新高考数学一轮复习 函数专项重难点突破专题15 函数零点问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2021·天津·统考高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 最多有2个根，所以 SKIPIF 1 < 0 至少有4个根，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
（1） SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有4个零点，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有5个零点，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有6个零点，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有1个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 有2个零点；
所以若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有1个零点.
综上，要使 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有6个零点，则应满足
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则可解得a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 有且仅有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有3个根，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有3个根，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
结合余弦函数 SKIPIF 1 < 0 的图像性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023·天津·统考高考真题）若函数 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 成立；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若方程有一根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
若方程有一根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 成立．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 不成立；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若方程有一根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若方程有一根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 不成立；
综上，
当 SKIPIF 1 < 0 时，零点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，零点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，零点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，零点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，零点为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以，当函数有两个零点时， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·天津·统考高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 ，对任意实数x，记 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 至少有3个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
要使得函数 SKIPIF 1 < 0 至少有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则函数 SKIPIF 1 < 0 至少有一个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
此时函数 SKIPIF 1 < 0 只有两个零点，不合乎题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
要使得函数 SKIPIF 1 < 0 至少有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ，合乎题意；
④当 SKIPIF 1 < 0 时，设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
要使得函数 SKIPIF 1 < 0 至少有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰 有2个零点；
②存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有1个零点；
③存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点；
④存在正数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【解析】对于①，当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
对于②，考查直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
若函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有一个交点，所以， SKIPIF 1 < 0 ，此不等式无解，
因此，不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
6．（2022·北京·统考高考真题）若函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____； SKIPIF 1 < 0 __．
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：1， SKIPIF 1 < 0
考点一 函数零点的定义
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为（ ）
A．2，3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为2，3.故选：A
2．若 SKIPIF 1 < 0 是二次函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．3B．15C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 是二次函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，
故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
3．关于 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意得 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两不等实根，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
4．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
5．函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点，则实数m的值为（ ）
A．9B．12C．0或9D．0或12
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点，故 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
二、填空题
6．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为________．
【解析】依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
7．若函数 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的两个解为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
三、解答题
8．求下列函数的零点．
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，函数有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数有两个零点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
考点二 零点存在定理判断零点所在区间
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，故函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在定理可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2．已知方程 SKIPIF 1 < 0 的解在 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．2C．1D．0
【解析】令函数 SKIPIF 1 < 0 ，显然函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 的解在 SKIPIF 1 < 0 内，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以由零点存在性定理知， SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
4．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点必属于区间（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】解法一：二分法
由已知可求得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
对于A项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A项错误；
对于B项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B项错误；
对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C项错误；
对于D项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D项正确.
解法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点为2，故D正确.
故选：D.
5．已知 SKIPIF 1 < 0 唯一的零点同时在区间 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 内，下列说法错误的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有零点B．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内无零点
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有零点D．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内无零点
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 唯一的零点同时在区间 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 内，
则该函数唯一的零点同时在区间 SKIPIF 1 < 0 内，可知B，C，D正确，
对于A，函数 SKIPIF 1 < 0 唯一的零点可能在 SKIPIF 1 < 0 内，也可能在 SKIPIF 1 < 0 内，故A错误.
故选：A
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若方程 SKIPIF 1 < 0 的实根在区间 SKIPIF 1 < 0 上，则k的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ，综上k的最大值是1.故选：C.
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均为减函数，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在定理可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点在区间 SKIPIF 1 < 0 内.故选：A.
二、填空题
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间（取整数）是_________．
【解析】由题意，得 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，易知函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 均为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以由零点存在定理可知，函数零点所在区间为 SKIPIF 1 < 0 .
考点三 求函数零点个数
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解析】求函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数，
转化为方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的根的个数.
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数为3.故选：A.
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【解析】 SKIPIF 1 < 0 定义域为R， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 恒成立，无零点，故 SKIPIF 1 < 0 时，也不存在零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，也时最大值， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故由零点存在性定理知，在 SKIPIF 1 < 0 上存在一零点，结合函数为奇函数，在 SKIPIF 1 < 0 上存在一零点，综上， SKIPIF 1 < 0 一共有3个零点.故选：B
3．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】由题意可知：要研究函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数，
只需研究函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图像交点个数即可.画出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图像，
因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
可知当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时，图像各有一个交点， SKIPIF 1 < 0 时，必有一个交点，
且交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 及第二象限的点C.

