人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-2第1课时单调性的定义与证明学案

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3.1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明德国心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．经过测试，他得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．问题　(1)当时间间隔t逐渐增大时你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？知识点1　函数单调性的概念(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即f (x)是增(减)函数且f (x1)x2)．(4)若f (x)在区间I上为增(减)函数，则函数f (x)的图象在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)．1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？[提示]　定义中的x1，x2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般．(2)有大小，通常规定x1＜x2．(3)属于同一个单调区间．知识点2　函数的单调性与单调区间如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有单调性．如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数．1．函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数y＝x2＋2x－1的单调递减区间(－∞，－1]⊆(－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．2．由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值．3．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．2．函数y＝1x在定义域上是减函数吗？[提示]　不是．y＝1x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上也单调递减，但不能说y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．知识点3　函数的最值1．如果(a，b)，(c，d)都是函数f (x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1f (x2)C．f (x1)＝f (x2) D．不能确定D　[根据函数单调性的定义可知，所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小，故选D．]2．函数y＝x2－6x的单调递减区间是________．(－∞，3]　[y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故单调递减区间是(－∞，3]．]3．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是________，最大值是________．－1　2　[由题图可知，f (x)的最大值为f (1)＝2，f (x)的最小值为f (－2)＝－1．] 类型1　定义法证明(判断)函数的单调性【例1】　用定义法证明函数f (x)＝x2x2-1在区间(0，1)上是减函数．[证明]　任取x1，x2∈(0，1)且x10，因为x1，x2∈(0，1)，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，所以函数f (x)＝x2x2-1在区间(0，1)上是减函数．　利用定义证明函数单调性的4个步骤[跟进训练]1．(源自北师大版教材)判断函数f (x)＝x的单调性，并给出证明．[解]　画出函数f (x)＝x的图象如图．由图象可以看出，函数f (x)＝x在定义域[0，＋∞)上可能是增函数．任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x10，可知f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)0)的单调区间．(1)C　[根据函数单调性定义及函数图象知f (x)在[－3，1]上单调递增．故选C．](2)[解]　y＝-x2+2x+1，x≥0，-x2-2x+1，x<0，即y＝-x-12+2，x≥0，-x+12+2，x<0，函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．(3)[解]　设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x10．由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论．当x1，x2∈(0，3)时，x1x2－9<0，则f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，所以f (x)在区间(0，3)上是减函数；当x1，x2∈(3，＋∞)时，x1x2－9>0，则f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)0)的单调递减区间是(0，3)，单调递增区间是(3，＋∞)．　1．图象法求函数单调区间的步骤2．常见函数的单调性提醒：(1)若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．(2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．[跟进训练]2．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间为________．0，32　[y＝－(x－3)|x|＝-x2+3x，x＞0，x2-3x，x≤0，作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为0，32．] 类型3　单调性的应用【例3】　(1)若函数f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f (x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，则实数x的取值范围为________．(3)已知函数f (x)＝x2-ax+5，x<1，1+1x ，x≥1对任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2<0，则实数a的取值范围是________．(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)　(3)[2，4][(1)∵f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图象开口向下，∴要使f (x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4．∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1．∴实数x的取值范围为(－∞，1)．(3)由题意，对任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2＜0，故函数f (x)在R上单调递减．设g(x)＝x2－ax＋5，x＜1，h(x)＝1＋1x，x≥1，由反比例函数的性质可得h(x)在[1，＋∞)上单调递减，满足条件．因此保证二次函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，且g(1)≥h(1)即可．所以a2≥1，1-a+5≥2，解得2≤a≤4．]　函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．