高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.1 数列同步训练题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.1 数列同步训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(四)　数列
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的(　　)
A．第10项　　B．第11项　　C．第12项　　D．第21项
B　[观察可知该数列的通项公式为an＝(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B．]
2．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为(　　)
A．a6　　B．a7　　C．a8　　D．a9
B　[∵3a3＝4a4，∴3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，
∴a3＝－4d，∴an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d．
∴a7＝0，故选B．]
3．在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于(　　)
A．8 B．－8
C．±8 D．以上选项都不对
A　[∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，且a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0(q为公比)，∴a4＝8．]
4．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝(　　)
A．1　　B．9　　C．10　　D．55
A　[a10＝S10－S9．由条件知S1＋S9＝S10．
∴a10＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A．]
5．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．n2＋n
A　[设公差为d，则a1(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，把a1＝2代入可解得d＝．∴an＝2＋(n－1)×＝n＋．∴Sn＝＝n2＋．故选A．]
6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第18项为(　　)
A．200　　B．162　　C．144　　D．128
B　[偶数项分别为2，8，18，32，50，
即2×1，2×4，2×9，2×16，2×25，
即偶数项对应的通项公式为a2n＝2n2， 则数列的第18项为第9个偶数， 即a18＝a2×9＝2×92＝2×81＝162，故选B．]
7．已知数列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n＋1，则a2 020＝(　　)
A．2 021 B．2 018
C．2 019 D．2 020
C　[∵an＋1＋an＝2n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝－(an－n)，
即数列{an－n}是以1为首项，－1为公比的等比数列，
∴an－n＝(－1)n－1，∴an＝n＋(－1)n－1，
∴a2 020＝2 020－1＝2 019．]
8．已知等差数列的公差不为零，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等比数列，则＝(　　)
A．3　　B．6　　C．9　　D．12
C　[由题意，知S3，S9，S27成等比数列，所以S ＝ S3 ×S27 ，即＝×，
整理得81a ＝ 3a2 ×27a14 ，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，解得d＝2a1，
所以＝÷＝＝＝＝9，故选C．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，下列数列中一定是等比数列的有(　　)
A． B．{anan＋1}
C． D．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
AB　[由数列{an}为等比数列可知，＝q(q≠0)，
对于A， ＝ q2，故A正确；对于B，＝＝q2≠0，故B正确；对于C，lg an－lg an－1＝lg＝lg q，为等差数列，但是不一定为常数，即不一定为等比数列，故C错误；对于D，若an＝(－1)n为等比数列，公比为－1，则Sn有可能为0，不一定成等比数列，故D错误．故选AB．]
10．设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
ABD　[由{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，
则a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6＝0，a8＝S8－S7<0，a7＋a8＝S8－S6<0，则数列{an}为递减数列，即选项A，B正确；
由S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)<0，即S9 由a1>a2>…>a6＞a7＝0>a8>a9>…，可得S6与S7均为Sn的最大值，即选项D正确，故选ABD．]
11．已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为(　　)
A．2　　B．3　　C．4　　D．14
ACD　[由题意可得＝＝＝，则＝＝＝＝3＋，由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n的可能取值有2，4，14．故选ACD．]
12．在公比q为整数的等比数列中，Sn是数列的前n项和，若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　)
A．q＝2
B．数列是等比数列
C．S8＝510
D．数列是公差为2的等差数列
ABC　[因为数列为等比数列，又a1·a4＝32，所以a2·a3＝32，又a2＋a3＝12，
所以 或又公比q为整数，则
即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2，
对于选项A，由上可得q＝2，即选项A正确；
对于选项B，Sn＋2＝2n＋1，＝＝2，则数列是等比数列，即选项B正确；
对于选项C，S8＝29－2＝510，即选项C正确；
对于选项D，lg an＋1－lg an＝(n＋1)lg 2－nlg 2＝lg 2，即数列是公差为lg 2的等差数列，即选项D错误．故选ABC．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝________．
