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新高考数学一轮复习 函数专项重难点突破专题02 函数的值域（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习 函数专项重难点突破专题02 函数的值域（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习函数专项重难点突破专题02函数的值域原卷版doc、新高考数学一轮复习函数专项重难点突破专题02函数的值域解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
1．下列函数中值域为 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A．y=|x-1| B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，函数 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对于B，函数 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
对于C，函数 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对于D，函数 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误，
故选：A.
2．当 SKIPIF 1 < 0 时，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的值域为： SKIPIF 1 < 0 .故选：C．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0 C．1 D．2
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值为1.故选：C
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故函数值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
二、多选题
6．下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于选项A，方法1：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以2不是 SKIPIF 1 < 0 的最小值，故A项错误；
方法2：因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以其值域为R，故A项错误；
对于选项B，因为 SKIPIF 1 < 0 定义域为R，令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，所以 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故B项正确；
对于选项C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故C项错误；
对于选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，其在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______________
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______.
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
9．求下列函数的值域.
(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
根据二次函数的图像和性质,函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）因为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减, SKIPIF 1 < 0 单调递增,所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
10．求下列函数的值域：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 ；(5) SKIPIF 1 < 0 ；
(6) SKIPIF 1 < 0 ；(7) SKIPIF 1 < 0 ；(8) SKIPIF 1 < 0 ；(9) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ;
（4）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最大值5，无最小值，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（5）因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（6） SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（7）因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ,则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，适合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 恒有实数根，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（8） SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即函数值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（9）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角函数辅助角公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为辅助角），
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
考点二 复杂函数值域
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
二、填空题
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值分别为M和m，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
【解析】依题意可得函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为___________.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）是偶函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为_________.
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以该函数在 SKIPIF 1 < 0 时取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 .
5．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为__．
【解析】令t＝sinx，t∈[-1,1]，所以原式可化为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
6．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______.
【解析】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求值域化为求 SKIPIF 1 < 0 轴上点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 距离差的范围，如下图示，
由图知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间时，左侧等号成立；
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数值域为 SKIPIF 1 < 0 .
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
8．若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是__________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，由该式的几何意义得下面图形， SKIPIF 1 < 0 ，其中直线 SKIPIF 1 < 0 为圆的切线，由图知 SKIPIF 1 < 0 .
由图知 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以， SKIPIF 1 < 0 ，故所求值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是______．
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
11．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数m的值；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【解析】（1）∵函数 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）求解可知， SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．引入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
考点三 抽象函数值域
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，那么函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和值域分别是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域 SKIPIF 1 < 0 .
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移2个单位，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象，故其值域不变．故选：D.
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
3．定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 对一切实数x、y都满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在R上的值域是（ ）
A．RB． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 对一切实数x、y都满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 在R上的值域是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
二、填空题
4．若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是____________.
【解析】因函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，从而得函数 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 变为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由对勾函数的性质知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以原函数值域是 SKIPIF 1 < 0 .
5．若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 __．
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
6． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为_____________．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且同时满足：（Ⅰ）对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅲ）若 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
（1）试求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）试求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（3）试证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）任取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得函数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
考点四 复合函数值域
一、单选题
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数的图象及性质可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
二、填空题
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【解析】由题意，令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由反比例函数性质， SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
5．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是________________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ．
6．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域________.
【解析】要使函数 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，将函数 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为减函数， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
而 SKIPIF 1 < 0 的底数是 SKIPIF 1 < 0 ，即为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为减函数， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最小值，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
8．方程 SKIPIF 1 < 0 有正数解，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_________.
【解析】方程转化为 SKIPIF 1 < 0 ，化简为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围转化为求 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的值域，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
9．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值=__________________．
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时是增函数，∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
考点五 根据函数值域求参
一、单选题
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A．(0，4) B．[1，4]∪{0} C．(0，1]∪[4，+∞） D．[0，1]∪[4，+∞）
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，由于函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域包含 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域包含 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】在函数 SKIPIF 1 < 0 中，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选：C．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在区间 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 ，显然该函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
等价于 SKIPIF 1 < 0 存在两个不相等且大于等于 SKIPIF 1 < 0 的实数根，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的值域记为 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，两图象相交，若 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，以实数 SKIPIF 1 < 0 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 SKIPIF 1 < 0 ；同理当 SKIPIF 1 < 0 ,值域也不是 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 SKIPIF 1 < 0 ；
综上可知，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
二、多选题
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数对 SKIPIF 1 < 0 的可能值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】画出 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
由图可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据选项可知：当 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 的可能值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：ABC.
三、填空题
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【解析】
画出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像可知,要使其在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,
由于有且仅有 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 ,所以有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
又∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的最大值为正值时, SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时,, SKIPIF 1 < 0 有最大值.又∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
9．若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和值域均为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，
所以函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又因为定义域和值域均为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则t的取值范围是_________．
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ，可知二次函数开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，取到最小值 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ，即t的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，其值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为顶点在 SKIPIF 1 < 0 开口向上的抛物线，对称轴 SKIPIF 1 < 0 .
i.若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
要使 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，只需： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ；
ii.若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
要使 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，只需： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：实数t的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则常数 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 7或 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的范围；
(2)求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）由题设， SKIPIF 1 < 0 为增函数且定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个交点，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个根且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴对于 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，即 SKIPIF 1 < 0 的值为2.
