2023-2024学年陕西省西安交大附中航天学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安交大附中航天学校八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各数中，是无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.“碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 直角三角形的两个锐角互余
B. 买一张电影票，座位号是偶数号
C. 投掷一个骰子，正面朝上的点数是
D. 打开“学习强国”，正在播放歌曲我和我的祖国

4.下列说法中，错误的是(    )

A. 的平方根是 B. 的平方根和立方根都是
C. 的立方根是 D. 负数没有平方根

5.将一副三角尺厚度不计如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为(    )

A.
B.
C.
D.  

6.以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7.某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度与小车下滑时间之间的关系如下表所示：

根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是(    )

A. 支撑物的高度为，小车下滑的时间为
B. 支撑物的高度越大，小车下滑时间越小
C. 若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同
D. 若小车下滑的时间为，则支撑物的高度在至之间

8.若是一个完全平方式，则常数的值为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

9.如图，已知，于点，于点，点是的中点，连接并延长交与点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.的算术平方根是______ ．

12.已知，，则 ______ ．

13.如图：中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为__________．
 

14.启航港里有一棵树苗，刚栽下去时高为米，以后每月长米，则树高米与月数月之间的关系式为______ ．

15.如图，，且，，分别为射线和射线上两动点，且，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
先化简，再求值：，其中，．

17.本小题分
计算：
；
．

18.本小题分

如图已知角，，请用尺规作图法，在内部求作一点使且保留作图痕迹，不写作法

19.本小题分

如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接，求证：．

20.本小题分
从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃张，黑桃张，方块张，现将这些牌洗匀背面朝上放在桌面上．
求从中抽出一张是红桃的概率；
现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随机抽一张是红桃的概率为，问抽掉了多少张黑桃？

21.本小题分
如图，明明在距离河面高度为的岸边处，用长为的绳子拉点处的船靠岸，若明明收绳后，船到达处，则船向岸移动了多少米？

22.本小题分

如图，，两地相距千米，甲、乙两人于某日下午从地前往地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程和时间的关系根据图象回答下列问题：
甲出发______ 小时后，乙才开始出发；
甲在段路程中的平均速度是______ 千米小时；乙的平均速度是______ 千米小时；
乙出发后经过几小时就追上甲？

23.本小题分
问题提出：
如图，在中，，是边上的一个动点，连接，若的最小值为，则三角形的面积为______ ；
问题探究：
如图，在四边形中，，，，试说明；
问题解决：
我市计划在某文化广场的一块空地上找一处四边形，举办“文化自然遗产日”活动如图，边和用来做宣传文化墙，且满足，，边和用来放置电子显示屏，播放各种各样的非遗历史视频，若，请求出四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是分数，它不是无理数，则不符合题意；
是分数，它不是无理数，则不符合题意；
是无限不循环小数，它是无理数，则符合题意；
是分数，它不是无理数，则不符合题意；
故选：．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

3.【答案】 

【解析】解：、直角三角形的两个锐角互余是必然事件，符合题意；
B、买一张电影票座位号是偶数号，是随机事件，不合题意；
C、投掷一个骰子正面朝上的点数是，是随机事件，不合题意；
D、打开“学习强国”，正在播放歌曲我和我的祖国是随机事件，不合题意．
故选：．
必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

4.【答案】 

【解析】解：的平方根是，则符合题意；
的平方根和立方根都是，则不符合题意；
的立方根是，则不符合题意；
负数没有平方根，则不符合题意；
故选：．
根据平方根及立方根的定义和性质进行判断即可．
本题考查平方根和立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
，
，
，
故选：．
先根据三角板的特点得到，，再由平行线的性质得到，则由平角的定义可得．
本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，灵活运用所学知识是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角，不符合题意；
B、，能构成直角三角，符合题意；
C、，不能构成直角三角，不符合题意；
D、，不能构成直角三角，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：由表格可知，当时，，故A正确；
B.通过观察表格可得，支撑物的高度越大，小车下滑时间越小，故B正确；
C.通过观察表格，当支撑物的高度每增加，对应小车下滑时间的变化情况不相同，故C错误；
D.若小车下滑时间为，通过表格容易判断出支撑物的高度在之间，故D正确；
故选：．
运用表格的数据，对选项进行逐一判断和推测，运用排除法得到正确选项．
本题考查了变量与函数之间的问题，关键在于能够通过表格分析各个选项，得出正确答案．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断，即可确定出的值．
【解答】
解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
在中，，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求的长，即可求的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角形是本题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理可得，




