2023-2024学年陕西省西安交大附中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

展开

这是一份2023-2024学年陕西省西安交大附中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若xA. x3>y3B. x−2>y−2C. −x>−yD. x−y>0
3.在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是( )
A. AB=ACB. AC⊥BDC. AB=ADD. AC=BD
4.使分式x2−9x−3有意义的x的取值范围为( )
A. x≠−3B. x≠3C. x≠−3或x≠3D. x为任意数
5.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b≤4的解集是( )
A. x≥2
B. x≤2
C. x≥4
D. x≥0
6.2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习.现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为( )
A. 540x−540x+15=6B. 540x+15−540x=6
C. 540x−15−540x=6D. 540x−540x−15=6
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB于点D，若CE=5，BC=6，则CD的长是( )
A. 125
B. 3
C. 2 3
D. 4.8
8.关于x的一元二次方程x2−4x+2m=0有不相等的两个实数根，则m的值可能是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.已知m2−2m=1，n2−2n=1，则m2−n2+4n的值是( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
10.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，G为AD边上的一点，将矩形沿BG翻折使得点A落在EF上，点A对应点为点A′.若AB=6，则四边形ABA′G的面积为( )
A. 9
B. 12 3
C. 15
D. 8 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：mn2−4m=______.
12.将边长相等的正八边形和正方形按如图位置摆放，AB为正八边形和正方形的一条公共边，点A、E分别为正八边形和正方形的一个顶点，连接DE，则∠ADE的度数为______.
13.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，∠B+∠BCD=120∘；点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，则∠FEG=______.
14.若关于x的分式方程2x−1x−3+m3−x=1(m为常数)有增根，则m=______.
15.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB⊥AC，AB=6，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时△CDE恰为等腰直角三角形.则重叠部分△AEC的面积是______.
16.如图，在等边△ABC中，AB=6，点P、Q是直线BC的两动点，PQ=2，以PO内边向下作等边△PQD，连接AP、AD厕AP+AD的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)解方程：x(x−5)+x−5=0.
(2)解方程：−2x+2=1x2−4.
18.(本小题5分)
解不等式组：−x−4<2x+5x−23−1≤−x2.
19.(本小题5分)
先化简，再求值：(2xx2−9−1x+3)+x−1x−3，其中x= 2+1.
20.(本小题5分)
如图，请用尺规作图法在矩形纸片ABCD内求作点P，使得∠PAB=45∘，且PB=PC.(保留作图痕迹，不写作法)
21.(本小题5分)
空气炸锅可以加工制作多种美味食物，深受广大消费者的喜爱，某品牌空气炸锅的进价为280元/台，商场以350元/台的价格出售，节日活动期间，商场为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该品牌空气炸锅最多可降价多少元？
22.(本小题7分)
如图，已知矩形ABCD，点E，F分别在CB的延长线和AD的延长线与且BE=DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当AC=12，EF=16，EC=10时.则AB的长为多少？
23.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(3,0)，点B.(0,4)，∠OAB的平分线交y轴于点M.
(1)求直线AM的函数解析式.
(2)在直线AM上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以AB为边的平行四边形？若存在，请写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
24.(本小题10分)
(1)如图1，点C是线段AB上的点，在AB上方作等边△CDE，连接AD，BE.若AD=4，∠A=∠B=60∘，则BC的长是______.
(2)如图2，在正方形ABCD中，AB=5，点E是边CD上一点，连接AE，将边BC绕点C顺时针旋转，点B的对应点F落在AE上，若∠AFB=90∘，则AF的长为多少？
(3)如图3，在矩形ABCD中，AB=2 3,BC=6，点E为BC上一点，BE=13BC，将△ABE绕着点A逆时针旋转，得到△AFG，点E的对应点为G，连接CG，取CG的中点M，连接AM.若在旋转过程中，点M恰好落在AD边上，求此时△AGM的面积.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：若x若x若x−y，则C符合题意；
若x故选：C.
利用不等式的性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】D
【解析】解：A、▱ABCD中，AB=AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵▱ABCD中，AB=AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵▱ABCD中，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D.