1．下列函数中值域为 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A．y=|x-1| B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，函数 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对于B，函数 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
对于C，函数 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对于D，函数 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误，
故选：A.
2．当 SKIPIF 1 < 0 时，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的值域为： SKIPIF 1 < 0 .故选：C．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0 C．1 D．2
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值为1.故选：C
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故函数值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
二、多选题
6．下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于选项A，方法1：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以2不是 SKIPIF 1 < 0 的最小值，故A项错误；
方法2：因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以其值域为R，故A项错误；
对于选项B，因为 SKIPIF 1 < 0 定义域为R，令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，所以 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故B项正确；
对于选项C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故C项错误；
对于选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，其在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______________
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______.
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
9．求下列函数的值域.
(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
根据二次函数的图像和性质,函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）因为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减, SKIPIF 1 < 0 单调递增,所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
10．求下列函数的值域：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 ；(5) SKIPIF 1 < 0 ；
(6) SKIPIF 1 < 0 ；(7) SKIPIF 1 < 0 ；(8) SKIPIF 1 < 0 ；(9) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ;
（4）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最大值5，无最小值，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（5）因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（6） SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（7）因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ,则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，适合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 恒有实数根，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（8） SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即函数值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（9）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角函数辅助角公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为辅助角），
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
考点二 复杂函数值域
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
二、填空题
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值分别为M和m，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
【解析】依题意可得函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为___________.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）是偶函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为_________.
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以该函数在 SKIPIF 1 < 0 时取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 .
5．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为__．
【解析】令t＝sinx，t∈[-1,1]，所以原式可化为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
6．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______.
【解析】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求值域化为求 SKIPIF 1 < 0 轴上点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 距离差的范围，如下图示，
由图知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间时，左侧等号成立；
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数值域为 SKIPIF 1 < 0 .
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
8．若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是__________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，由该式的几何意义得下面图形， SKIPIF 1 < 0 ，其中直线 SKIPIF 1 < 0 为圆的切线，由图知 SKIPIF 1 < 0 .
由图知 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以， SKIPIF 1 < 0 ，故所求值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是______．
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
11．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数m的值；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【解析】（1）∵函数 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）求解可知， SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．引入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
考点三 抽象函数值域
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，那么函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和值域分别是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域 SKIPIF 1 < 0 .
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移2个单位，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象，故其值域不变．故选：D.
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
3．定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 对一切实数x、y都满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在R上的值域是（ ）
A．RB． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 对一切实数x、y都满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 在R上的值域是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
二、填空题
4．若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是____________.
【解析】因函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，从而得函数 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 变为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由对勾函数的性质知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以原函数值域是 SKIPIF 1 < 0 .
5．若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 __．
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
6． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为_____________．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且同时满足：（Ⅰ）对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅲ）若 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
（1）试求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）试求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（3）试证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）任取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得函数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
考点四 复合函数值域
一、单选题
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数的图象及性质可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
二、填空题
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【解析】由题意，令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由反比例函数性质， SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
5．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是________________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ．
6．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域________.
【解析】要使函数 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，将函数 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为减函数， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
而 SKIPIF 1 < 0 的底数是 SKIPIF 1 < 0 ，即为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为减函数， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最小值，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
8．方程 SKIPIF 1 < 0 有正数解，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_________.
【解析】方程转化为 SKIPIF 1 < 0 ，化简为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围转化为求 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的值域，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
9．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值=__________________．
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时是增函数，∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
考点五 根据函数值域求参
一、单选题
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A．(0，4) B．[1，4]∪{0} C．(0，1]∪[4，+∞） D．[0，1]∪[4，+∞）
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，由于函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域包含 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域包含 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】在函数 SKIPIF 1 < 0 中，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选：C．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在区间 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 ，显然该函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
等价于 SKIPIF 1 < 0 存在两个不相等且大于等于 SKIPIF 1 < 0 的实数根，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的值域记为 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，两图象相交，若 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，以实数 SKIPIF 1 < 0 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 SKIPIF 1 < 0 ；同理当 SKIPIF 1 < 0 ,值域也不是 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 SKIPIF 1 < 0 ；
综上可知，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
二、多选题
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数对 SKIPIF 1 < 0 的可能值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】画出 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
由图可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据选项可知：当 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 的可能值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：ABC.
三、填空题
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【解析】
画出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像可知,要使其在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,
由于有且仅有 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 ,所以有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
又∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的最大值为正值时, SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时,, SKIPIF 1 < 0 有最大值.又∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
9．若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和值域均为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，
所以函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又因为定义域和值域均为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则t的取值范围是_________．
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ，可知二次函数开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，取到最小值 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ，即t的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，其值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为顶点在 SKIPIF 1 < 0 开口向上的抛物线，对称轴 SKIPIF 1 < 0 .
i.若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
要使 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，只需： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ；
ii.若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
要使 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，只需： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：实数t的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则常数 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 7或 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的范围；
(2)求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）由题设， SKIPIF 1 < 0 为增函数且定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个交点，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个根且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴对于 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，即 SKIPIF 1 < 0 的值为2.
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