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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步训练题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步训练题，共20页。
1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－eq \f(1,2)，则|MN|＝( )
A．10 B．180
C．6eq \r(3) D．6eq \r(5)
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝1
3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )
A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0
C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0
4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0
5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－2eq \r(2)，2eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，eq \r(2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,8)))
6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则eq \r(m2＋n2)的最小值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(4,5)
7．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为( )
A．5eq \r(5)－3 B.eq \r(101)－3
C．7eq \r(5)－3 D．5eq \r(3)－3
8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )
A．x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0 B．(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0
C．x－(eq \r(2)＋1)y＋eq \r(2)＝0 D．(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
10．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为( )
A．x－3＝0 B．x－2＝0
C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝0
11．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b
12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．
14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．
15．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝2eq \r(2).从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？
19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．
21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O的正东方向有一观测站C，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC＝15 km，观测站C的观测半径为5 km.现以点O为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y＝keq \r(x)(k>0)．
(1)若测得鲸的行进路线上一点A(1，1)，求k的值；
(2)在(1)问的条件下，则：
①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C的观测区域内？(计算结果精确到0.1)
②当鲸运动到何处时，离观测站C最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)
(参考数据：eq \r(41)≈6.4，eq \r(11.3)≈3.4，eq \r(58)≈7.6)
22．(12分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.
(1)求直线l所过定点A的坐标；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
(3)如图，已知点M(－3，4)，在直线MC上(C为圆心)，存在一定点N(异于点M)，满足对于圆C上任一点P，都有eq \f(|PM|,|PN|)为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．
1．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线x－3y＝0上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．2eq \r(5) D．2eq \r(7)
2．圆心在曲线y＝eq \f(3,x)(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－eq \r(3))2＋(y－eq \r(3))2＝9B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(2)
C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)))eq \s\up12(2)D．(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝9
3．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l的方程为( )
A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0
4．已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为( )
A．2eq \r(3) B.eq \f(9,4)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
5．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是( )
A．(0，eq \r(5)) B．(－eq \r(5)，0)
C．(0，eq \r(13)) D．(0，5)
6．已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是( )
A.eq \r(3) B．1＋eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(3),3) D．2－eq \f(\r(2),2)
7．【多选题】已知两圆方程为x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是( )
A．若两圆外切，则r＝1
B．若两圆公共弦所在的直线方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
8．【多选题】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝eq \f(16,5)
9．已知过点P(4，1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________．
10．曲线y＝1＋eq \r(9－x2)与直线y＝k(x－3)＋5有两个交点，则实数k的取值范围是________．
11．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
12．已知圆C的圆心在直线l：x＋y＋1＝0上且经过点A(－1，2)，B(1，0)．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点D(0，3)的直线l1被圆C截得的弦长为2eq \r(3)，求直线l1的方程．
13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.
(1)若|AB|＝eq \f(3\r(7),2)，求CD的长；
(2)若线段CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．
14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．
15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)当切线PA的长度为2eq \r(3)时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
(3)求线段AB长度的最小值．
第二章 直线和圆的方程 章末测试卷（解析版）
[时间：120分钟 满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－eq \f(1,2)，则|MN|＝( )
A．10 B．180
C．6eq \r(3) D．6eq \r(5)
答案 D
解析 kMN＝eq \f(a－4,－2－a)＝－eq \f(1,2)，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝eq \r(（－2－10）2＋（10－4）2)＝6eq \r(5).故选D.
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq \r(（0－1）2＋（b－2）2)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
方法二(数形结合法)：根据点(1，2)到圆心的距离为1，作图易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
方法三(验证法)：将点(1，2)代入四个选项中，可排除B、D，又圆心在y轴上，所以排除C.故选A.
3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )
A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0
C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0
答案 B
解析 本题主要考查直线的截距式方程及三角形面积的计算．依题意，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)ab＝12，,\f(2,a)＋\f(3,b)＝1，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝6，))于是所求直线的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,6)＝1，即3x＋2y－12＝0.故选B.
4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0
答案 D
解析 设圆心为C(2，0)，所以kPC＝eq \f(0＋1,2－3)＝－1，所以kAB＝1，所以lAB：x－y－4＝0.故选D.
5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－2eq \r(2)，2eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，eq \r(2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,8)))
答案 C
解析 易知圆心坐标是(1，0)，半径是1，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，由点到直线的距离公式，得eq \f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，即k26．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则eq \r(m2＋n2)的最小值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 由圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0，可得圆C1和C2的公共弦所在的直线方程为k(x－2y)＋(y－1)＝0，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))即点M(2，1)，又因为点M在直线mx＋ny＝2上，即2m＋n＝2，又由原点到直线2x＋y＝2的距离为d＝eq \f(2,\r(22＋12))＝eq \f(2\r(5),5)，即eq \r(m2＋n2)的最小值为eq \f(2\r(5),5).
7．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为( )
A．5eq \r(5)－3 B.eq \r(101)－3
C．7eq \r(5)－3 D．5eq \r(3)－3
答案 A
解析 圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，则|AP|＋|AQ|的最小值为|MN′|－1－2＝eq \r(102＋52)－3＝5eq \r(5)－3.故选A.
8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )
A．x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0 B．(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0
C．x－(eq \r(2)＋1)y＋eq \r(2)＝0 D．(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0
答案 C
解析 本题在数学文化背景下考查直线方程．如图所示，可知A(eq \r(2)，0)，B(1，1)，C(0，eq \r(2))，D(－1，1)，E(－eq \r(2)，0)，所以AB，BC，CD，DE所在直线的方程分别为y＝eq \f(1－0,1－\r(2))(x－eq \r(2))，y＝(1－eq \r(2))x＋eq \r(2)，y＝(eq \r(2)－1)x＋eq \r(2)，y＝eq \f(1,\r(2)－1)(x＋eq \r(2))，整理为一般式即x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0，(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0，(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0，x－(eq \r(2)－1)y＋eq \r(2)＝0.故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
答案 ABC
解析 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，把点(1，2)代入，得k＝2，所以此时直线的方程为2x－y＝0；当直线斜率k＝1时，设直线的方程为y＝x＋b，把点(1，2)代入，得b＝1，所以此时直线的方程为x－y＋1＝0；当直线斜率k＝－1时，设直线的方程为y＝－x＋b，把点(1，2)代入，得b＝3，所以此时直线的方程为x＋y－3＝0.
10．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为( )
A．x－3＝0 B．x－2＝0
C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝0
答案 AC
解析 由题意得圆心为C(1，2)，半径r＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x－3＝0是圆C的切线；当过点M的圆C的切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋12))＝2，解得k＝eq \f(3,4)，∴切线方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.故选AC.
