湘教版高中数学选择性必修第一册专题强化练4数列求和含答案

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专题强化练4　数列求和1.(2022湖南长沙南雅中学月考)若S=3n+3n-1×2+3n-2×22+…+3×2n-1+2n,则S=(　　)A.3n+1-4　　　　B.3n+1-2n+1C.3n-22n-1　　　　D.32n-1-2n2.(2022湖南宁乡一中月考)已知函数f(x)=x+3sinx-12+12,数列{an}满足an=n2 019,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 018)=(　　)A.2 018　　B.2 019　　C.4 036　　D.4 0383.(多选)(2022湖南长沙望城期末)在公比为q的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1=1,a5=27a2,则下列说法正确的是(　　)A.q=3　　　　B.数列{Sn+2}是等比数列C.S5=121　　　　D.2lg an=lg an-2+lg an+2(n≥3)4.(2020江西九江一中期中)已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1·(4n-3),则S15+S22-S31的值是(　　)A.13　　B.-76　　C.46　　D.765.(2022江西景德镇一中期末)对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数.已知数列{an}的通项公式为an=1n+1+n,前n项和为Sn,则[S1]+[S2]+…+[S50]=(　　)A.223　　B.218　　C.173　　D.1686.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2Sn-1=n,则S2 021=　　　　. 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=12n2+12n,若bn=(-1)n·2n+1anan+1,则数列{bn}的前n项和Tn=　　　　　　　　. 8.(2022广东广州期中)已知递增的等差数列{an}满足a1+a5=10,a2·a4=21,数列{bn}满足2log2bn=an-1(n∈N+).(1)求{bn}的前n项和Sn;(2)若Tn=nb1+(n-1)b2+…+bn,求数列{Tn}的通项公式.9.(2022湖南长沙长郡中学一模)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且满足an+1n(an+2-an+1)=an(n+1)(an+1-an)+12n(n+1)(n∈N+).(1)设bn=nanan+1-an(n∈N+),证明:{bn}是等差数列;(2)若cn=bnan(n∈N+),求数列{cn}的前n项和Sn.答案与分层梯度式解析1.B　S=3n+3n-1×2+3n-2×22+…+3×2n-1+2n=3n·1+23+232+…+23n=3n·1-23n+11-23=3n+1-2n+1.2.A　∵f(1-x)=1-x+3sin12-x+12,∴f(x)+f(1-x)=2.又∵an+a2 019-n=n2 019+2 019-n2 019=1,∴f(an)+f(a2 019-n)=2.令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 018),则S=f(a2 018)+f(a2 017)+…+f(a1),两式相加得2S=2×2 018,∴S=2 018,故选A.3.ACD　因为a1=1,a5=27a2,所以a1·q4=27a1·q⇒q3=27⇒q=3,A正确;Sn+2=1-3n1-3+2=12(3n+3),因为Sn+1+2Sn+2=12(3n+1+3)12(3n+3)=3-21+3n-1≠常数,所以数列{Sn+2}不是等比数列,B不正确;因为Sn=1-3n1-3=12×(3n-1),所以S5=12×(35-1)=121,C正确;an=a1qn-1=3n-1>0,所以当n≥3时,lg an-2+lg an+2=lg(an-2an+2)=lg an2=2lg an,D正确.故选ACD.4.B　∵Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1·(4n-3),∴S15=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(49-53)+57=-4×7+57=29,S22=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(81-85)=-4×11=-44,S31=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(113-117)+121=-4×15+121=61,∴S15+S22-S31=29-44-61=-76.故选B.解题模板　　在数列的通项公式中含有(-1)n-1时,可利用(-1)n-1的周期性求和,即在数列中相邻的两项和为定值,将其结合成一组,根据n为奇数或偶数来判断结合后的组数.当n为偶数时,共有n2组;当n为奇数时,最后一项单独计算,前面有n-12组.5.C　∵an=1n+1+n=n+1-n(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n,∴Sn=a1+a2+…+an=(2-1)+(3-2)+…+(n+1-n)=n+1-1,∴当n=1或n=2时,[Sn]=0,共有2个;当n∈[3,8)时,[Sn]=1,共有5个;当n∈[8,15)时,[Sn]=2,共有7个;当n∈[15,24)时,[Sn]=3,共有9个;当n∈[24,35)时,[Sn]=4,共有11个;当n∈[35,48)时,[Sn]=5,共有13个;当n∈[48,50]时,[Sn]=6,共有3个.∴[S1]+[S2]+…+[S50]=0×2+1×5+2×7+3×9+4×11+5×13+6×3=173,故选C.6.答案　1 011解析　由题意,当n≥2时,可得Sn-1=Sn-an,因为an+2Sn-1=n,所以an+2(Sn-an)=n,即2Sn=an+n,当n≥3时,2Sn-1=an-1+n-1,两式相减,可得2an=an-an-1+1,即an+an-1=1,所以a2+a3=1,a4+a5=1,a6+a7=1,……,所以S2 021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 020+a2 021)=1+2 021-12×1=1 011.7.答案　-nn+1,n为偶数-n+2n+1,n为奇数解析　∵Sn=12n2+12n,∴当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n2+12n-12(n-1)2+12(n-1)=n,满足a1=1,∴an=n,∴bn=(-1)n·2n+1anan+1=(-1)n·2n+1n(n+1)=(-1)n·1n+1n+1.当n为偶数时,Tn=-1+12+12+13-13+14+…+1n+1n+1=-1+1n+1=-nn+1;当n为奇数时,Tn=-1+12+12+13-13+14+…-1n+1n+1=-1-1n+1=-n+2n+1.∴Tn=-nn+1,n为偶数,-n+2n+1,n为奇数.8.解析　(1)设数列{an}的公差为d(d>0),由2a1+4d=10,(a1+d)(a1+3d)=21,解得a1=1,d=2或a1=9,d=-2(舍去),所以an=1+(n-1)×2=2n-1,则2log2bn=2n-2,即log2bn=n-1,所以bn=2n-1,所以b1=1,故数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列,所以Sn=1-2n1-2=2n-1.(2)Tn=nb1+(n-1)b2+…+bn=b1+(b1+b2)+(b1+b2+b3)+…+(b1+b2+…+bn)=S1+S2+…+Sn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(2+22+…+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.9.解析　(1)证明:将an+1n(an+2-an+1)=an(n+1)(an+1-an)+12n(n+1)两边同时乘n(n+1),可得(n+1)an+1an+2-an+1=nanan+1-an+12,即bn+1=bn+12,∴bn+1-bn=12,∵b1=a1a2-a1=13-1=12,∴数列{bn}是以12为首项、12为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn=12+12(n-1)=n2,n∈N+,∴nanan+1-an=n2,整理,得an+1=3an,∴数列{an}是以1为首项、3为公比的等比数列,∴an=3n-1,n∈N+,∴cn=bnan=n2×3n-1,∴Sn=c1+c2+…+cn=12×1+22×31+32×32+…+n2×3n-1 =12×1+231+332+…+n3n-1,①则13Sn=12×131+232+…+n-13n-1+n3n,②①-②,可得23Sn=12×1+131+132+…+13n-1-n3n=12×1-13n1-13-n3n=14×3-2n+33n,∴Sn=98-2n+38×3n-1.