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2023-2024学年陕西省西安交大附中七年级（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年陕西省西安交大附中七年级（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是( )
A. B. C. D.
2.在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”.根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为0.000002m，则数据0.000002用科学记数法表示为( )
A. 2×10−5B. 0.2×10−6C. 2×10−7D. 2×10−6
3.下列长度(单位：cm)的三根小木棒，能搭成为三角形的是( )
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 5，6，10D. 8，8，16
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a3)4=a12C. (3ab2)3=9a3b6D. a3+a4=a7
5.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC//DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
6.不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别.随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是( )
A. 3个球都是白球B. 至少有1个黑球
C. 3个球都是黑球D. 有1个白球2个黑球
7.如图，已知AD//BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件( )
A. AB=CD
B. ∠B=∠D
C. AD=CB
D. ∠BAC=∠DCA
8.游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示.摆锤从A点出发再次回到A点需要( )秒．
A. 2B. 4C. 6D. 8
9.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S△BDC=20，则EF的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，将△BCD连续翻折两次，C点的对应点E点落在边AB上，B点的对应点F点恰好落在边AC上，则下列结论正确的是( )
A. ∠A=18°，AD=2BD
B. ∠A=18°，AD=BC+BD
C. ∠A=20°，AD=2BD
D. ∠A=20°，AD=BC+BD
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上)，则击中白色区域的概率是______．
12.等腰三角形的两边长满足│a−4│+(b−9)2=0.则这个等腰三角形的周长为______
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，BE=15，则CE的长等于______．
14.如图，AD是△ABC的高，AD=BD，DE=DC，∠BAC=65°，则∠ABE的度数是______．
15.如图，等腰△ABC中，D为底边BC上的中点，BC=10，△ABC的面积为60，M、N分别是线段AD、AC上的动点，且AM=CN，则(BN+CM)2最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)(−1)2015+(π−3.14)0+(−12)−2；
(2)(−2x3)2⋅x−x3⋅x4+(−x)7．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：[(x+2y)2−(2x+y)(2x−y)+x(3x−y)]÷(−5y)，其中x=13，y=−12．
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D.请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长.(保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题6分)
如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC=DE，AC//DE，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)若BF=14，EC=6，求BE的长．
20.(本小题6分)
如图，学校高17.6m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护.一辆高2.6m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯(云梯最长25m)刚好接触到AC的底部点A处.问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？
21.(本小题6分)
如图，在长为20cm，宽为16cm的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化.设剪去的每个三角形的直角边长为x cm(x≤8)，阴影部分的面积为y cm2，如下表：
(1)表中的数据m= ______；
(2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积______(填增大或减少) ______cm2；
(3)写出y与x的关系式：______．
(4)阴影部分面积可以达到168cm2吗？请说明理由．
22.(本小题8分)
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答下列问题：
(1)观察图②，请你写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系是______；
(2)根据(1)中的等量关系解决如下问题：若x+y=5，xy=3，求(x−y)2的值；
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
(3)根据图③，写出一个代数恒等式：______；
(4)已知a+b=52，ab=14，利用上面的规律求a3+b33的值．
23.(本小题10分)
小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
(1)如图(1)，AD是△ABC的中线，且AB>AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为______．
(2)如图(2)，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF//AB，且EF=AC.求证：AD平分∠BAC．
(3)如图(3)，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.若BE=1.8，CF=2.4，求EF的长度．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.B
5.B
6.B
7.C
8.D
9.B
10.D
11.23
12.22
13.9
