人教版数学九年级上册 期末综合素质评价试卷

这是一份人教版数学九年级上册 期末综合素质评价试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列事件是必然事件的是( )
A．明年10月有31天
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡
D．在足球赛中，弱队战胜强队
2.（2023潍坊)下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3.（2023北京)若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A．－9 B．－eq \f(9,4) C.eq \f(9,4) D．9
4.（2024苏州月考)如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
(第4题)
5.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是( )
A．16(1＋x)2＝23 B．23(1－x)2＝16
C．23－23(1－x)2＝16 D．23(1－2x)＝16
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，连接AB1，当A1，B1，A三点共线时，AA1的值为( )
(第6题) (第7题)
A．12 B．8 eq \r(3) C．6 eq \r(3) D．8＋4 eq \r(3)
7．如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法正确的是( )
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线的顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－6))
C．A，B两点之间的距离为5
D．当x＜－1时，y的值随x值的增大而增大
8.（2023青岛)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°.若⊙O的半径为5，则eq \(DC,\s\up8(︵))的长为( )
A.eq \f(13,3)π B.eq \f(10,9)π C．π D.eq \f(1,2)π
(第8题) (第10题)
9．小婷同学在研究二次函数y＝－(x－h)2－h＋1(h为常数)的性质时得到以下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝－x＋1上；
②当－2③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若|x1－h|>|x2－h|，则y1④存在一个h的值，使得函数图象与x轴的两个交点和函数图象的顶点构成等腰直角三角形．
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝eq \r(2)，P为弦CD的中点．当C，D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是( )
A．8 B．6 C．4 D．3
(第13题) (第14题)
(第15题) (第16题)
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的解为________．
12．小明做试验：在平整的桌面上摆放一张30 cm×30 cm的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上(若大米落在白纸外，则重新试验)，统计落在圆内的米粒数a、落在正方形白纸上的米粒数b.当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率eq \f(a,b)会在常数________(结果保留π)附近摆动．
13．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为y＝x2，点P的坐标是(2，4)．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为(0，3)，则此时抛物线的解析式为________________．
14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，连接OE，并以OE为边构造正五边形OEGHK，则∠DEG＝________．
15．商场卫生间旋转门锁的局部图如图①所示，图②是其工作简化图，其中OD＝3.5 cm，在自然状态下，把手竖直向下(把手底端到达A处)．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5 cm，则OB的长度是________cm.当把手旋转到OC⊥OB时，此时CH⊥EF，则点C与点B的高度差BH是________cm.
16．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，与BC相交于点G，连接BD，CD.下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是________．
三、解答题(本题有7小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)
17．(8分)解下列方程：
(1)x(x－3)＝6－2x. (2)x2－10x＋16＝0.
18．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m－2＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为x1，x2，且3x1x2＝1－x1－x2，求m的值．
19．(8分)（2024无锡月考)为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A.宜兴竹海，B.宜兴善卷洞，C.阖闾城遗址博物馆，D.锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
(1)小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是________．
(2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
20．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为点E，F，点E落在BA上，连接AF.
(1)若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
(2)若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
21．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是eq \(DF,\s\up8(︵))的中点．
(1)求证：BC是半圆O的切线；
(2)若CE＝eq \r(2)，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
22．(10分)（2023苏州)如图，二次函数y＝x2－6x＋8的图象与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T.
(1)求点A，B的坐标；
(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点(3，2)，求PM长的取值范围．
23.(12分)某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，从箱外向箱内投弹珠，并建立了如图所示的平面直角坐标系(正方形ABCD为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行)，某同学将弹珠从点P(0，3)处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L：y＝－x2＋bx＋c(单位长度为1 m)的一部分，且抛物线经过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(15,4)))，已知OA＝AB＝AD＝2 m.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子；
(3)若在自变量x的值满足m≤x≤m＋eq \f(1,4)(m>0)的情况下，与其对应的函数值y的最大值为3.5，直接写出m的值；
(4)若弹珠投入箱子后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3 m，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
答案
一、1.A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.C 9.D
10．D 解析：如图，作OQ⊥AB于点Q，连接OP，OD，OC.
