重庆市两江巴蜀中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末学业水平测试试题【含解析】

这是一份重庆市两江巴蜀中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末学业水平测试试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了下列四个命题中，真命题的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．根据下列条件，只能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB=3 BC=4B．AB=4 BC=3 ∠A=30°
C．∠A=60°∠B=45° AB=4D．∠C=60°AB=5
2．等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个角的度数分别为（ ）
A．65°,65°B．50°,80°C．65°,65°或50°,80°D．50°,50°
3．如果是方程ax＋(a－2)y＝0的一组解，则a的值是( )
A．1B．－1C．2D．－2
4．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．如果把分式 中的x与y都扩大 2 倍，那么这个分式的值（ ）
A．不 变B．扩大 2 倍C．扩大 4 倍D．扩大 6 倍
6．等腰三角形的周长为12，则腰长a的取值范围是（ ）
A．3＜a＜6B．a＞3C．4＜a＜7D．a＜6
7．说明命题“若a2＞b2，则a＞b．”是假命题，举反例正确的是（ ）
A．a＝2，b＝3B．a＝﹣2，b＝3C．a＝3，b＝﹣2D．a＝﹣3，b＝2
8．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．若a=，则实数a在数轴上对应的点的大致位置是（ ）
A．点EB．点FC．点GD．点H
10．下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．同角的补角相等B．相等的角是对顶角
C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，两个三角形全等，则∠α的度数是____
12．生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是_____万步．
13．如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC＝98°，若∠1＝35°，则∠2＝_____度．
14．若分式的值为0，则x=_____________．
15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE垂直平分AC，若∠ABC＝82°，则∠ADC＝__________°．
16．已知a，b满足方程组，则a—2b的值为__________．
17．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝_____．
18．如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB^BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用 小时．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB =a, DG = b(a> b)．
（1）写出AG的长度(用含字母a、b的式子表示)；
（2）观察图形，请你用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积，此时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；
（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多2cm，它们的面积相差20cm2，试利用(2)中的公式,求a、b的值．
20．（6分）如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB//x轴，求t的值；
（2）当t=3时，坐标平面内有一点M（不与A重合），使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请求出点M的坐标；
21．（6分）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点为 的中点时，如图1，确定线段与 的大小关系，请你直接写出结论： （填“>”,“<”或“=”）.
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，与 的大小关系是： （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点 作，交 于点.
（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点 在直线上，点 在直线上，且 .若的边长为1， ，求的长（请你直接写出结果）.
22．（8分）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5
（1）根据以上数据完成下表：
（1）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由．
23．（8分）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?
24．（8分）如图，边长分别为a,b的两个正方形并排放在一起，请计算图中阴影部分面积，并求出当a+b=16,ab=60时阴影部分的面积.
25．（10分）猜想与证明：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的和）相等的三角形是等腰三角形”．但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的和边．
（1）请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？若能，请你帮他写出至少两种以上恢复的方法并在备用图上恢复原来的样子．
（2）你能够证明这样的三角形是等腰三角形吗？（至少用两种方法证明）
26．（10分）先化简，在求值：，其中a=1．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】由所给边、角条件只能画出唯一的△ABC，说明当按所给条件画两次时，得到的两个三角形是全等的，即所给条件要符合三角形全等的判定方法；而在四个选项中，当两个三角形分别满足A、B、D三个选项中所列边、角对应相等时，两三角形不一定全等；当两个三角形满足C选项中所列边、角对应相等时，三角形是一定全等的.
故选C.
2、C
【分析】根据分类讨论已知角是顶角还是底角，进行分析，从而得到答案
【详解】解：当已知角是底角时，另外两个角分别为：50°，80°；
当已知角是顶角时，另外两个角分别是：65°，65°．
故应选C．
3、B
【解析】将代入方程ax+(a−2)y=0得：−3a+a−2=0.
解得：a=−1.
故选B.
4、C
【解析】DEBF,AFEC,
EGFH是平行四边形，
E,F是中点，易得，四边形对角线垂直，
是菱形.EF=1，GH=,
面积=1=.