14.25°
15.269．
16.解：(1)(−1)2015+(π−3.14)0+(−12)−2
=(−1)+1+4
=4；
(2)(−2x3)2⋅x−x3⋅x4+(−x)7
=4x6⋅x−x3⋅x4+(−x)7
=4x7−x7+(−x7)
=2x7．
17.解：[(x+2y)2−(2x+y)(2x−y)+x(3x−y)]÷(−5y)
=(x2+4xy+4y2−4x2+y2+3x2−3xy)÷(−5y)
=(xy+5y2)÷(−5y)
=−15x−y，
当x=13，y=−12时，原式=−15×13−(−12)=1330．
18.解：如图，点P即为所求．
19.(1)证明：∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEF，
∵DE=CA，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠DDE=AC∠ACB=∠DEF
∴△ABC≌△DEF(ASA)；
(2)解：∵BF=14，EC=6，
∴BE+CF=8，
∵BE=CF，
∴BE=4，
20.解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E，
由题意得：AE=AB−BE=17.6−2.6=15(m)，CE=AB+AC−BE=17.6+5−2.6=20(m)，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE= AD2−AE2= 252−152=20(m)，
设DD′=x m，则D′E=(20−x)m，
在Rt△CED′中，由勾股定理得：D′E2+CE2=CD′2，
即(20−x)2+202=252，
解得：x=5，
答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处．
21.(1)312；
(2)减少，57.5．
(3)由题意得y=20×16−4×12x2=320−2x2，
∴y与x的函数关系式为y=320−2x2．
故答案为：y=320−2x2．
(4)当y=168时，320−2x2=168，
解得x=2 19，
∵8<2 19<10，
∴16<2x<20，
∴阴影部分面积不可以达到168cm2．
22.(1)(a+b)2−(a−b)2=4ab；
(2)由题(1)可知：(x+y)2−(x−y)2=4xy，
∴(x−y)2=(x+y)2−4xy=25−4×3=13；
(3)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(4)由(3)可知a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2=(a+b)3−3ab(a+b)，
把a+b=52，ab=14代入得：a3+b3=(52)3−3×14×52=554．
∴a3+b32=554．
23.(1)SAS；
(2)证明：如图，延长AD至G，使得DG=DF，连接CG，
在△DEF和△DCG中，
DF=FG∠EDF=∠CDGDE=DC，
∴△DEF≌△DCG(SAS)，
∴∠EFD=∠CGD，EF=CG，
∴EF//AB，
∴∠EFD=∠BAD，
又∵EF=AC．
∴CG=AC，
∴∠DAC=∠G，
∴∠BAD=∠DAC，
∴AD平分∠BAC；
(3)解：如图，延长ED至H，使得DH=ED，连接HC，HF，
同理可得△BED≌△CHD(SAS)，
∴∠DCH=∠B，HC=BE=1.8，
∵在△ABC中，∠A=90，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠FCH=∠DCH+∠ACB=90°，
在Rt△FHC中，FH= FC2+HC2= 1.82+2.42=3，
又∵DH=ED，DE⊥DF，
∴FD是EH的垂直平分线，
∴FE=FH=3．三角形的直角边长x/cm
1
2
3.2
4.5
…
阴影部分的面积y/cm2
318
m
299.52
279.5
…
1.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是( )
A. B. C. D.
2.在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”.根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为0.000002m，则数据0.000002用科学记数法表示为( )
A. 2×10−5B. 0.2×10−6C. 2×10−7D. 2×10−6
3.下列长度(单位：cm)的三根小木棒，能搭成为三角形的是( )
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 5，6，10D. 8，8，16
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a3)4=a12C. (3ab2)3=9a3b6D. a3+a4=a7
5.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC//DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
6.不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别.随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是( )
A. 3个球都是白球B. 至少有1个黑球
C. 3个球都是黑球D. 有1个白球2个黑球
7.如图，已知AD//BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件( )
A. AB=CD
B. ∠B=∠D
C. AD=CB
D. ∠BAC=∠DCA
8.游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示.摆锤从A点出发再次回到A点需要( )秒．
A. 2B. 4C. 6D. 8
9.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S△BDC=20，则EF的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，将△BCD连续翻折两次，C点的对应点E点落在边AB上，B点的对应点F点恰好落在边AC上，则下列结论正确的是( )
A. ∠A=18°，AD=2BD
B. ∠A=18°，AD=BC+BD
C. ∠A=20°，AD=2BD
D. ∠A=20°，AD=BC+BD
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上)，则击中白色区域的概率是______．
12.等腰三角形的两边长满足│a−4│+(b−9)2=0.则这个等腰三角形的周长为______
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，BE=15，则CE的长等于______．
14.如图，AD是△ABC的高，AD=BD，DE=DC，∠BAC=65°，则∠ABE的度数是______．
15.如图，等腰△ABC中，D为底边BC上的中点，BC=10，△ABC的面积为60，M、N分别是线段AD、AC上的动点，且AM=CN，则(BN+CM)2最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)(−1)2015+(π−3.14)0+(−12)−2；
