高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线学案，共7页。

(2)会由抛物线方程求焦点坐标和标准方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)❶________的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的________，直线l叫作抛物线的________．
要点二 抛物线的标准方程
批注❶ 注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
批注❷ 焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．( )
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( )
2．抛物线y2＝－x的焦点坐标是( )
A．(0，－) B．(0，－)
C．(－，0) D．(－，0)
3．抛物线x2＝y的焦点坐标为( )
A．(0，) B．(，0)
C．(0，) D．(，0)
4．若点(－1，2)在抛物线x＝ay2上，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝2
5．焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 求抛物线的标准方程
例1 (1)[2022·湖南长郡中学测试]M(4，t)是抛物线y2＝2px上一点，若点M到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是( )
A．x＝－2 B．x＝－1
C．y＝－2 D．y＝－1
(2)顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
(3)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为________．
方法归纳
求抛物线标准方程的2种常用方法
巩固训练1 (1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)顶点在原点，焦点在坐标轴上，以直线y＝－1为准线的抛物线方程是________．
题型2 抛物线定义的应用
例2 (1)[2022·湖南衡阳测试]设点An(n，)(n∈N＋)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，F是焦点，则|A1F|＋|A2F|＋…＋|A20F|＝( )
A．214 B．215 C．228 D．230
(2)已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
方法归纳
灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
巩固训练2 (1)[2022·湖南永州测试]已知点A(4，y0)在抛物线C：y2＝8x上，F为抛物线的焦点，则|AF|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)[2022·湖南益阳测试]抛物线x2＝ay(a＞0)的焦点到准线的距离为，则a的值为________．
题型3 与抛物线有关的最值问题
例3 (1)[2022·湖南常德测试]抛物线y＝上的动点M到两定点A(0，－1)，B(1，－3)的距离之和的最小值为( )
A．4 B．
C． D．
(2)已知定点M(a，0)，试在抛物线y2＝2px(p>0)上求一点N，使得|MN|最小．
方法归纳
解决与抛物线有关的最值问题的2种方法
巩固训练3 (1)已知点P在抛物线y2＝16x上，F为焦点，点A(2，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A.3 B．4 C．5 D．6
(2)已知点P为抛物线C：y＝x2上的动点，过点P作圆M：x2＋(y－2)2＝1的一条切线，切点为A，则·的最小值为________．
易错辨析 忽略抛物线标准方程的特征致误
例4 若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．
解析：把抛物线方程 y＝ax2化为标准方程得x2＝y，所以－＝2，
解得a＝－.
答案：－
【易错警示】
3．3 抛物线
3．3.1 抛物线的标准方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
距离相等 焦点 准线
要点二
F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－)
x＝－ x＝ y＝－ y＝
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：抛物线y2＝－x焦点在x轴负半轴，因为2p＝1，所以＝，所以焦点坐标为(－，0)．
答案：D
3．解析：抛物线x2＝y的焦点在y轴上，2p＝1，p＝，故焦点坐标为(0，)．
答案：A
4．解析：由题意知，－1＝a×22，可得a＝－，
∴抛物线的方程为x＝－y2，即y2＝－4x，故其准线方程为x＝1.
答案：A
5．解析：依题意p＝，2p＝3，
所以抛物线方程为：y2＝3x或y2＝－3x或x2＝3y或x2＝－3y.
答案：y2＝3x或y2＝－3x或x2＝3y或x2＝－3y
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
其上一点M(4，t)到抛物线的焦点距离为6，则|4－(－)|＝6，
解得－＝－2，即抛物线的准线方程为x＝－2.
(2)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
(3)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
答案：(1)A (2)C (3)x2＝10y和x2＝－10y
巩固训练1 解析：(1)由已知得＝3，p＝6.
∴抛物线的标准方程是x2＝±12y.
(2)由题意，抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且以直线y＝－1为准线，
可得抛物线的开口向上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，
则－＝－1，解得p＝2，所以所求抛物线的方程为x2＝4y.
答案：(1)C (2)x2＝4y
例2 解析：(1)依题意可得n＝2pn，则p＝，根据抛物线的定义，
则|AnF|＝n＋＝n＋，
故|A1F|＋|A2F|＋…＋|A20F|＝1＋2＋…＋20＋×20＝＋5＝215.
(2)设点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5，∴|PC|＝|x|＋5，
当点P在y轴右侧时，x>0，则|PC|＝x＋5，
∴点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，x<0，则|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程为y＝0(x<0)．
∴点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．
答案：(1)B (2)见解析
巩固训练2 解析：(1)因为抛物线C：y2＝8x，
所以p＝4，
因为点A(4，y0)在抛物线C：y2＝8x上，
故|AF|＝xA＋＝4＋2＝6，
(2)抛物线x2＝ay(a＞0)的焦点为(0，)，准线方程为：y＝－，
因为抛物线x2＝ay(a＞0)的焦点到准线的距离为，
所以×2＝，
解得a＝5.
答案：(1)C (2)5
例3 解析：(1)由题可知抛物线方程y＝－x2，即x2＝－4y，所以点A(0，－1)为抛物线的焦点，
如图
根据抛物线的定义可知：点M到抛物线准线y＝1的距离与到焦点距离相等，
所以|MA|＝|MD|，
则动点M到两定点A(0，－1)，B(1，－3)的距离之和为|MD|＋|MB|，
当D，A，M三点共线时，距离之和有最小，即为4.
(2)设抛物线y2＝2px(p>0)上一点N(x0，y0)，则有＝2px0，因为x0≥0，且|MN|2＝＝－2ax0＋a2＋2px0＝－(2a－2p)x0＋a2＝[x0－(a－p)]2－p2＋2ap.
①当a>p时，x0＝a－p使|MN|最小，则N(a－p，±)．
②当a≤p时，x0＝0使|MN|最小，则N(0，0)．
答案：(1)A (2)见解析
巩固训练3 解析：
(1)因为抛物线方程y2＝16x，所以其准线方程是x＝－4.过P作PM垂直于准线，垂足为M，则|PF|＝|PM|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.当A，P，M三点共线时，|PA|＋|PM|最小，最小值2－(－4)＝6，故|PA|＋|PF|的最小值为6.
解析：(2)由已知得：·＝||2＝||2－1，
设点P(x，x2)，则||2－1＝x2＋(x2－2)2－1＝x4－3x2＋3＝＋，
当x2＝时，·＝||2－1取得最小值.
答案：(1)D (2)图象
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)❷
焦点坐标
__________
__________
__________
__________
准线方程
__________
__________
__________
__________
出错原因
纠错心得
受二次函数的影响，误以为y＝ax2就是抛物线的标准方程，从而得到－＝2，即a＝－8的错误结论．
根据抛物线方程求准线方程时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程．