11．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b
答案 ABC
解析 因为圆C1：x2＋y2＝r2①，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2②，交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以①－②得到直线AB的方程为2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入直线AB的方程可得2ax1＋2by1＝a2＋b2③，2ax2＋2by2＝a2＋b2④，故B正确；③－④得到2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，所以eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(0＋a,2)，eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(0＋b,2)，即x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.
12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
答案 ACD
解析 设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq \f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq \f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq \f(11,\r(5))，而4＋eq \f(11,\r(5))<5＋eq \r(\f(125,5))＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq \f(11,\r(5))－4，而eq \f(11,\r(5))－4过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，此时|PB|＝eq \r(|MB|2－|MN|2)＝eq \r(52＋（5－2）2－42)＝3eq \r(2)，当∠PBA最大时，点P与Q重合，此时|PB|＝3eq \r(2)，故C、D都正确．综上，选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．
答案 eq \f(2,3)或－1
解析 本题主要考查两直线的平行关系．当a＝－1时，两直线方程分别为2y＋1＝0，y－1＝0，显然两直线平行；当a≠－1时，由eq \f(a2－1,a＋1)＝eq \f(－a,2)≠eq \f(－1,1)，得a＝eq \f(2,3).故a的值为eq \f(2,3)或－1.
14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．
答案 0解析 因为圆心C(－5，0)到直线l：3x＋y＋5＝0的距离为eq \f(|－15＋5|,\r(32＋12))＝eq \f(10,\r(10))＝eq \r(10)，所以要使圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是015．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案 (x＋3)2＋y2＝1(x≠－4) 2
解析 直线l：y＝k(x＋4)过定点(－4，0)，且点(－4，0)在圆(x＋2)2＋y2＝4上，不妨设A(－4，0)，M(x，y)(x≠－4)，B(x1，y1)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝2x＋4，,y1＝2y，))将(2x＋4，2y)代入(x＋2)2＋y2＝4，得(x＋3)2＋y2＝1(x≠－4)，所以点M的轨迹是以(－3，0)为圆心，以1为半径的圆(除去点A(－4，0))，则点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为eq \f(|－3×3－6|,5)－1＝2.
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．
答案 eq \f(12,5)
解析 由题意圆L与圆S关于原点对称，设S(a，0)，a>0，则eq \r(a2＋32)＝2＋3，解得a＝4，即S(4，0)，所以L(－4，0)．
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：
d1＝eq \f(|－4k|,\r(1＋k2))，d2＝eq \f(|4k|,\r(1＋k2))，d3＝eq \f(|3|,\r(1＋k2))，
则d2＝4(4－d12)＝4(4－d22)＝4(9－d32)，
即有4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4k,\r(1＋k2))))eq \s\up12(2)＝4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k,\r(1＋k2))))eq \s\up12(2)＝9－(eq \f(3,\r(1＋k2)))2，解得k2＝eq \f(4,21).
则d2＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(16×\f(4,21),1＋\f(4,21))))＝eq \f(144,25)，即d＝eq \f(12,5).
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解析 (1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))
所以交点坐标为(2，1)．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
则点A到直线l的距离为eq \f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，
解得k＝eq \f(4,3)，所以l的方程为4x－3y－5＝0；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．
故直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)设直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点为P，由(1)可知P(2，1)，过点P任意作直线l(如图所示)，设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时，等号成立)，
由两点间的距离公式可知|PA|＝eq \r(10).
即所求的距离的最大值为eq \r(10).
18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝2eq \r(2).从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？
思路分析 由点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，可知圆心在线段AB的垂直平分线x＝－eq \f(1,2)上，设圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，半径为r，若选①，求出直线l1和l2的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,5)))，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1))，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长|CD|＝2eq \r(2)，可得半径及圆心，即可求出圆的方程．
解析 因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，
又线段AB的垂直平分线所在直线方程为x＝eq \f(－2＋1,2)＝－eq \f(1,2)，则可设圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，圆的半径为r，
若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(1,5).))即直线l1和l2的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,5)))，则圆Q过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,5)))，
所以r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(2,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,5)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－1))eq \s\up12(2)＋(b＋1)2，解得b＝－1，则r2＝eq \f(9,4).
即存在圆Q，且圆Q的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq \f(9,4).
若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．
由圆心在直线2x－y＝0上可得2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－b＝0，则b＝－1，所以r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－1))eq \s\up12(2)＋(－1＋1)2＝eq \f(9,4)，
即存在圆Q，且圆Q的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq \f(9,4).
若选③，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．
若圆被y轴截得弦长|CD|＝2eq \r(2)，根据圆的性质可得，r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|CD|,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,4)，
由r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－1))eq \s\up12(2)＋(b＋1)2＝eq \f(9,4)，解得b＝－1.
即存在圆Q，且圆Q的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq \f(9,4).
19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
解析 因为圆C1可化为(x－6)2＋(y－1)2＝50，所以C1的坐标为(6，1)，半径r1＝5eq \r(2)，同理可得C2的坐标为(－6，－8)，半径r2＝5eq \r(5).所以C1，C2所在的直线方程为3x－4y－14＝0.又因为公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y－14＝0，,4x＋3y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
即所求圆的圆心为C(2，－2)，半径r＝eq \r(（5\r(2)）2－|C1C|2)＝5.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．
解析 (1)线段AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，又kAB＝－1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y－eq \f(3,2)＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即x－y＋1＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0，,x＋y＋5＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2，))所以圆心C(－3，－2)．
圆C的半径r＝|AC|＝eq \r(（0＋3）2＋（2＋2）2)＝5，
故圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)令z＝3x－4y，即3x－4y－z＝0.
当直线3x－4y－z＝0与圆C相切于点P时，z取得最值，
圆心C(－3，－2)到直线3x－4y－z＝0的距离d＝eq \f(|－9＋8－z|,\r(32＋（－4）2))＝5，
解得z＝－26或z＝24.
故3x－4y的最大值为24，最小值为－26.
21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O的正东方向有一观测站C，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC＝15 km，观测站C的观测半径为5 km.现以点O为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y＝keq \r(x)(k>0)．
(1)若测得鲸的行进路线上一点A(1，1)，求k的值；
(2)在(1)问的条件下，则：
①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C的观测区域内？(计算结果精确到0.1)
②当鲸运动到何处时，离观测站C最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)
(参考数据：eq \r(41)≈6.4，eq \r(11.3)≈3.4，eq \r(58)≈7.6)
解析 (1)将A(1，1)代入y＝keq \r(x)，可得k＝1.