5、B
【分析】根据分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案．
【详解】分式中的x与y都扩大2倍，得 ，
故选：B．
【点睛】
此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变．
6、A
【分析】根据等腰三角形的腰长为a，则其底边长为：12﹣2a，根据三角形三边关系列不等式，求解即可．
【详解】解：由等腰三角形的腰长为a，则其底边长为：12﹣2a．
∵12﹣2a﹣a＜a＜12﹣2a+a，
∴3＜a＜1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形三边的关系，对任意一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，灵活利用三角形三边的关系确定三角形边长的取值范围是解题的关键.
7、D
【分析】反例就是满足命题的题设，但不能由它得到结论．
【详解】解：当a＝﹣3，b＝2时，满足a2＞b2，而不满足a＞b，
所以a＝﹣3，b＝2可作为命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例．
故选：D．
【点睛】
本题考查命题题意定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8、B
【分析】根据平行四边形的判定方法，对每个选项进行筛选可得答案．
【详解】A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不符合题意；
B、AB=CD，AO=CO不能证明四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
C、∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不符合题意，
故选B.
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形．
平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
9、C
【解析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
【详解】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∵a=，
∴3＜a＜4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出3＜＜4是解题关键．
10、A
【分析】根据补角的性质、对顶角的概念、三角形的外角的性质、平行线的性质判断即可．
【详解】解：同角的补角相等，A是真命题；
相等的角不一定是对顶角，B是假命题；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，C是假命题；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，D是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查补角的性质、对顶角的概念、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握与角有关的性质是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、50°
【解析】根据全等三角形的对应角相等解答．
【详解】∵两个三角形全等，a与c的夹角是50°，
∴∠α=50°，
故答案是：50°．
【点睛】
考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12、1.1
【分析】根据众数的定义求解可得．
【详解】因为1.1万步的人数最多为10人，
所以这组数据的众数是1.1万步，
故答案为：1.1．
【点睛】
考查的是众数的定义及其求法，牢记定义是关键．
13、1．
【分析】由直线a∥b，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠3的度数，结合∠2+∠3+∠BAC＝180°及∠BAC＝98°，即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图，∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝35°，
∵∠2+∠3+∠BAC＝180°，∠BAC＝98°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠BAC＝180°﹣35°﹣98°＝1°，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
14、2
【分析】分式的值为零，即在分母的条件下，分子即可．
【详解】解：由题意知：分母且分子，
∴,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式为0的条件，即：在分母有意义的前提下分子为0即可．
15、98
【分析】由题意，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，通过证明，再由四边形的内角和定理进行计算即可得解.
【详解】作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，如下图：
则，
∵BD平分，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
在和中，
∴，
∴，
∴，
在四边形BMDN中，由四边形内角和定理得：，
∴，
∴，
故答案为：98.
【点睛】
本题主要考查了三角形的全等及四边形的内角和定理，熟练掌握直角三角形的全等判定方法是解决本题的关键.
16、
【分析】先根据二元一次方程组解出，b的值，再代入求解即可．
【详解】
解得
将代入a—2b中
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
17、-1
【分析】根据同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得
，解得 ，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了最简二次根式、同类二次根式，掌握根据最简二次根式、同类二次根式的定义列出方程是解题的关键．
18、0.1
【分析】连接AC，在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，CD，AD的长度符合勾股定理确定AC⊥CD，则可计算△ACD的面积，又因为△ACD的面积可以根据AD边和AD边上的高求得，故根据△ACD的面积可以求得C到AD的最短距离，即△ACD中AD边上的高．
【详解】解：连接AC，
在直角△ABC中，AB=3km，BC=1km，则AC==5km，
∵CD=12km，AD=13km，故存在AD2=AC2+CD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，
∴△ACD的面积为×AC×CD=30km2，
∵AD=13km，∴AD边上的高，即C到AD的最短距离为km，
游艇的速度为11km/小时，
需要时间为小时=0.1小时．
故答案为 0.1．
点睛：
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了直角三角形面积计算公式，本题中证明△ACD是直角三角形是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）a-b；（2）；（3）a=6，b=4
【分析】（1）根据正方形的性质和即可求出AG的长度；
（2）用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积：①求长为，宽为的矩形的面积；②通过可得阴影部分面积=四边形ABCD的面积-四边形DEFG的面积，可得；
（3）根据正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多2cm，它们的面积相差20cm2可得，代入原式并联立方程即可求出a、b的值．
【详解】（1）∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB =a, DG = b(a> b)
∴
∴
（2）由题意得
∵
∴
∴
（3）∵正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多2cm，它们的面积相差20cm2
∴
将代入中
解得
联立得
解得．
【点睛】
本题考查了平方差公式的证明以及应用，掌握平方差公式的性质以及应用是解题的关键．
20、 (1)1;(2) （1，7）或（10，-1）或（6，-1）或（0，1）.