故选：D
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】本题转化为函数 SKIPIF 1 < 0 和函数 SKIPIF 1 < 0 的交点个数,做出两个函数的图像,如图,
根据图像可得两个函数交点的个数为 SKIPIF 1 < 0 个,所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 个.故选:C.
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以不存在零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，也不存在零点，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为0.故选：A.
6．设函数 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，①
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.故方程共有2个解．故选：B
7．方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 实根的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象如下所示：

由图可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个交点，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 实根有 SKIPIF 1 < 0 个.故选：C
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当2x- SKIPIF 1 < 0 =kπ，k∈Z时，x= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，k∈Z，所以当k=0时，x= SKIPIF 1 < 0 ，当k=1时，x= SKIPIF 1 < 0 ，
所以f(x)在区间(0,π)上有2个零点.故选：B.
9．已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若将方程 SKIPIF 1 < 0 实数解的个数记为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的周期为2，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：

当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有2个实数解，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有4个实数解，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 是一个首项为2，公差为2的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D
二、填空题
10．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数是__________．
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数是2个
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的实根个数为__________．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
分别作出它们的图象如下图所示，

由图可知，有两个交点，所以方程 SKIPIF 1 < 0 的实根个数为2．
12．定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 有__________个零点．
【解析】因为定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以4为周期的周期函数，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 交点的个数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象共有7个交点，
所以 SKIPIF 1 < 0 有7个零点，
故答案为：7

考点四 根据函数零点求参
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由零点存在定理可知，若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恰有两个零点，则正数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 成立，因为函数 SKIPIF 1 < 0 恰有两个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求，
当 SKIPIF 1 < 0 时，只需满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （e为自然对数的底数，a∈R）有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴二次函数开口向下且在 SKIPIF 1 < 0 内抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴只有一个交点，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内只有一个零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的零点，由已知得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，只有函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点时，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，综上所述，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选： SKIPIF 1 < 0 .
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 有3个不同的解，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数的大致图象，
所以 SKIPIF 1 < 0 有3个不同的解等价于 SKIPIF 1 < 0 有两个解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴根据根的分布，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．

5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 有五个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故问题转为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共有四个零点，
画出函数图象如下可知：则 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D

6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若方程 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，该直线恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的实数根
如图作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
结合函数图象，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的公共点，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根，令 SKIPIF 1 < 0 ，
实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
7．若函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点0，不符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象，如图1， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上各有一个零点，符合题意；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象，如图2， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有零点．
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，此时必须满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A
二、多选题
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的零点即函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象交点的横坐标，如下图所示，

由图象可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，A错B对；
由图可知， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以等号取不到，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D对,
故选：BCD．
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 且方程 SKIPIF 1 < 0 的6个解分别为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，画出 SKIPIF 1 < 0 的图象，如下：
显然 SKIPIF 1 < 0 有三个根，分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 有三个根，分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
A选项，数形结合得到 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
B选项，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C选项，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：CD
三、填空题
10．设函数 SKIPIF 1 < 0 在区间[ SKIPIF 1 < 0 上有零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间[ SKIPIF 1 < 0 ，3]上有零点等价于直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有交点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点；故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，则整数t的值为______．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，由零点存在性定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故整数 SKIPIF 1 < 0 .
12．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有一个零点，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
【解析】如图所示，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点，即函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象的交点，
由图象可知，两函数的图象只有一个交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有一个零点，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .

13．方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有解，则实数a的取值范围为__________．
【解析】考查 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 开口向上，
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有解，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
14．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的零点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 到原点距离的平方，
则 SKIPIF 1 < 0 有解，即 SKIPIF 1 < 0 有解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递增函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有零点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
16．若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【解析】方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，等价于函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有交点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又因为 SKIPIF 1 < 0 有3个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数b的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若存在三个不同实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【解析】作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像如下图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 ，由图像可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 .