(3)分段函数的单调性：首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则界点左侧值大于等于右侧值．[跟进训练]3．(1)已知函数y＝f (x)是R上的减函数，若f (a＋2)>f (2a－3)，则实数a的取值范围是(　　)A．{a|a>5}　　　　 B．{a|a<5}C．{a|a<4} D．{a|a>4}(2)已知函数f (x)＝(-x+3)a，x≥0，x2-ax+1，x<0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)A．0，13 B．0，13C．0，13 D．0，13(1)A　(2)A　[(1)由于函数y＝f (x)是R上的减函数，且f (a＋2)>f (2a－3)，所以a＋2＜2a－3，解得a>5，所以实数a的取值范围是{a|a>5}．(2)当x＜0时，函数f (x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f (x)＝－x＋3a是减函数，所以分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤13，所以0≤a≤13．] 类型4　求函数的最值(值域)【例4】　已知函数f (x)＝2x+1x+1．(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．[解]　(1)f (x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－10，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f (x1)－f (x2)<0⇒f (x1)0B．(x1－x2)fx1-fx2＝0C．f (a)≤f (x1)f (x2)A　[对于A项，因为f (x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，当x1>x2时，f (x1)>f (x2)，所以x1－x2>0，f (x1)－f (x2)>0，所以fx1-fx2x1-x2>0，当x10，综上所述，fx1-fx2x1-x2>0，故A项正确；对于B项，因为f (x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，当x1>x2时，f (x1)>f (x2)，所以x1－x2>0，f (x1)－f (x2)>0，所以(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，当x10，综上所述，(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，故B项不成立；对于C项、D项，由于x1，x2的大小关系不确定，所以f (x1)与f (x2)的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立．故选A．]3．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)A．-32，+∞ 　　 B．-∞，-32C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]B　[∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象是开口向上，直线x＝2a-1-2为函数的对称轴，又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤2a-1-2，解得a≤－32．]4．(多选)若函数f (x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(　　)A．f (a2＋1)0，∴a2＋1>a．又函数f (x)在(－∞，＋∞)上为减函数，∴f (a2＋1)0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．①y＝a＋f (x)(a为常数)；②y＝a－f (x)(a为常数)；③y＝1fx；④y＝[f (x)]2．②③　[f (x)在定义域内是减函数，且f (x)>0时，－f (x)，1fx均为增函数，故选②③．]8．函数y＝f (x)在(－2，2)上为减函数，且f (2m)>f (－m＋1)，则实数m的取值范围是________．-1，13　[由题意知-2<2m<2，-2<-m+1<2，2m<-m+1，解得－1f (1－m)，求实数m的取值范围．[解]　(1)证明：f (x)＝2xx+1＝2－2x+1，x∈(0，＋∞)，任取00，x2＋1>0，所以f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)f (1－m)，可得2m-1>0，1-m>0，2m-1>1-m，解得234，其最大值为交点的纵坐标，所以f (x)的最大值为6．15．已知一次函数f (x)是R上的增函数，g(x)＝f (x)(x＋m)，且f (f (x))＝16x＋5．(1)求f (x)的解析式；(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．[解]　(1)由题意设f (x)＝ax＋b(a>0)．从而f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以a2=16，ab+b=5，解得a=4，b=1或a=-4，b=-53(不合题意，舍去)．所以f (x)的解析式为f (x)＝4x＋1．(2)g(x)＝f (x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的开口向上，对称轴为直线x＝－4m+18．若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－4m+18≤1，解得m≥－94，所以实数m的取值范围为-94，+∞．学习任务1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(直观想象)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(逻辑推理)3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(数学运算)时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1条件一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，且区间I⊆D：如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)结论y＝f (x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增)y＝f (x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减)图示最大值最小值条件一般地，设函数f (x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D都有f (x)≤f (x0)都有f (x)≥f (x0)结论则称f (x)的最大值为f (x0)，而x0称为f (x)的最大值点则称f (x)的最小值为f (x0)，而x0称为f (x)的最小值点统称最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点作图作出函数的图象结论上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间函数单调性一次函数y＝ax＋b(a≠0)a>0时，在R上单调递增；a<0时，在R上单调递减反比例函数y＝ax(a≠0)a>0时，单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0时，单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0)a>0时，单调递减区间是(－∞，m]，单调递增区间是[m，＋∞)；a<0时，单调递减区间是[m，＋∞)，单调递增区间是(－∞，m]y＝x＋ax(a≠0)a>0时，单调递增区间是(－∞，－a]，[a，＋∞)；单调递减区间是[－a，0)，(0，a]；a<0时，单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)