【分析】（1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为长方形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP=13°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；
（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得出结论，注意分类讨论．
【详解】解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．
∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，
∴四边形ABCO为长方形，
∴AO=BC=1．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=13°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=13°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP=1．
∴t=1÷1=1（秒），
故t的值为1．
（2）当t=2时，OP=2．
∵OA=1，
∴由勾股定理，得
AP==3．
∴AP=PB=3，AB=3,
∴当△MPB≌△ABP时，此时四边形APBM1是正方形，四边形APBM2是平行四边形，易得M1（1，7）、M2（10，-1）；
当△MPB≌△APB时，此时点M2与点A关于点P对称，易得M2（6，-1）．
当两个三角形重合时，此时符合条件的点M的坐标是（0，1）；
综上所述，点M的坐标为（1，7）或（10，-1）或（6，-1）或（0，1）；
【点睛】
本题考查了长方形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
21、（1）=；（2）=，过程见解析；（1）CD的长是1或1．
【解析】方法一：如图，等边三角形中，
是等边三角形，
又
.
方法二：在等边三角形中，
而由是正三角形可得
22、（1）8；6；1；（1）甲
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义及方差公式分别进行解答即可；
（1）根据方差的意义即方差越小越稳定即可得出答案．
【详解】（1）
把丙运动员的射靶成绩从小到大排列为：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，则中位数是
（1）∵，
∴甲运动员的成绩最稳定．
【点睛】
本题考查了方差、平均数、中位数，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
23、（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．
【分析】(1)设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可.
【详解】(1)设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意，得: ．
解得: ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答:这项工程的规定时间是30天．
(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，
（天），
答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.
24、1
【解析】由题意表示出AB，AD，CG、FG，进而表示出BG，阴影部分面积=正方形ABCD+正方形ECGF面积-三角形ABD面积-三角形FBG面积，求出即可．
【详解】如图，
由题意得：AB=AD=a，CG=FG=b，BG=BC+CG=a+b，
∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECGF-S直角△ABD-S直角△FBG
=AB•AD+CG•FG-AB•AD-BG•FG
=a2+b2-a2-（a+b）b
=（a2+b2-ab）
= [（a+b）2-3ab]，
∵a+b=16，ab=60，
∴S阴影=×（162-3×60）=1．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25、（1）能，具体见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A；方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A，连接AB即可；方法3：将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠ C的另一边的延长线与折痕的交点A，连接AB即可；
（2）证法1：作∠A的平分线AD，交BC与点D，利用AAS即可证出△ABD≌△ACD，从而得出AB=AC，根据等腰三角形的定义即可得出结论；证法2：过A作AD⊥BC于D，利用AAS即可证出△ABD≌△ACD，从而得出AB=AC，根据等腰三角形的定义即可得出结论．
【详解】解：（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A．如下图所示：△ABC即为所求
方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A，连接AB，如下图所示：△ABC即为所求．
方法3：如图，将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠ C的另一边的延长线与折痕的交点A，连接AB，如下图所示：△ABC即为所求
（2）证法1：作∠A的平分线AD，交BC与点D
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形；
证法2：过A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．
【点睛】
此题考查的是根据一个底角和底边构造等腰三角形、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握垂直平分线的性质、等角对等边、等腰三角形的定义和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
26、，．
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a=1代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
= ，
当a=1时，原式= ．
【点睛】
此题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．
平均数
中位数
方差
甲
8
8
________
乙
________
8
1．1
丙
6
________
3