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题可知，
x−3≠0，
解得x≠3.
故选：B.
根据分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵从图象可知：k<0，直线与y轴交点的坐标为(0,4)，
∴不等式kx+b≤4的解集是x≥0，
故选：D.
根据图形得出k<0和直线与y轴交点的坐标为(0,4)，即可得出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设A型客车每辆坐x人，则B型客车每辆坐(x+15)人，
依题意得：540x−540x+15=6.
故选：A.
根据租车数量=总人数÷每辆车乘坐的人数，结合单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=90∘，CE是斜边AB上的中线，
∴AB=2CE=10，
∵BC=6，
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8，
∵CD⊥AB，
∴△ABC的面积=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴AB⋅CD=AC⋅BC，
∴10CD=6×8，
解得：CD=4.8，
故选：D.
先利用直角三角形斜边上的中线性质可得AB=10，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，最后利用面积法进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+2m=0有不相等的两个实数根，
∴Δ=(−4)2−4×2m>0，
解得m<2，
故选：A.
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ=16−8m>0，解出m的取值范围即可进行判断．
本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵m2−2m=1，n2−2n=1，
∴m2−2m−1=0，n2−2n−1=0，
∴m，n为一元二次方程x2−2x−1=0的解，
∴m+n=2，mn=−1，
∵m2−2m=1，n2−2n=1，
∴m2=2m+1，n2=2n+1，
∴m2−n2+4n=2m+2n=2(m+n)=4，
故选：C.
把m2−2m=1，n2−2n=1变形，转化为关于x2−2x−1=0的解，解答即可．
本题考查了正式加减，能把m2−n2+4n=2(m+n)是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，连接AA′，
在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，
∴EF⊥AB，AE=BE，
∴EF垂直平分AB，
∴A′A=A′B，
由折叠可得AB=A′B，∠ABG=∠A′BG，△ABG≌△A′BG，
∴AB=BA′=AA′，
∴△ABA′是等边三角形，
∴∠ABA′=60∘，
∴∠ABG=12∠ABA′=30∘，
∴AG=12BG，
∵AB=6，
∴BG2=AB2+AG2，
∴BG2=62+14BG2，
解得：BG=4 3，
∴AG=2 3，
∴S△ABG=12×6×2 3=6 3，
∴S四边形ABA′G=2S△ABG=12 3，
故选：B.
连接AA′，根据翻折的性质，可得到△ABA′是等边三角形，可得到∠ABG=12∠ABA′=30∘，根据含30∘角的直角三角形的性质即可求解．
本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11.【答案】m(n+2)(n−2)
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．首先提公因式m，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】
解：原式=m(n2−4)
=m(n+2)(n−2).
故答案为m(n+2)(n−2).
12.【答案】67.5∘
【解析】解：∵正八边形的每个内角的度数为180∘−360∘÷8=135∘，
正方形的每个内角的度数为90∘，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=135∘−90∘=45∘，
∵AD=AE，
∴∠ADE=12(180∘−45∘)=67.5∘.
故答案为：67.5∘.
先求出正八边形的每个内角的度数，再根据角的和差求出∠DAE的度数，再根据等腰三角形的性质即可求得．
本题主要考多边形的内角与外角，灵活运用等腰三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】30∘
【解析】解：∵点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，FG是△ACB的中位线，
∴EG=12CD，EG//CD，FG=12AB，FG//AB，
∵AB=CD，
∴EG=FG，
∵EG//CD，
∴∠EGA=∠ACD，
∵FG//AB，
∴∠CFG=∠B，
∵∠AGF=∠CFG+∠ACB=∠B+∠ACB，
∴∠EGF=∠EGA+∠AGF=∠B+∠ACB+∠ACD=120∘，
∴∠GEF=∠EFG=12×(180∘−120∘)=30∘，
故答案为：30∘.
根据三角形中位线定理得到EG=12CD，EG//CD，FG=12AB，FG//AB，求得EG=FG，根据平行线的性质得到∠EGA=∠ACD，∠CFG=∠B，于是得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：去分母，得：2x−1−m=x−3，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程，可得：m=5.
故答案为：5.