．
故选：．
先根据勾股定理求出，然后根据计算即可．
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根为，
故答案为：．
根据算术平方根的定义解决．
本题考查算术平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个正数的算术平方根．

12.【答案】 

【解析】解：两边平方得：，
将代入得：．
故答案为：．
把两边平方，利用完全平方公式展开后将的值代入即可求出所求式子的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，，
又的周长，
，
即，
的周长．
故答案为．
由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
故答案为：．
根据树高原树高每年增长的高度，列出函数关系式即可．
本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系列出式子．

15.【答案】 

【解析】解：连结，延长到，使，连接，，

，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即的最小值就是的最小值，
，
，
在中，
由勾股定理，得．
利用全等和轴对称，把线段和的平方最小转化成两点间的线段的长的平方即可解决问题．
本题考查轴对称最短路线问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构建出全等进行线段的转化，以及将军饮马模型是解题的关键．

16.【答案】解：，
，
，
，
，
当，时，原式． 

【解析】本题考查了整式的混合运算．主要考查了整式的乘法、除法、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．
根据平方差公式和单项式乘多项式的法则计算，再利用单项式的除法计算化简，然后代入数据求解即可．

17.【答案】解：原式．
原式

． 

【解析】依据题意，根据实数的混合运算法则及整式混合运算法则逐个进行运算即可得解．
本题主要考查了实数的混合运算、整式的混合运算，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．

18.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．

19.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平分，得，而，是和的公共边，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，则．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．

20.【答案】解：抽出一张是红桃的概率是；

设至少抽掉了张黑桃，放入张的红桃，
根据题意得，，
解得：，
答：抽掉了张黑桃； 

【解析】根据题意列式计算即可；
设至少抽掉了张黑桃，放入张的红桃，根据题意列方程求解即可得到结论
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：开始时绳子的长为明明收绳后，船到达处，
，
由题意得：，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
船向岸移动了，
答：船向岸移动了． 

【解析】先求出，再由勾股定理求出、，即可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

22.【答案】     

【解析】解：由图象可知，甲在小时，开始出发，乙在小时，开始出发，
，
甲出发小时后，乙才开始出发，
故答案为：；
由图象可知，甲在段路程中的平均速度是千米小时
乙的平均速度是千米小时，
故答案为：；；
设乙出发后经过小时就追上甲，
依题意得，，
解得，
乙出发后经过小时就追上甲．
观察图象即可；
根据甲在段小时的路程为千米，乙小时的路程为千米，进行计算求解即可；
设乙出发后经过小时就追上甲，依题意得，，计算求解即可．
本题考查了一次函数，一元一次方程的应用．从图象中获取正确的信息是解题的关键．

23.【答案】 

【解析】解：当时，的最小值为，
．
故答案为：．
证明：如图，延长到点，使得，连接，

，
又，
，
≌，
，，，
，
，
，
．
解：如图，延长到点，使得，连接，过点作于点，

由知≌，
，，
，
又，
，
又由可知是等腰直角三角形，
和都是等腰直角三角形，
，
．
根据垂线段最短得出，然后计算面积即可；
延长到点，使得，连接，利用全等三角形的判定和性质得，然后求面积即可；
延长到点，使得，连接，过点作于点，利用中过程得等腰直角三角形，求解即可．
本题是四边形综合题，主要考查最短距离问题，全等三角形的判定和性质，结合图形，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．