C
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，且图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
B． SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，且图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
C． SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，且图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
D． SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，且图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即对任意实数x恒有， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 图像连续，
故 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，故选：D.
9．对于函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称．探究函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称中心，并利用它求 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的值为2021.
故选：D
10．(多选)函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形的充要条件是函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数；下列函数有对称中心的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】∵函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
对于A：由 SKIPIF 1 < 0 得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，P(1，－2)即为其对称中心，故B满足题意；
对于C：∵ SKIPIF 1 < 0 是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致为：
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，
根据双勾函数的图象性质可知， SKIPIF 1 < 0 关于(1，1)中心对称，故D满足题意.
故选：ABD.
11．函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴方程为___________.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0
12．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【解析】根据题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ；
13．若函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值分别为M、m﹐则函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的对称中心是_________．
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，h(x)定义域为R关于原点对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是奇函数，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴当a＝1时， SKIPIF 1 < 0 ，∴g(x)关于( SKIPIF 1 < 0 ，1)中心对称.故答案为：( SKIPIF 1 < 0 ，1).
专项突破二 利用对称性求函数解析式或函数值
1．下列函数与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
2．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．5C．7D．9
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且其图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选: SKIPIF 1 < 0 .
4．函数f(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于x轴对称，则f(x)=（ ）
A．-ex-1B．-ex+1C．-e-x-1D．-e-x+1
【解析】与y=ex的图象关于x轴对称的图象所对函数解析式为y=-ex，
将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y=-ex-1，
而按上述变换所得图象对应的函数是f(x)，所以f(x)=-ex-1.故选：A
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，且 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上任意一点，则其关于 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图象上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，所以方程 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 有两个相等的实数根，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象上分别存在点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上的任意一点，其关于 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的函数为 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象上分别存在点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
故函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 图象在区间 SKIPIF 1 < 0 有交点，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，则下列不等关系正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，得 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
画出其图象，如图所示：
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
同理，对于B， SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于D，即为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：C.
9．若函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．12D．18
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B
11．已知定义域为R的函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①，而 SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C
12．设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为D，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 具有对称性，其中点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，研究函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，求 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2022B．4043C．4044D．8086
【解析】令函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，其图象关于原点对称，
可得 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 点中心对称，
即当 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
13．若 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
由 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对于任意的实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 时))分别单调递减和单调递增，且对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 取值范围都是实数集 SKIPIF 1 < 0 ,且除了 SKIPIF 1 < 0 时相等，其余情况下不相等，
∴ SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 且使得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 取值在 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 时)或 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 时)之外的所有实数 SKIPIF 1 < 0 的值恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 有无穷多实数根，故 SKIPIF 1 < 0 ,故选：C.
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
15．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围为________f（x）的最大值与最小值和为________ .
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 故 a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
第（2）空:由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
16．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【解析】根据题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，是由 SKIPIF 1 < 0 的图像平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到的（ SKIPIF 1 < 0 ，向左平移， SKIPIF 1 < 0 ，向右平移），所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 .
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 b∈R)的图像关于点(1，1)对称，则a+b=____.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，因为函数 SKIPIF 1 < 0 b∈R)的图像关于点(1，1)对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
专项突破三 利用对称性研究单调性
1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，若f(x)在区间[1，2]为增函数，则f(x)（ ）
A．在区间[-4，-3]上是增函数，在区间[2，3]上是增函数；
B．在区间[-4，-3]上是增函数，在区间[2，3]上是减函数；
C．在区间[-4，-3]上是减函数，在区间[2，3]上是增函数；
D．在区间[-4，-3]上是减函数，在区间[2，3]上是减函数.
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 为偶函数且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为周期函数且周期为2，且在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
所以函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，如果 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A．可正可负B．恒为正
C．可能为 SKIPIF 1 < 0 D．恒为负
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可知：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：C
4．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
5．设定义在 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，其图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数单调递减，而函数图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
因此函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
6．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 是通过函数 SKIPIF 1 < 0 向右平移2个单位得到且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
易知函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数.作出示意图如下图：
则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为： SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
7．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的函数，
则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
8．已知对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
10．已知定义在R上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是R上的奇函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
11．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称； SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
可排除 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可排除 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均存在，则可得 SKIPIF 1 < 0 示意图如下：
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ，故选 SKIPIF 1 < 0
12．(多选)定义在R上的偶函数f（x）满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数D． SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是周期为2的周期函数，则有 SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 ，故D选项正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故A选项正确；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是增函数，且函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是减函数，B选项错误；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是增函数，且 SKIPIF 1 < 0 是周期为2的周期函数，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在在[1，2]上是增函数，C选项错误.
故选：AD.
13．已知函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为R，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 解集为______．
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
由对称性可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
专项突破四 对称性的应用
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，在 SKIPIF 1 < 0 上递减.
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，图象关于原点对称，所以 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
两个交点关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
2．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的所有零点之和为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，在同一直角坐标系上分别作出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如图所示，其中两个函数的图象均关于 SKIPIF 1 < 0 对称，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的所有零点之和为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3．已知定义域为R的偶函数满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上所有解的和为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
又函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为2的函数，又 SKIPIF 1 < 0 的图象也关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
作出函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象，如图所示：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象在区间 SKIPIF 1 < 0 上有8个交点，且关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上所有解的和为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
4．若定义在 SKIPIF 1 < 0 上的单调增函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可知函数关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，
因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是单调增函数，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
二次函数开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时是单调递增的，根据对称性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也是单调递增的，又由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增的.
所以即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
5．设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为D，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 具有对称性，其中点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，研究函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．2022C．4043D．8086
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
6．函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的解的个数是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 为周期函数，周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于函数 SKIPIF 1 < 0 一个周期内， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有2个交点，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个交点.
所以关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的解的个数是 SKIPIF 1 < 0 个.故选：B
7．已知非零函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且周期 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以这两点之间距离的最小值等于P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离最小值的2倍.
函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以这两点之间距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
9．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．
【解析】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，因为函数图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 也是 SKIPIF 1 < 0 的零点，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
由题意可知，关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的实数解．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中一个方程有两个相同的实数解，另一个方程有两个不同的实数解，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中有一个等于 SKIPIF 1 < 0 ，另一个大于 SKIPIF 1 < 0 ．
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足条件，
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
10．方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是___________.
【解析】方程 SKIPIF 1 < 0 ，令函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象也关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，其图象如图，
区间 SKIPIF 1 < 0 关于数1对称，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的交点成对出现，
它们关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，因方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上所有根的和等于2024，
因此，两函数图象在 SKIPIF 1 < 0 上有1012对关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的交点，
则有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以满足条件的整数m的值是1009或1010.
11．函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为__________．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象都关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
在同一坐标系内作出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，如图，
观察图象知，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象有6个公共点，其横坐标依次为 SKIPIF 1 < 0 ，
这6个点两两关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为9.
12．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
结合图象可得：只需当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即可，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
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