(2)①以C为圆心，5为半径的圆的方程为(x－15)2＋y2＝25，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(x)，,（x－15）2＋y2＝25，))
得x2－29x＋200＝0，
∴x＝eq \f(29±\r(41),2)，∴x1≈11.3，x2≈17.7，
∴当鲸运动到点(11.3，eq \r(11.3))即(11.3，3.4)处时，开始进入观测站C的观测区域内．
②鲸与点C的距离为：
d＝eq \r(（x－15）2＋y2)
＝eq \r(（x－15）2＋x)
＝eq \r(x2－29x＋225)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(29,2)))\s\up12(2)＋225－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(29,2)))\s\up12(2))，
∴当x＝eq \f(29,2)时d最小．
故当鲸运动到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(29,2)，\f(\r(58),2)))即(14.5，3.8)处时，鲸离观测站C最近．
22．(12分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.
(1)求直线l所过定点A的坐标；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
(3)如图，已知点M(－3，4)，在直线MC上(C为圆心)，存在一定点N(异于点M)，满足对于圆C上任一点P，都有eq \f(|PM|,|PN|)为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．
解析 (1)依题意，得m(3x－y)＋(x＋y－4)＝0，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))∴直线l过定点A(1，3)．
(2)当AC⊥l时，所截得的弦长最短．
由题知C(0，4)，圆C的半径r＝2，
∴kAC＝eq \f(4－3,0－1)＝－1，∴kl＝1，∴eq \f(3m＋1,m－1)＝1，∴m＝－1.
∵圆心C到直线l的距离为d＝|AC|＝eq \r(2)，
∴最短弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2).
(3)由题意知直线MC的方程为y＝4.
设定点N(t，4)(t≠－3)，P(x，y)，eq \f(|PM|,|PN|)＝λ(λ>0)，则|PM|2＝λ2|PN|2，
∴(x＋3)2＋(y－4)2＝λ2(x－t)2＋λ2(y－4)2，
∴(x＋3)2＋4－x2＝λ2(x－t)2＋λ2(4－x2)，
整理得(6＋2tλ2)x－(λ2t2＋4λ2－13)＝0，
此式对任意的x∈[－2，2]恒成立，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＋2tλ2＝0，,λ2t2＋4λ2－13＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝－\f(4,3)，,λ＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝－\f(4,3)，,λ＝－\f(3,2)))(舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝－3，,λ＝±1))(舍去)．
综上，满足条件的点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，4))，且eq \f(|PM|,|PN|)为常数eq \f(3,2).
1．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线x－3y＝0上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．2eq \r(5) D．2eq \r(7)
答案 C
解析 设点A(－2，1)关于直线x－3y＝0的对称点为D(a，b)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－1,a＋2)＝－3，,\f(a－2,2)－3×\f(b＋1,2)＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，))所以D(－1，－2)，所以|AC|＋|BC|＝|DC|＋|BC|，当B，D，C共线时，|AC|＋|BC|取最小值，最小值为|DB|＝eq \r(（1＋1）2＋（2＋2）2)＝2eq \r(5).
2．圆心在曲线y＝eq \f(3,x)(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－eq \r(3))2＋(y－eq \r(3))2＝9B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(2)
C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)))eq \s\up12(2)D．(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝9
答案 D
解析 设圆心为(a，b)，半径为r，则满足条件的圆面积最小即r最小，r＝eq \f(|3a＋4b＋3|,\r(32＋42))＝eq \f(|3a＋4b＋3|,5)≥eq \f(2\r(3a×4b)＋3,5)，因为圆心(a，b)在y＝eq \f(3,x)(x>0)上，所以b＝eq \f(3,a)，即ab＝3，所以rmin＝eq \f(2\r(12×3)＋3,5)＝3，当且仅当3a＝4b，即a＝2，b＝eq \f(3,2)时取等号，所以此时圆的方程为(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝9.
3．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l的方程为( )
A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0
答案 C
解析 方法一：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))由题意，知直线l的斜率k＝－eq \f(2,3)，所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故选C.
方法二：由题意设直线l：x＋y－2＋λ(2x－y－1)＝0(λ∈R)，即(1＋2λ)x＋(1－λ)y－2－λ＝0，又直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－eq \f(1,8)，所以直线l的方程为2x＋3y－5＝0.故选C.
4．已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为( )
A．2eq \r(3) B.eq \f(9,4)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
答案 B
解析 因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心为C1(－a，2)，半径r1＝1，圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(b，2)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝eq \r(（－a－b）2＋（2－2）2)＝|a＋b|＝1＋2，所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝eq \f(9,4)－eq \f(（a－b）2,4)≤eq \f(9,4)，即当a＝b时，ab取得最大值，最大值为eq \f(9,4).
5．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是( )
A．(0，eq \r(5)) B．(－eq \r(5)，0)
C．(0，eq \r(13)) D．(0，5)
答案 A
解析 圆C的方程x2＋4x＋y2－5＝0可化为(x＋2)2＋y2＝9，则圆C与x轴正半轴交于点A(1，0)，与y轴正半轴交于点B(0，eq \r(5))，如图所示，因为过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，所以kMA6．已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是( )
A.eq \r(3) B．1＋eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(3),3) D．2－eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 如图所示，易知直线AB的方程是y＝3，直线AC的方程是eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1，即3x＋2y－6＝0，且直线x＝a只与边AB，AC相交．设直线x＝a与AB交于点D，与AC交于点E，则点D，E的坐标分别为(a，3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(6－3a,2)))，从而|DE|＝3－eq \f(6－3a,2)＝eq \f(3,2)a，S△ADE＝eq \f(1,2)|AD||DE|＝eq \f(1,2)a×eq \f(3,2)a＝eq \f(3,4)a2①.又S△ABC＝eq \f(1,2)×3×3＝eq \f(9,2)，所以S△ADE＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(9,4)②，由①②得eq \f(3,4)a2＝eq \f(9,4)，解得a＝eq \r(3)或a＝－eq \r(3)(舍去)．故选A.
7．【多选题】已知两圆方程为x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是( )
A．若两圆外切，则r＝1
B．若两圆公共弦所在的直线方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
答案 ABC
解析 由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，－3)，半径分别为4，r，所以圆心距为5，若两圆外切，则4＋r＝5，即r＝1，故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为8x－6y－41＋r2＝0，所以－41＋r2＝－37，解得r＝2，故B正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故52＝42＋r2，解得r＝3，故C正确．
8．【多选题】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝eq \f(16,5)
答案 AB
解析 过点A，C的直线方程为eq \f(y＋1,3＋1)＝eq \f(x－6,－2－6)，化为一般式为x＋2y－4＝0，过点A，B的直线方程为x＝－2，过点B，C的直线方程为y＝－1，所以原点O到直线x＋2y－4＝0的距离dAC＝eq \f(4\r(5),5)，原点O到直线x＝－2的距离dAB＝2，原点O到直线y＝－1的距离dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC，又|OA|＝eq \r(（－2）2＋32)＝eq \r(13)，|OB|＝eq \r(（－2）2＋（－1）2)＝eq \r(5)，且|OC|＝eq \r(62＋（－1）2)＝eq \r(37).结合图形可知，若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或eq \r(37).故选AB.
