2013-2014学年高二数学 1.1《命题的概念和例子》活页训练 湘教版选修1-1

2013-2014学年高中数学 1.1.1命题的概念和例子活页训练 湘教版选修1-1

1．下列语句中命题的个数是  (　　)．

①{0}∈N；②他长得高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.

A．1   B．2 

C．3   D．4

解析　①④是命题，且都是假命题．

答案　B

2．下列语句是命题且是假命题的是  (　　)．

A．若整数a是素数，则a是奇数

B．指数函数是增函数吗

C．x＞15

D．空集是任意非空集合的真子集

解析　B、C都不是命题，D是命题且是真命题．

答案　A

3．下列命题中是假命题的是  (　　)．

A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若ac2>bc2，则a>b

D．5>3

解析　|a|＝|b|只能说明a与b长度一样，a＝b不一定成立．

答案　B

4．把“6是12和24的公约数”改写成“若p，则q”的形式为________．

答案　若一个数是6，则这个数是12和24的公约数

5．给定下列命题：

①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②对角线相等的四边形是矩形；③若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是______．

答案　①③

6．若x∈Z，给出下列语句：

(1)x2－2x－3＝0；

(2)x2＋1<0；

(3)|x|>5；

(4)x∈R.

试判断它们是否为命题？若是，判断其真假，并说明理由．

解　对语句(1)无法判断真假，因为不给定变量x的值时，不能确定x2－2x－3的值是否为0，∴(1)不是命题；对语句(2)可以判断真假，因为对任意的整数x都有x2＋1≥1成立，故x2＋1<0是一个假命题；对语句(3)同(1)一样，无法判断其真假，故(3)也不是命题；由于整数一定是实数，∴可以判断(4)是正确的，即(4)是一个真命题．

7．已知a、b为两条不同的直线，α、β 为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是                            (　　)．

A．若a∥b，则α∥β

B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a、b相交，则α、β相交

D．若α、β相交，则a、b相交

解析　如图，因为α、β为两个不同的平面，所以若α∩β＝c，但平面α、β不会重合．因为a⊥α，b⊥β，所以a与b不一定相交．故“α、β相交，则a、b相交”是假命题．

答案　D

8．l1、l2、l3为空间三条不同的直线，则下列命题正确的是   （    ） 

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析　当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．

答案　B

9．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：|a＋b|>1⇔θ∈；

p2：|a＋b|>1⇔θ∈；

p3：|a－b|>1⇔θ∈；

p4：|a－b|>1⇔θ∈.

其中正确的命题为________．

解析　由|a＋b|＝＝＝>1，得cos θ>－，∴0≤θ<；由|a－b|＝＝>1，得cos θ<，∴<θ≤π.

∴p1，p4正确．

答案　p1，p4

10．下面有五个命题：

①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；

②终边在y轴上的角的集合是；

③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；

④把函数y＝3sin的图象向右平移，得到y＝3sin 2x的图象；

⑤函数y＝sin在[0，π]上是减函数．

其中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．

解析　命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真；命题②中，当k＝2m(m∈Z)时，角α＝mπ，其终边在x轴上，为假；命题③中，原点(0，0)是两图象的公共点，∵当x>0时，x>sin  x恒成立，没有公共点．同理，当x<0时，也没有公共点，命题为假；命题④中，向右平移变为y＝3 sin＝3sin 2x，命题为真；命题⑤中，y＝sin＝－cos x在[0，π]上为增函数，命题为假．

答案　①④

11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式：

(1)对顶角相等；

(2)平行四边形的对角线相交于一点且互相平分；

(3)偶数能被2整除；

(4)平行直线斜率相等．

解　(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等．

(2)若四边形是平行四边形，则其对角线交于一点且互相平分．

(3)若一个数是偶数，则这个数能被2整除．

(4)若两直线互相平行，则两直线斜率相等．

12．(创新拓展)已知p：x2＋2mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程x2＋(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真命题且q为真命题的m的取值范围．

解　若p真，则解得m>1；

若q为真，则Δ＝(m－2)2－4<0，

解得0<m<4.

p真q真，即

故m的取值范围是(1，4)．