(2)(−2x3)2⋅x−x3⋅x4+(−x)7．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：[(x+2y)2−(2x+y)(2x−y)+x(3x−y)]÷(−5y)，其中x=13，y=−12．
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D.请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长.(保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题6分)
如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC=DE，AC//DE，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)若BF=14，EC=6，求BE的长．
20.(本小题6分)
如图，学校高17.6m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护.一辆高2.6m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯(云梯最长25m)刚好接触到AC的底部点A处.问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？
21.(本小题6分)
如图，在长为20cm，宽为16cm的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化.设剪去的每个三角形的直角边长为x cm(x≤8)，阴影部分的面积为y cm2，如下表：
(1)表中的数据m= ______；
(2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积______(填增大或减少) ______cm2；
(3)写出y与x的关系式：______．
(4)阴影部分面积可以达到168cm2吗？请说明理由．
22.(本小题8分)
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答下列问题：
(1)观察图②，请你写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系是______；
(2)根据(1)中的等量关系解决如下问题：若x+y=5，xy=3，求(x−y)2的值；
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
(3)根据图③，写出一个代数恒等式：______；
(4)已知a+b=52，ab=14，利用上面的规律求a3+b33的值．
23.(本小题10分)
小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
(1)如图(1)，AD是△ABC的中线，且AB>AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为______．
(2)如图(2)，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF//AB，且EF=AC.求证：AD平分∠BAC．
(3)如图(3)，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.若BE=1.8，CF=2.4，求EF的长度．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.B
5.B
6.B
7.C
8.D
9.B
10.D
11.23
12.22
13.9
14.25°
15.269．
16.解：(1)(−1)2015+(π−3.14)0+(−12)−2
=(−1)+1+4
=4；
(2)(−2x3)2⋅x−x3⋅x4+(−x)7
=4x6⋅x−x3⋅x4+(−x)7
=4x7−x7+(−x7)
=2x7．
17.解：[(x+2y)2−(2x+y)(2x−y)+x(3x−y)]÷(−5y)
=(x2+4xy+4y2−4x2+y2+3x2−3xy)÷(−5y)
=(xy+5y2)÷(−5y)
=−15x−y，
当x=13，y=−12时，原式=−15×13−(−12)=1330．
18.解：如图，点P即为所求．
19.(1)证明：∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEF，
∵DE=CA，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠DDE=AC∠ACB=∠DEF
∴△ABC≌△DEF(ASA)；
(2)解：∵BF=14，EC=6，
∴BE+CF=8，
∵BE=CF，
∴BE=4，
20.解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E，
由题意得：AE=AB−BE=17.6−2.6=15(m)，CE=AB+AC−BE=17.6+5−2.6=20(m)，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE= AD2−AE2= 252−152=20(m)，
设DD′=x m，则D′E=(20−x)m，
在Rt△CED′中，由勾股定理得：D′E2+CE2=CD′2，
即(20−x)2+202=252，
解得：x=5，
答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处．
21.(1)312；
(2)减少，57.5．
(3)由题意得y=20×16−4×12x2=320−2x2，
∴y与x的函数关系式为y=320−2x2．
故答案为：y=320−2x2．
(4)当y=168时，320−2x2=168，
解得x=2 19，
∵8<2 19<10，
∴16<2x<20，
∴阴影部分面积不可以达到168cm2．
22.(1)(a+b)2−(a−b)2=4ab；
(2)由题(1)可知：(x+y)2−(x−y)2=4xy，
∴(x−y)2=(x+y)2−4xy=25−4×3=13；
(3)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(4)由(3)可知a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2=(a+b)3−3ab(a+b)，
把a+b=52，ab=14代入得：a3+b3=(52)3−3×14×52=554．
∴a3+b32=554．
23.(1)SAS；
(2)证明：如图，延长AD至G，使得DG=DF，连接CG，
在△DEF和△DCG中，
DF=FG∠EDF=∠CDGDE=DC，
∴△DEF≌△DCG(SAS)，
∴∠EFD=∠CGD，EF=CG，
∴EF//AB，
∴∠EFD=∠BAD，
又∵EF=AC．
∴CG=AC，
∴∠DAC=∠G，
∴∠BAD=∠DAC，
∴AD平分∠BAC；
(3)解：如图，延长ED至H，使得DH=ED，连接HC，HF，
同理可得△BED≌△CHD(SAS)，
∴∠DCH=∠B，HC=BE=1.8，
∵在△ABC中，∠A=90，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠FCH=∠DCH+∠ACB=90°，
在Rt△FHC中，FH= FC2+HC2= 1.82+2.42=3，
又∵DH=ED，DE⊥DF，
∴FD是EH的垂直平分线，
∴FE=FH=3．三角形的直角边长x/cm
1
2
3.2
4.5
…
阴影部分的面积y/cm2
318
m
299.52
279.5
…
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