9．已知过点P(4，1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________．
答案 x＋4y－8＝0
解析 设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因为直线l过点P(4，1)，所以eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1≥2eq \r(\f(4,a)×\f(1,b))＝eq \f(4,\r(ab))，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积S＝eq \f(1,2)ab取得最小值，此时直线l的方程为eq \f(x,8)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.
10．曲线y＝1＋eq \r(9－x2)与直线y＝k(x－3)＋5有两个交点，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,24)，\f(2,3)))
解析 由题可知，y＝1＋eq \r(9－x2)，即x2＋(y－1)2＝9(y≥1)，其图象如图所示：
又直线y＝k(x－3)＋5即kx－y－3k＋5＝0过定点A(3，5)．
当直线与半圆相切时，则eq \f(|－1－3k＋5|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq \f(7,24).
当直线过点B(－3，1)时，k＝eq \f(5－1,3－（－3）)＝eq \f(2,3).
所以k∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,24)，\f(2,3))).
11．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
答案 ±eq \r(21)
解析 根据题意，设点P的坐标为(a，b)，则直线PA的方程为y＝eq \f(b,a＋1)(x＋1)，其在y轴上的截距为eq \f(b,a＋1)，直线PB的方程为y＝eq \f(b,a－5)(x－5)，其在y轴上的截距为－eq \f(5b,a－5).若点P满足使直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则有eq \f(b,a＋1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5b,a－5)))＝5，变形可得b2＋(a－2)2＝9，则点P在圆(x－2)2＋y2＝9上．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P满足题意，则圆M与圆(x－2)2＋y2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切．又两圆的圆心距为eq \r(（4－2）2＋m2)≥2，所以两圆外切，所以4＋m2＝25，解得m＝±eq \r(21).
12．已知圆C的圆心在直线l：x＋y＋1＝0上且经过点A(－1，2)，B(1，0)．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点D(0，3)的直线l1被圆C截得的弦长为2eq \r(3)，求直线l1的方程．
解析 (1)由题意得，圆心C一定在线段AB的垂直平分线上，
kAB＝eq \f(0－2,1－（－1）)＝－1，线段AB中点为(0，1)，
所以直线AB的垂直平分线为x－y＋1＝0.
所以直线l：x＋y＋1＝0与x－y＋1＝0的交点即为圆心C，即C的坐标为(－1，0)，半径r＝|CA|＝2.
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)当直线l1斜率不存在时，方程为x＝0，此时圆心到l1距离为1，截得的弦长为2eq \r(3)，满足题意；
当直线l1斜率存在时，设为k，则l1：kx－y＋3＝0，圆心(－1，0)到l1的距离d＝eq \f(|－k＋3|,\r(k2＋1))＝eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))\s\up12(2))＝1，所以k＝eq \f(4,3)，则直线l1的方程为4x－3y＋9＝0.
综上，直线l1的方程为x＝0或4x－3y＋9＝0.
13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.
(1)若|AB|＝eq \f(3\r(7),2)，求CD的长；
(2)若线段CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．
解析 (1)直线AB的斜率显然存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝kx＋1.
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(k2＋1))))eq \s\up12(2)＝4，
所以|AB|＝2eq \r(\f(4k2＋3,k2＋1))，
由2eq \r(\f(4k2＋3,k2＋1))＝eq \f(3\r(7),2)，得k2＝15，
因为直线CD的方程为y＝－eq \f(1,k)x＋1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|CD|,2)))eq \s\up12(2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－\f(2,k)＋1－1,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))\s\up12(2)))))eq \s\up12(2)，
所以|CD|＝2eq \r(1－\f(4,k2＋1))＝2eq \r(1－\f(4,15＋1))＝eq \r(3).
(2)当直线AB的斜率不存在时，△ABE的面积S＝eq \f(1,2)×4×2＝4；
当直线AB的斜率存在时，设其斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋1，显然k≠0，
则直线CD的方程为y＝－eq \f(1,k)x＋1，
由eq \f(\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(,,,))－\f(1,k)·2－1＋1\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(,,,)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))\s\up12(2)＋1))<1，得k2>3，
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(k2＋1))))eq \s\up12(2)＝4，
所以|AB|＝2eq \r(\f(4k2＋3,k2＋1))，
易知E到直线AB的距离即M到AB的距离，设为d，
则d＝eq \f(|2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \f(|2k|,\r(k2＋1))，
所以△ABE的面积S＝eq \f(1,2)|AB|·d＝2eq \r(\f(（4k2＋3）k2,（k2＋1）2))，
令k2＋1＝t>4，则S＝2eq \r(\f(（4t－1）（t－1）,t2))＝2eq \r(\f(1,t2)－\f(5,t)＋4)＝2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－\f(5,2)))\s\up12(2)－\f(9,4))，易知eq \f(1,t)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))，所以S∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),2)，4)).
综上，△ABE面积的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),2)，4)).
14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．
解析 (1)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
所以圆C的圆心坐标为(－1，2)．
又圆C与y轴相切，所以eq \r(5－m)＝1，即m＝4，故圆C的半径为1.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1，|PO|2＝x2＋y2.
由于|PM|＝2|PO|，则(x＋1)2＋(y－2)2－1＝4(x2＋y2)，整理得点P的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(17,9).
15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)当切线PA的长度为2eq \r(3)时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
(3)求线段AB长度的最小值．
解析 由题意知，圆M的半径r＝2，M(0，4)，设P(2b，b)．
(1)∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP＝90°，
∴|MP|＝eq \r(（0－2b）2＋（4－b）2)＝eq \r(|AM|2＋|AP|2)＝eq \r(22＋（2\r(3)）2)＝4，
解得b＝0或eq \f(8,5)，
∴点P的坐标为(0，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)，\f(8,5))).
(2)圆N过定点(0，4)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).理由如下：∵∠MAP＝90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为(x－b)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(b＋4,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4b2＋（b－4）2,4)，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－4＝0，,x2＋y2－4y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5).))
∴圆N过定点(0，4)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).