16　[∵各项均不为0的等差数列{an}满足2a3－a＋2a11＝0，∴4a7－a＝0，∴a7＝4，b1 ·b13 ＝ b ＝ a ＝ 16．]
14．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________．
768　[由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768．]
15．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．
　[设第n天织布的尺数为an，可知数列{an}为等差数列，设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则a1＝5，an＝1，Sn＝90，
则Sn＝＝3n＝90，解得n＝30，∴a30＝a1＋29d＝5＋29d＝1，解得d＝－，因此，每天比前一天少织布的尺数为．]
16．已知数列{an}满足a1＝21，an＋1＝an＋2n，则a4＝________，数列的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
33　　[因为an＋1＝an＋2n，所以an＋1－an＝2n，从而an－an－1＝2(n－1)(n≥2)．
所以a4－a3＝2×3＝6，a3－a2＝2×2＝4，a2－a1＝2×1＝2，a1＝21，∴a4＝6＋4＋2＋21＝33．
an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＝2×[1＋2＋…＋(n－1)]＝2×＝n2－n．
而a1＝21，所以an＝n2－n＋21，则＝＝n＋－1，
因为f(n)＝n＋－1在(0，4]递减，在[5，＋∞)递增，
当n＝4时，＝＝8.25，
当n＝5时，＝＝8.2，
所以n＝5时取得最小值，最小值为．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足an＝log4bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
[解]　(1)设an＝a1＋(n－1)d，
则解得a1＝1，d＝2．
所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．
(2)依题意得bn＝4an＝42n－1，
因为＝＝16，
所以{bn}是首项为b1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{bn}的前n项和Tn＝＝(16n－1)．
18．(本小题满分12分)已知正项数列的前n项和为Sn，且Sn＝2．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列是等差数列．
[解]　(1)由已知条件得：a1＝2，∴a1＝1．
又有a1＋a2＝2，即a－2a2－3＝0．解得a2＝－1(舍)或a2＝3．
(2)证明：由Sn＝2得
n≥2时，Sn－1＝2，
∴Sn－Sn－1＝
＝，
即4an＝a－a＋2an－2an－1，∴a－a－2an－2an－1＝0，∴＝0，
∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．
19．(本小题满分12分)已知数列{an}，{bn}满足an＋1－an＝bn，为等比数列，且a1＝2，a2＝4，a3＝10．
(1)试判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(2)求an．
[解]　(1)数列{bn}不是等比数列．
理由如下：
由an＋1－an＝bn，且a1＝2，a2＝4，a3＝10得：
b1＝a2－a1＝2，b2＝a3－a2＝6，
又因为数列{bn＋2}为等比数列，
所以可知其首项为4，公比为2． 所以b3＋2＝4×22＝16，
∴b3＝14，显然b＝36≠b1b3＝28，
故数列{bn}不是等比数列．
(2)结合(1)知，等比数列{bn＋2}的首项为4，公比为2，
故bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－2，
因为an＋1－an＝bn，∴an－an－1＝2n－2(n≥2)．
令n＝2，…，(n－1)，
累加得an－2＝－2(n－1)，
∴an＝－2n＋2
＝－2n＋2＝2n＋1－2n，又a1＝2满足上式，
∴an＝2n＋1－2n．
20．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋kn＋k．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
[解]　(1)当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2＋kn＋k－22－k－k
＝4n＋k－2，
当n＝1时，a1＝S1＝2k＋2，
又数列{an}为等差数列，故当n＝1时，a1＝2k＋2＝2＋k，解得k＝0．故an＝4n－2．
(2)由(1)可知，bn＝＝，
故Tn＝
＝＝ ．
故数列{bn}的前n项和Tn＝．
21．(本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
[解]　(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意知q＞0．由已知，得消去d，整理得q4－2q2－8＝0．因为q＞0，解得q＝2，所以d＝2．
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*．
(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，则
Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，
上述两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，
所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*．
22．(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N＋，求{bn}的前n项和Tn．
[解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得

解得
因此an＝2n－1，n∈N＋．
(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N＋，
当n＝1时，＝；
当n≥2时，＝1－－＝．
所以＝，n∈N＋．
由(1)知an＝2n－1，n∈N＋，
所以bn＝，n∈N＋．
所以Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋．
两式相减，得
Tn＝＋－
＝－－，
所以Tn＝3－．