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−3=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15.【答案】9
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AC，
∴CD=AB=6，CD//AB，
∴∠ACD=∠BAC=90∘，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=DE，∠DEC=90∘，
∴∠AEC=90∘，∠ECD=∠EDC=45∘，
∴∠ECA=∠ACD−∠ECD=45∘，
∴∠EAC=∠ECA=∠EDC=45∘，
∴AC=CD=6，AE=DE=CE，
∴S△ACD=12AC⋅CD=12×6×6=18，
∴S△AEC=12S△ACD=12×18=9，
故答案为：9.
由平行四边形的性质得CD=AB=6，CD//AB，则∠ACD=∠BAC=90∘，由CE=DE，∠DEC=90∘，得∠AEC=90∘，∠ECD=∠EDC=45∘，则∠EAC=∠ECA=∠EDC=45∘，所以AC=CD=6，AE=DE=CE，求得S△ACD=18，则S△AEC=12S△ACD=9，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明AC=CD=6，AE=DE=CE是解题的关键．
16.【答案】2 37
【解析】解：过D作DE⊥BC，以PE、DE为边作矩形DEPF，过A作AG⊥DF.
∴AH 3BH=3 3，
PE=12PQ=1，DE=GH= 3PE= 3.
设FG=PH=x，
则DG=EH=1−x.
∴AP+AD
= AH2+PH2+ AG2+DG2
= (3 3)2+x2+ (3 3+ 3)2+(1−x)2
= (3 3)2+x2+ (4 3)2+(1−x)2.
设Rt△PND的直角边ND=1.
设Rt△PAL的直角边PL=3 3，AL=x，
则斜边AP= (3 3)2+x2.
设Rt△AMD的直角边AM=4 3，MD=1−x，
则斜边AD= (4 3)2+(1−x)2.
只有P、A、D三点共线时，AP+AD最小．
∵△PLA∽△PND，
∴PLPN=ALND，
∴3 33 3+4 3=x1，
∴x=37.
∴PA+PD
= 27+(37)2+ 48+(47)2
=2 37.
故答案为：2 37.
过D作DE⊥BC，以PE、DE为边作矩形DEPF，过A作AG⊥DF.FG=PH=x，AP+AD= (3 3)2+x2+ (4 3)2+(1−x)2.设Rt△PND的直角边ND=1.只有P、A、D三点共线时，AP+AD最小．由△PLA∽△PND，得PLPN=ALND，再计算即可．
本题考查了等边三角形的性质，作等边三角形的高，以及利用勾股定理求最值，是解题关键．
17.【答案】解：(1)∵x(x−5)+x−5=0，
∴(x−5)(x+1)=0，
则x−5=0或x+1=0，
解得x1=5，x2=−1；
(2)两边都乘以(x+2)(x−2)，得：−2(x−2)=1，
解得x=32，
检验：当x=32时，(x+2)(x−2)=−74，
所以原分式方程的解为x=32.
【解析】(1)利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
(2)两边都乘以(x+2)(x−2)，化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程和分式方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18.【答案】解：由−x−4<2x+5得：x>−3，
由x−23−1≤−x2得：x≤2，
则不等式组的解集为−3【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(2xx2−9−1x+3)+x−1x−3
=[2x(x+3)(x−3)−x−3(x+3)(x−3)]+x−1x−3
=x+3(x+3)(x−3)+x−1x−3
=1x−3+x−1x−3
=xx−3，
当x= 2+1时，原式= 2+1 2+1−3= 2+1 2−2=( 2+1)( 2+2)( 2−2)( 2+2)=2+2 2+ 2+2−2=−2−3 22.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x= 2+1代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：如图，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点E，连接AE，再作线段BC的垂直平分线交AE于点P，
则点P即为所求．

【解析】结合矩形的性质、线段垂直平分线的性质，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点E，连接AE，再作线段BC的垂直平分线交AE于点P，则点P即为所求．
本题考查作图-复杂作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：设该品牌空气炸锅降价x元，
根据题意得：350−x−280≥280×20%，
解得：x≤14，
∴x的最大值为14.