(3)由(2)得圆N的方程为(x－b)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(b＋4,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4b2＋（b－4）2,4)，
即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0，①
又圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0，②
②－①，得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，
∴点M到直线AB的距离d＝eq \f(4,\r(5b2－8b＋16))，
∴|AB|＝2eq \r(4－d2)＝4eq \r(1－\f(4,5b2－8b＋16))＝
4eq \r(1－\f(4,5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(4,5)))\s\up12(2)＋\f(64,5)))，
∴当b＝eq \f(4,5)时，|AB|有最小值，为eq \r(11).
1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－eq \f(1,2)，则|MN|＝( )
A．10 B．180
C．6eq \r(3) D．6eq \r(5)
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝1
3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )
A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0
C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0
4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0
5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－2eq \r(2)，2eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，eq \r(2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,8)))
6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则eq \r(m2＋n2)的最小值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(4,5)
7．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为( )
A．5eq \r(5)－3 B.eq \r(101)－3
C．7eq \r(5)－3 D．5eq \r(3)－3
8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )
A．x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0 B．(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0
C．x－(eq \r(2)＋1)y＋eq \r(2)＝0 D．(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
10．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为( )
A．x－3＝0 B．x－2＝0
C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝0
11．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b
12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．
14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．
15．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝2eq \r(2).从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？
19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．
21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O的正东方向有一观测站C，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC＝15 km，观测站C的观测半径为5 km.现以点O为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y＝keq \r(x)(k>0)．
(1)若测得鲸的行进路线上一点A(1，1)，求k的值；
(2)在(1)问的条件下，则：
①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C的观测区域内？(计算结果精确到0.1)
②当鲸运动到何处时，离观测站C最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)
(参考数据：eq \r(41)≈6.4，eq \r(11.3)≈3.4，eq \r(58)≈7.6)
22．(12分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.
(1)求直线l所过定点A的坐标；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
(3)如图，已知点M(－3，4)，在直线MC上(C为圆心)，存在一定点N(异于点M)，满足对于圆C上任一点P，都有eq \f(|PM|,|PN|)为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．
1．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线x－3y＝0上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．2eq \r(5) D．2eq \r(7)
2．圆心在曲线y＝eq \f(3,x)(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－eq \r(3))2＋(y－eq \r(3))2＝9B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(2)
C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)))eq \s\up12(2)D．(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝9
3．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l的方程为( )
A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0
4．已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为( )
A．2eq \r(3) B.eq \f(9,4)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
5．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是( )
A．(0，eq \r(5)) B．(－eq \r(5)，0)
C．(0，eq \r(13)) D．(0，5)
6．已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是( )
A.eq \r(3) B．1＋eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(3),3) D．2－eq \f(\r(2),2)
7．【多选题】已知两圆方程为x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是( )
A．若两圆外切，则r＝1
B．若两圆公共弦所在的直线方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
8．【多选题】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝eq \f(16,5)
9．已知过点P(4，1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________．
10．曲线y＝1＋eq \r(9－x2)与直线y＝k(x－3)＋5有两个交点，则实数k的取值范围是________．
11．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
12．已知圆C的圆心在直线l：x＋y＋1＝0上且经过点A(－1，2)，B(1，0)．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点D(0，3)的直线l1被圆C截得的弦长为2eq \r(3)，求直线l1的方程．
13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.
(1)若|AB|＝eq \f(3\r(7),2)，求CD的长；
(2)若线段CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．
14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．
15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)当切线PA的长度为2eq \r(3)时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
(3)求线段AB长度的最小值．
第二章 直线和圆的方程 章末测试卷（解析版）
[时间：120分钟 满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－eq \f(1,2)，则|MN|＝( )
A．10 B．180
C．6eq \r(3) D．6eq \r(5)
答案 D
解析 kMN＝eq \f(a－4,－2－a)＝－eq \f(1,2)，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝eq \r(（－2－10）2＋（10－4）2)＝6eq \r(5).故选D.
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq \r(（0－1）2＋（b－2）2)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
方法二(数形结合法)：根据点(1，2)到圆心的距离为1，作图易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
方法三(验证法)：将点(1，2)代入四个选项中，可排除B、D，又圆心在y轴上，所以排除C.故选A.
3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )
A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0
C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0
答案 B
解析 本题主要考查直线的截距式方程及三角形面积的计算．依题意，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)ab＝12，,\f(2,a)＋\f(3,b)＝1，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝6，))于是所求直线的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,6)＝1，即3x＋2y－12＝0.故选B.
4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0
答案 D
解析 设圆心为C(2，0)，所以kPC＝eq \f(0＋1,2－3)＝－1，所以kAB＝1，所以lAB：x－y－4＝0.故选D.
5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－2eq \r(2)，2eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，eq \r(2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,8)))
答案 C
解析 易知圆心坐标是(1，0)，半径是1，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，由点到直线的距离公式，得eq \f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，即k2
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 由圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0，可得圆C1和C2的公共弦所在的直线方程为k(x－2y)＋(y－1)＝0，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))即点M(2，1)，又因为点M在直线mx＋ny＝2上，即2m＋n＝2，又由原点到直线2x＋y＝2的距离为d＝eq \f(2,\r(22＋12))＝eq \f(2\r(5),5)，即eq \r(m2＋n2)的最小值为eq \f(2\r(5),5).
7．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为( )
A．5eq \r(5)－3 B.eq \r(101)－3
C．7eq \r(5)－3 D．5eq \r(3)－3
答案 A
解析 圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，则|AP|＋|AQ|的最小值为|MN′|－1－2＝eq \r(102＋52)－3＝5eq \r(5)－3.故选A.
8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )
A．x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0 B．(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0
C．x－(eq \r(2)＋1)y＋eq \r(2)＝0 D．(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0
答案 C
解析 本题在数学文化背景下考查直线方程．如图所示，可知A(eq \r(2)，0)，B(1，1)，C(0，eq \r(2))，D(－1，1)，E(－eq \r(2)，0)，所以AB，BC，CD，DE所在直线的方程分别为y＝eq \f(1－0,1－\r(2))(x－eq \r(2))，y＝(1－eq \r(2))x＋eq \r(2)，y＝(eq \r(2)－1)x＋eq \r(2)，y＝eq \f(1,\r(2)－1)(x＋eq \r(2))，整理为一般式即x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0，(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0，(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0，x－(eq \r(2)－1)y＋eq \r(2)＝0.故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
答案 ABC
解析 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，把点(1，2)代入，得k＝2，所以此时直线的方程为2x－y＝0；当直线斜率k＝1时，设直线的方程为y＝x＋b，把点(1，2)代入，得b＝1，所以此时直线的方程为x－y＋1＝0；当直线斜率k＝－1时，设直线的方程为y＝－x＋b，把点(1，2)代入，得b＝3，所以此时直线的方程为x＋y－3＝0.