∵CD＝eq \r(2)，OC＝OD＝1，
∴OC2＋OD2＝CD2.
∴△OCD为等腰直角三角形．
由y＝－x－2得点A(－2，0)，B(0，－2)，
∴OA＝OB＝2.
∴△OAB为等腰直角三角形．∴AB＝2 eq \r(2).∴OQ＝eq \r(2).
由题意得，当P，O，Q三点共线时，S△ABP最大．
∵P为等腰直角三角形OCD斜边DC的中点，
∴OP＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(\r(2),2).
∴PQ＝OP＋OQ＝eq \f(3 \r(2),2).
∴S△ABP＝eq \f(1,2)AB·PQ＝3.故选D.
二、11.x1＝3，x2＝－7 12.eq \f(π,4) 13. y＝(x＋2)2－1
14．48°
15．12.5 ; 15.5
解析：如图，过B作BM⊥OA于点M，延长CH，AO交于点G，则∠BMO＝90°，易知CG⊥OA.
由题意可得AM＝0.5 cm，
BM＝OD＝3.5 cm.
设OB＝OA＝x cm.
在Rt△BOM中，OM2＋BM2＝OB2，
∴(x－0.5)2＋3.52＝x2，解得x＝12.5.
∴OB＝12.5 cm＝OA.
∴易得BD＝OM＝OA－AM＝12.5－0.5＝12 cm.
∵CG⊥AG，OC⊥OB，∴∠CGO＝90°，∠COB＝90°.
∴∠BOM＝90°－∠COG＝∠GCO.
又∵OB＝OC，∠CGO＝90°＝∠BMO，
∴△BOM≌△OCG(AAS)．
∴OG＝BM＝3.5 cm.
∴易得DH＝OG＝3.5 cm.
∴BH＝BD＋DH＝12＋3.5＝15.5(cm)．
16．①②③④ 解析：①∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC.∴∠BAD＝∠CAD.故结论①正确．
②∵点E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝eq \f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq \f(1,2)∠ACB.
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝180°－60°＝120°.
∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝180°－eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝120°.故结论②正确．
③如图，连接OD，由题意知BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
易知∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC＋∠EBC＝∠EBA＋∠EAB.
∴∠DBE＝∠DEB.
∴DB＝DE.故结论③正确．
④∵∠BAD＝∠CAD，∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(DC,\s\up8(︵)).
∴OD垂直平分BC.
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，即G为OD与BC的交点．
∴∠BGD＝90°，即BG⊥GD.故结论④正确．
三、17.解：(1)原方程可化为x(x－3)＝－2(x－3)，x(x－3)＋2(x－3)＝0，(x－3)(x＋2)＝0，
∴x－3＝0或x＋2＝0.
∴x1＝3，x2＝－2.
(2)原方程可化为x2－10x＋25＝9，(x－5)2＝9，
∴x－5＝±3.∴x1＝8，x2＝2.
18．(1)证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9>0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝2m＋1，x1x2＝m－2，由3x1x2＝1－x1－x2，得x1＋x2＋3x1x2＝1，
∴2m＋1＋3(m－2)＝1，解得m＝eq \f(6,5).
19．解：(1)eq \f(1,4)
(2)画树状图如图所示．
由树状图可知，一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，
∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为eq \f(2,16)＝eq \f(1,8).
20．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－40°＝50°.
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠FBE＝∠ABC＝50°，AB＝BF.
∴∠BAF＝∠BFA＝eq \f(1,2)(180°－∠ABF)＝eq \f(1,2)(180°－50°)＝65°.
(2)∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(82＋62)＝10.
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠BEF＝∠C＝90°，BE＝BC＝6，EF＝AC＝8.
∴AE＝AB－BE＝10－6＝4.
∵∠AEF＝180°－∠BEF＝180°－90°＝90°，
∴在Rt△AEF中，AF＝eq \r(AE2＋EF2)＝eq \r(42＋82)＝4 eq \r(5).