答：该品牌空气炸锅最多可降价14元．
【解析】设该品牌空气炸锅降价x元，利用利润=售价-进价，结合利润率不低于20%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
(2)解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴CO=12AC=6，OE=12EF=8，
∵CE=10，
∴OE2+OC2=82+62=102=CE2，
∴∠COE=90∘，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∴12AC⋅EF=CE⋅AB，
∴AB=AC⋅EF2CE=12×162×10=485，
故AB的长为485.
【解析】(1)由矩形的性质可得AD//BC，AD=BC，可得AF=EC，可得结论；
(2)根据平行四边形的性质得到CO=12AC=6，OE=12EF=8，根据勾股定理的逆定理得到∠COE=90∘，推出四边形AECF是菱形，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)过点M作MN⊥AB于点N，
由点A、B的坐标得，OA=3，OB=4，AB=5，
∵∠OAB的平分线交y轴于点M，则MO=NM，OA=AN=3，
设OM=MN=x，则BM=4−x，则BN=AB−AN=2，
在Rt△BMN中，BM2=BN2+MN2，即(4−x)2=x2+22，
解得：x=32，即点M(0,32)，
由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为：y=−12x+32；
(2)存在，理由：
设点P(x,−12x+32)，点Q(m,0)，
当AP为对角线时，
由中点坐标公式得：4=−12x+32，
解得：x=−5，即点P(−5,4)；
当AQ为对角线时，
同理可得：4−12x+32=0，
解得：x=11，
即点P(11,−4)；
综上，点P(−5,4)或(11,−4).
【解析】(1)在Rt△BMN中，BM2=BN2+MN2，即(4−x)2=x2+22，求出点M(0,32)，即可求解；
(2)当AP为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当AQ为对角线时，同理可解．
本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到平行四边形的性质、角平分线的性质，分类求解是解题的关键．
24.【答案】4
【解析】解：(1)∵△CDE是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60∘，
∵∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠A+∠ADC，且∠A=60∘，
∴∠BCE=∠A，
∵∠A=∠B=60∘，
∴△ACD≌△BEC(AAS)，
∴BC=AD=4.
故答案为：4.
(2)过C作CG⊥BF于点G，则∠CGB=90∘，
∵CF=CB，
∴BG=FG=12BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90∘，
∴∠ABF+∠CBF=90∘，
∵∠BCG+∠CBF=90∘，
∴∠ABF=∠CBG，
又∵AB=CB，∠AFB=∠CGB=90∘，
∴△ABF≌△BCG(AAS)，
∴AF=BG，BF=CG，
设BG=x，则BC=CG=2x，
在Rt△BCG中，BG2+CG2=BC2，即x2+(2x)2=52，
解得x= 5，
∴AF=BG= 5.
(3)∵BC=6，
∴BE=13BC=2，
∵AB=2 3，
∴AE= AB2+BE2=4，
∴BE=12AE，
∴∠BAE=30∘
如图，取AC中点O，连接OM，
此时OM=12AG=2，
∵O到AD的距离为12CD= 3，且2> 3，
∴符合条件的M有两个．
①如图所示，当M靠近D点时，
∵∠AFM=∠CDM=90∘，∠AMF=∠CMD，AF=CD=2 3，
∴△AFM≌△CDM(AAS)，
∴FM=DM，AM=CM，
设FM=DM=x，则AM=6−x，
在Rt△CDM中，x2+(2 3)2=(6−x)2，
记得的x=2，即FM=2，
∴GM=GF+FM=4，
∴S△AGM=12GM⋅AG=4 3；
②如图所示，当M靠近A点时，
由前述分析可知M1和M2关于AD中点对称，
∴AM=2，
∴S△AGM=12AM⋅AF=2 3；
综上：△AGM的面积为4 3或2 3.
(1)利用“一线三等角”全等模型证△ACD≌△BEC即可得解；
(2)由CB=CF可以联想作“三线合一”，从而构造出“一线三等角”的全等模型：△ABF≌△BCG，得到边的关系，再利用勾股定理求解即可；
(3)取AC中点O，连接OM，可以得出符合M的点有两个，再画出草图求解计算即可．
本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．