10．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为( )
A．x－3＝0 B．x－2＝0
C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝0
答案 AC
解析 由题意得圆心为C(1，2)，半径r＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x－3＝0是圆C的切线；当过点M的圆C的切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋12))＝2，解得k＝eq \f(3,4)，∴切线方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.故选AC.
11．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b
答案 ABC
解析 因为圆C1：x2＋y2＝r2①，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2②，交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以①－②得到直线AB的方程为2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入直线AB的方程可得2ax1＋2by1＝a2＋b2③，2ax2＋2by2＝a2＋b2④，故B正确；③－④得到2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，所以eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(0＋a,2)，eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(0＋b,2)，即x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.
12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
答案 ACD
解析 设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq \f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq \f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq \f(11,\r(5))，而4＋eq \f(11,\r(5))<5＋eq \r(\f(125,5))＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq \f(11,\r(5))－4，而eq \f(11,\r(5))－4
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．
答案 eq \f(2,3)或－1
解析 本题主要考查两直线的平行关系．当a＝－1时，两直线方程分别为2y＋1＝0，y－1＝0，显然两直线平行；当a≠－1时，由eq \f(a2－1,a＋1)＝eq \f(－a,2)≠eq \f(－1,1)，得a＝eq \f(2,3).故a的值为eq \f(2,3)或－1.
14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．
答案 0
答案 (x＋3)2＋y2＝1(x≠－4) 2
解析 直线l：y＝k(x＋4)过定点(－4，0)，且点(－4，0)在圆(x＋2)2＋y2＝4上，不妨设A(－4，0)，M(x，y)(x≠－4)，B(x1，y1)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝2x＋4，,y1＝2y，))将(2x＋4，2y)代入(x＋2)2＋y2＝4，得(x＋3)2＋y2＝1(x≠－4)，所以点M的轨迹是以(－3，0)为圆心，以1为半径的圆(除去点A(－4，0))，则点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为eq \f(|－3×3－6|,5)－1＝2.
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．
答案 eq \f(12,5)
解析 由题意圆L与圆S关于原点对称，设S(a，0)，a>0，则eq \r(a2＋32)＝2＋3，解得a＝4，即S(4，0)，所以L(－4，0)．
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：
d1＝eq \f(|－4k|,\r(1＋k2))，d2＝eq \f(|4k|,\r(1＋k2))，d3＝eq \f(|3|,\r(1＋k2))，
则d2＝4(4－d12)＝4(4－d22)＝4(9－d32)，
即有4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4k,\r(1＋k2))))eq \s\up12(2)＝4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k,\r(1＋k2))))eq \s\up12(2)＝9－(eq \f(3,\r(1＋k2)))2，解得k2＝eq \f(4,21).
则d2＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(16×\f(4,21),1＋\f(4,21))))＝eq \f(144,25)，即d＝eq \f(12,5).
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解析 (1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))
所以交点坐标为(2，1)．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
则点A到直线l的距离为eq \f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，
解得k＝eq \f(4,3)，所以l的方程为4x－3y－5＝0；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．
故直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)设直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点为P，由(1)可知P(2，1)，过点P任意作直线l(如图所示)，设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时，等号成立)，
由两点间的距离公式可知|PA|＝eq \r(10).
即所求的距离的最大值为eq \r(10).
18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝2eq \r(2).从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？
思路分析 由点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，可知圆心在线段AB的垂直平分线x＝－eq \f(1,2)上，设圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，半径为r，若选①，求出直线l1和l2的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,5)))，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1))，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长|CD|＝2eq \r(2)，可得半径及圆心，即可求出圆的方程．
解析 因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，
又线段AB的垂直平分线所在直线方程为x＝eq \f(－2＋1,2)＝－eq \f(1,2)，则可设圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，圆的半径为r，
若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(1,5).))即直线l1和l2的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,5)))，则圆Q过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,5)))，
所以r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(2,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,5)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－1))eq \s\up12(2)＋(b＋1)2，解得b＝－1，则r2＝eq \f(9,4).
即存在圆Q，且圆Q的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq \f(9,4).
若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．
由圆心在直线2x－y＝0上可得2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－b＝0，则b＝－1，所以r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－1))eq \s\up12(2)＋(－1＋1)2＝eq \f(9,4)，
即存在圆Q，且圆Q的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq \f(9,4).
若选③，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．
若圆被y轴截得弦长|CD|＝2eq \r(2)，根据圆的性质可得，r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|CD|,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,4)，
由r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－1))eq \s\up12(2)＋(b＋1)2＝eq \f(9,4)，解得b＝－1.
即存在圆Q，且圆Q的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq \f(9,4).
19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
解析 因为圆C1可化为(x－6)2＋(y－1)2＝50，所以C1的坐标为(6，1)，半径r1＝5eq \r(2)，同理可得C2的坐标为(－6，－8)，半径r2＝5eq \r(5).所以C1，C2所在的直线方程为3x－4y－14＝0.又因为公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y－14＝0，,4x＋3y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
即所求圆的圆心为C(2，－2)，半径r＝eq \r(（5\r(2)）2－|C1C|2)＝5.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．
解析 (1)线段AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，又kAB＝－1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y－eq \f(3,2)＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即x－y＋1＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0，,x＋y＋5＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2，))所以圆心C(－3，－2)．
圆C的半径r＝|AC|＝eq \r(（0＋3）2＋（2＋2）2)＝5，
故圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)令z＝3x－4y，即3x－4y－z＝0.
当直线3x－4y－z＝0与圆C相切于点P时，z取得最值，
圆心C(－3，－2)到直线3x－4y－z＝0的距离d＝eq \f(|－9＋8－z|,\r(32＋（－4）2))＝5，
解得z＝－26或z＝24.
故3x－4y的最大值为24，最小值为－26.
21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O的正东方向有一观测站C，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC＝15 km，观测站C的观测半径为5 km.现以点O为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y＝keq \r(x)(k>0)．
(1)若测得鲸的行进路线上一点A(1，1)，求k的值；
(2)在(1)问的条件下，则：
①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C的观测区域内？(计算结果精确到0.1)
②当鲸运动到何处时，离观测站C最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)
(参考数据：eq \r(41)≈6.4，eq \r(11.3)≈3.4，eq \r(58)≈7.6)
解析 (1)将A(1，1)代入y＝keq \r(x)，可得k＝1.