21．(1)证明：连接OE，OD，如图．
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD＝45°.
∴∠AOD＝90°.∴∠DOF＝90°.
∵点E是eq \(DF,\s\up8(︵))的中点，∴eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵)).
∴∠DOE＝∠EOF＝eq \f(1,2)∠DOF＝45°.
∴∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°.
∴OE⊥BC.
∵OE是半圆O的半径，
∴BC是半圆O的切线．
(2)解：∵∠EOF＝∠B＝45°，∴OE＝BE.
设BE＝OE＝OA＝x，则BC＝eq \r(2)＋x，
∵OE⊥BC，∴OB＝eq \r(2)x.
∴AB＝x＋eq \r(2)x.易知AB＝eq \r(2)BC，
∴x＋eq \r(2)x＝eq \r(2)(eq \r(2)＋x)，解得x＝2.
即BE＝OE＝2.
∴S阴影＝S△OEB－S扇形OEF＝eq \f(1,2)×2×2－eq \f(45π×22,360)＝2－eq \f(π,2).
22．解：(1)令y＝0，则x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∴结合题意知，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(4，0)．
(2)∵y＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，
∴对称轴为直线x＝3.
设P(m，m2－6m＋8)．
∵PM⊥l，∴M(3，m2－6m＋8)，
∴PM＝m－3.
如图①，连接MT，则MT＝r，MT⊥PT，
∴PT2＝PM2－MT2＝(m－3)2－r2，
即以切线长PT为边长的正方形的面积为(m－3)2－r2.
∵A(2，0)，B(4，0)，∴AB＝4－2＝2.
如图①，过点P作PH⊥x轴，垂足为点H.
∴PH＝m2－6m＋8.
∴S△PAB＝eq \f(1,2)AB·PH＝m2－6m＋8.
由题意得(m－3)2－r2＝m2－6m＋8，
解得r＝±1.
∵r＞0，∴r＝1.
假设⊙M经过点N(3，2)，则有两种情况：
①如图①，当点M在点N的上方时，M(3，3)，
∴m2－6m＋8＝3，
解得m＝5或m＝1.
∵m＞4，
∴m＝5.
∴PM＝5－3＝2.
②如图②，当点M在点N的下方时，M(3，1)，
∴m2－6m＋8＝1，解得m＝3±eq \r(2).
∵m＞4，∴m＝3＋eq \r(2).
∴PM＝(3＋eq \r(2))－3＝eq \r(2).
综上所述，PM＝2或eq \r(2)，
∴当⊙M不经过点N(3，2)时，PM长的取值范围为1＜PM＜eq \r(2)或eq \r(2)＜PM＜2或PM＞2.
23．解：(1)将(0，3)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(15,4)))的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝c，,\f(15,4)＝－\f(1,4)＋\f(1,2)b＋c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝3.))
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．
(2)∵OA＝AB＝2 m，
∴OB＝4 m.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AD＝2 m.
易知点D的横坐标是2，点C的横坐标是4，令y＝2，则－x2＋2x＋3＝2，解得x1＝1＋eq \r(2)，x2＝1－eq \r(2)(不合题意，舍去)．
∵2<1＋eq \r(2)<4，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子．
(3)m的值为eq \f(2＋\r(2),2)或eq \f(3－2 \r(2),4).
(4)弹珠能弹出箱子．理由：当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1(不合题意，舍去)，
∴抛物线L与x轴正半轴的交点为(3，0)．
根据题意设抛物线M的解析式为y′＝－(x－h)2＋3.把点(3，0)的坐标代入y′＝－(x－h)2＋3，解得h＝3＋eq \r(3)或3－eq \r(3).
∵抛物线M的对称轴在直线x＝3的右侧，
∴h＝3－eq \r(3)不符合题意．
∴h＝3＋eq \r(3).
∴抛物线M的解析式为y′＝－(x－3－eq \r(3))2＋3.
当x＝4时，y′＝2eq \r(3)－1.
∵2eq \r(3)－1>2，
∴弹珠能弹出箱子．