(2)①以C为圆心，5为半径的圆的方程为(x－15)2＋y2＝25，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(x)，,（x－15）2＋y2＝25，))
得x2－29x＋200＝0，
∴x＝eq \f(29±\r(41),2)，∴x1≈11.3，x2≈17.7，
∴当鲸运动到点(11.3，eq \r(11.3))即(11.3，3.4)处时，开始进入观测站C的观测区域内．
②鲸与点C的距离为：
d＝eq \r(（x－15）2＋y2)
＝eq \r(（x－15）2＋x)
＝eq \r(x2－29x＋225)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(29,2)))\s\up12(2)＋225－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(29,2)))\s\up12(2))，
∴当x＝eq \f(29,2)时d最小．
故当鲸运动到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(29,2)，\f(\r(58),2)))即(14.5，3.8)处时，鲸离观测站C最近．
22．(12分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.
(1)求直线l所过定点A的坐标；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
(3)如图，已知点M(－3，4)，在直线MC上(C为圆心)，存在一定点N(异于点M)，满足对于圆C上任一点P，都有eq \f(|PM|,|PN|)为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．
解析 (1)依题意，得m(3x－y)＋(x＋y－4)＝0，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))∴直线l过定点A(1，3)．
(2)当AC⊥l时，所截得的弦长最短．
由题知C(0，4)，圆C的半径r＝2，
∴kAC＝eq \f(4－3,0－1)＝－1，∴kl＝1，∴eq \f(3m＋1,m－1)＝1，∴m＝－1.
∵圆心C到直线l的距离为d＝|AC|＝eq \r(2)，
∴最短弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2).
(3)由题意知直线MC的方程为y＝4.
设定点N(t，4)(t≠－3)，P(x，y)，eq \f(|PM|,|PN|)＝λ(λ>0)，则|PM|2＝λ2|PN|2，
∴(x＋3)2＋(y－4)2＝λ2(x－t)2＋λ2(y－4)2，
∴(x＋3)2＋4－x2＝λ2(x－t)2＋λ2(4－x2)，
整理得(6＋2tλ2)x－(λ2t2＋4λ2－13)＝0，
此式对任意的x∈[－2，2]恒成立，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＋2tλ2＝0，,λ2t2＋4λ2－13＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝－\f(4,3)，,λ＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝－\f(4,3)，,λ＝－\f(3,2)))(舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝－3，,λ＝±1))(舍去)．
综上，满足条件的点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，4))，且eq \f(|PM|,|PN|)为常数eq \f(3,2).
1．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线x－3y＝0上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．2eq \r(5) D．2eq \r(7)
答案 C
解析 设点A(－2，1)关于直线x－3y＝0的对称点为D(a，b)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－1,a＋2)＝－3，,\f(a－2,2)－3×\f(b＋1,2)＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，))所以D(－1，－2)，所以|AC|＋|BC|＝|DC|＋|BC|，当B，D，C共线时，|AC|＋|BC|取最小值，最小值为|DB|＝eq \r(（1＋1）2＋（2＋2）2)＝2eq \r(5).
2．圆心在曲线y＝eq \f(3,x)(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－eq \r(3))2＋(y－eq \r(3))2＝9B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(2)
C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)))eq \s\up12(2)D．(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝9
答案 D
解析 设圆心为(a，b)，半径为r，则满足条件的圆面积最小即r最小，r＝eq \f(|3a＋4b＋3|,\r(32＋42))＝eq \f(|3a＋4b＋3|,5)≥eq \f(2\r(3a×4b)＋3,5)，因为圆心(a，b)在y＝eq \f(3,x)(x>0)上，所以b＝eq \f(3,a)，即ab＝3，所以rmin＝eq \f(2\r(12×3)＋3,5)＝3，当且仅当3a＝4b，即a＝2，b＝eq \f(3,2)时取等号，所以此时圆的方程为(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝9.
3．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l的方程为( )
A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0
答案 C
解析 方法一：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))由题意，知直线l的斜率k＝－eq \f(2,3)，所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故选C.
方法二：由题意设直线l：x＋y－2＋λ(2x－y－1)＝0(λ∈R)，即(1＋2λ)x＋(1－λ)y－2－λ＝0，又直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－eq \f(1,8)，所以直线l的方程为2x＋3y－5＝0.故选C.
4．已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为( )
A．2eq \r(3) B.eq \f(9,4)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
答案 B
解析 因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心为C1(－a，2)，半径r1＝1，圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(b，2)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝eq \r(（－a－b）2＋（2－2）2)＝|a＋b|＝1＋2，所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝eq \f(9,4)－eq \f(（a－b）2,4)≤eq \f(9,4)，即当a＝b时，ab取得最大值，最大值为eq \f(9,4).
5．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是( )
A．(0，eq \r(5)) B．(－eq \r(5)，0)
C．(0，eq \r(13)) D．(0，5)
答案 A
解析 圆C的方程x2＋4x＋y2－5＝0可化为(x＋2)2＋y2＝9，则圆C与x轴正半轴交于点A(1，0)，与y轴正半轴交于点B(0，eq \r(5))，如图所示，因为过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，所以kMA
A.eq \r(3) B．1＋eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(3),3) D．2－eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 如图所示，易知直线AB的方程是y＝3，直线AC的方程是eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1，即3x＋2y－6＝0，且直线x＝a只与边AB，AC相交．设直线x＝a与AB交于点D，与AC交于点E，则点D，E的坐标分别为(a，3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(6－3a,2)))，从而|DE|＝3－eq \f(6－3a,2)＝eq \f(3,2)a，S△ADE＝eq \f(1,2)|AD||DE|＝eq \f(1,2)a×eq \f(3,2)a＝eq \f(3,4)a2①.又S△ABC＝eq \f(1,2)×3×3＝eq \f(9,2)，所以S△ADE＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(9,4)②，由①②得eq \f(3,4)a2＝eq \f(9,4)，解得a＝eq \r(3)或a＝－eq \r(3)(舍去)．故选A.
7．【多选题】已知两圆方程为x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是( )
A．若两圆外切，则r＝1
B．若两圆公共弦所在的直线方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
答案 ABC
解析 由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，－3)，半径分别为4，r，所以圆心距为5，若两圆外切，则4＋r＝5，即r＝1，故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为8x－6y－41＋r2＝0，所以－41＋r2＝－37，解得r＝2，故B正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故52＝42＋r2，解得r＝3，故C正确．
8．【多选题】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝eq \f(16,5)
答案 AB
解析 过点A，C的直线方程为eq \f(y＋1,3＋1)＝eq \f(x－6,－2－6)，化为一般式为x＋2y－4＝0，过点A，B的直线方程为x＝－2，过点B，C的直线方程为y＝－1，所以原点O到直线x＋2y－4＝0的距离dAC＝eq \f(4\r(5),5)，原点O到直线x＝－2的距离dAB＝2，原点O到直线y＝－1的距离dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC，又|OA|＝eq \r(（－2）2＋32)＝eq \r(13)，|OB|＝eq \r(（－2）2＋（－1）2)＝eq \r(5)，且|OC|＝eq \r(62＋（－1）2)＝eq \r(37).结合图形可知，若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或eq \r(37).故选AB.
9．已知过点P(4，1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________．
答案 x＋4y－8＝0
解析 设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因为直线l过点P(4，1)，所以eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1≥2eq \r(\f(4,a)×\f(1,b))＝eq \f(4,\r(ab))，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积S＝eq \f(1,2)ab取得最小值，此时直线l的方程为eq \f(x,8)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.
10．曲线y＝1＋eq \r(9－x2)与直线y＝k(x－3)＋5有两个交点，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,24)，\f(2,3)))
解析 由题可知，y＝1＋eq \r(9－x2)，即x2＋(y－1)2＝9(y≥1)，其图象如图所示：
又直线y＝k(x－3)＋5即kx－y－3k＋5＝0过定点A(3，5)．
当直线与半圆相切时，则eq \f(|－1－3k＋5|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq \f(7,24).
当直线过点B(－3，1)时，k＝eq \f(5－1,3－（－3）)＝eq \f(2,3).
所以k∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,24)，\f(2,3))).
11．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
答案 ±eq \r(21)
解析 根据题意，设点P的坐标为(a，b)，则直线PA的方程为y＝eq \f(b,a＋1)(x＋1)，其在y轴上的截距为eq \f(b,a＋1)，直线PB的方程为y＝eq \f(b,a－5)(x－5)，其在y轴上的截距为－eq \f(5b,a－5).若点P满足使直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则有eq \f(b,a＋1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5b,a－5)))＝5，变形可得b2＋(a－2)2＝9，则点P在圆(x－2)2＋y2＝9上．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P满足题意，则圆M与圆(x－2)2＋y2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切．又两圆的圆心距为eq \r(（4－2）2＋m2)≥2，所以两圆外切，所以4＋m2＝25，解得m＝±eq \r(21).
12．已知圆C的圆心在直线l：x＋y＋1＝0上且经过点A(－1，2)，B(1，0)．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点D(0，3)的直线l1被圆C截得的弦长为2eq \r(3)，求直线l1的方程．
解析 (1)由题意得，圆心C一定在线段AB的垂直平分线上，
kAB＝eq \f(0－2,1－（－1）)＝－1，线段AB中点为(0，1)，
所以直线AB的垂直平分线为x－y＋1＝0.
所以直线l：x＋y＋1＝0与x－y＋1＝0的交点即为圆心C，即C的坐标为(－1，0)，半径r＝|CA|＝2.
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)当直线l1斜率不存在时，方程为x＝0，此时圆心到l1距离为1，截得的弦长为2eq \r(3)，满足题意；
当直线l1斜率存在时，设为k，则l1：kx－y＋3＝0，圆心(－1，0)到l1的距离d＝eq \f(|－k＋3|,\r(k2＋1))＝eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))\s\up12(2))＝1，所以k＝eq \f(4,3)，则直线l1的方程为4x－3y＋9＝0.
综上，直线l1的方程为x＝0或4x－3y＋9＝0.
13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.
(1)若|AB|＝eq \f(3\r(7),2)，求CD的长；
(2)若线段CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．
解析 (1)直线AB的斜率显然存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝kx＋1.
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(k2＋1))))eq \s\up12(2)＝4，
所以|AB|＝2eq \r(\f(4k2＋3,k2＋1))，
由2eq \r(\f(4k2＋3,k2＋1))＝eq \f(3\r(7),2)，得k2＝15，
因为直线CD的方程为y＝－eq \f(1,k)x＋1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|CD|,2)))eq \s\up12(2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－\f(2,k)＋1－1,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))\s\up12(2)))))eq \s\up12(2)，
所以|CD|＝2eq \r(1－\f(4,k2＋1))＝2eq \r(1－\f(4,15＋1))＝eq \r(3).
(2)当直线AB的斜率不存在时，△ABE的面积S＝eq \f(1,2)×4×2＝4；
当直线AB的斜率存在时，设其斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋1，显然k≠0，
则直线CD的方程为y＝－eq \f(1,k)x＋1，
由eq \f(\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(,,,))－\f(1,k)·2－1＋1\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(,,,)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))\s\up12(2)＋1))<1，得k2>3，
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(k2＋1))))eq \s\up12(2)＝4，
所以|AB|＝2eq \r(\f(4k2＋3,k2＋1))，
易知E到直线AB的距离即M到AB的距离，设为d，
则d＝eq \f(|2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \f(|2k|,\r(k2＋1))，
所以△ABE的面积S＝eq \f(1,2)|AB|·d＝2eq \r(\f(（4k2＋3）k2,（k2＋1）2))，
令k2＋1＝t>4，则S＝2eq \r(\f(（4t－1）（t－1）,t2))＝2eq \r(\f(1,t2)－\f(5,t)＋4)＝2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－\f(5,2)))\s\up12(2)－\f(9,4))，易知eq \f(1,t)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))，所以S∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),2)，4)).
综上，△ABE面积的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),2)，4)).
14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．
解析 (1)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
所以圆C的圆心坐标为(－1，2)．
又圆C与y轴相切，所以eq \r(5－m)＝1，即m＝4，故圆C的半径为1.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1，|PO|2＝x2＋y2.
由于|PM|＝2|PO|，则(x＋1)2＋(y－2)2－1＝4(x2＋y2)，整理得点P的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(17,9).
15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)当切线PA的长度为2eq \r(3)时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
(3)求线段AB长度的最小值．
解析 由题意知，圆M的半径r＝2，M(0，4)，设P(2b，b)．
(1)∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP＝90°，
∴|MP|＝eq \r(（0－2b）2＋（4－b）2)＝eq \r(|AM|2＋|AP|2)＝eq \r(22＋（2\r(3)）2)＝4，
解得b＝0或eq \f(8,5)，
∴点P的坐标为(0，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)，\f(8,5))).
(2)圆N过定点(0，4)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).理由如下：∵∠MAP＝90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为(x－b)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(b＋4,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4b2＋（b－4）2,4)，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－4＝0，,x2＋y2－4y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5).))
∴圆N过定点(0，4)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).
(3)由(2)得圆N的方程为(x－b)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(b＋4,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4b2＋（b－4）2,4)，
即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0，①
又圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0，②
②－①，得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，
∴点M到直线AB的距离d＝eq \f(4,\r(5b2－8b＋16))，
∴|AB|＝2eq \r(4－d2)＝4eq \r(1－\f(4,5b2－8b＋16))＝
4eq \r(1－\f(4,5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(4,5)))\s\up12(2)＋\f(64,5)))，
∴当b＝eq \f(4,5)时，|AB|有最小值，为eq \r(11).
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