2023-2024学年陕西省西安市西咸新区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西咸新区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.正多边形的每一个外角都是30∘，则这个正多边形的内角和是( )
A. 1080∘B. 720∘C. 360∘D. 1800∘
3.下列因式分解正确的是( )
A. 4a2−1=(4a+1)(4a−1)B. −a2+25=(5+a)(5−a)
C. a2−6ab−9b2=(a−3b)2D. a2−8a+16=(a−8)2
4.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合.∠B=∠DEF=90∘，AB=DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是( )
A. BC=EF
B. ∠BCA=∠F
C. BA//EF
D. AC=DF
5.若关于x的分式方程mx+5=m−15+x有增根，则m的值为( )
A. −5B. 5C. −1D. 1
6.如图所示，若一次函数y1=k1x+b1(k1、b1均为实数，且k1≠0)和一次函数y2=k2x+b2(k2、b2均为实数，且k2≠0)的图象的交点的横坐标为23，则关于x的不等式k1x+b1>k2x+b2的解集是( )
A. x>23
B. x<23
C. x>−23
D. x<−23
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AO=CO，BO=DO
B. ∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB
C. AB//CD，AD//BC
D. AB//CD，AD=BC
8.已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米/小时，设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则顺水航行的速度是( )(逆水速度=静水速度-水流速度，顺水速度=静水速度+水流速度)
A. 15千米/小时B. 12千米/小时C. 10千米/小时D. 9千米/小时
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.多项式x3+12xy的公因式是______.
10.不等式x−9>3x−5的最大整数解是______.
11.如图，△ABC中，D是BC的中点，连接AD，点G、E分别是AD、AC的中点，连接EG，BC=6，则EG的值为______.
12.公园有一片平行四边形的绿地，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB=15cm，AD=12cm，AC⊥BC，则绿地的面积为______.
13.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD=4，BC=2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为__________ .
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
因式分解：2a(a−b)+8a3(b−a).
15.(本小题5分)
如图，把△ABC沿AC方向平移1cm得到△FDE，AE=4cm，求FC的长.
16.(本小题5分)
如图，有一块五边形空地ABCDE，现要在空地内部做一个标记点P，使点P到边AB、BC的距离相等，且点P到点A、点E的距离相等.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
17.(本小题5分)
解方程：2x−5x2−2x+1=x−5x−2.
18.(本小题5分)
在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF.
19.(本小题5分)
如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90∘，且点A的坐标是(2,0).
(1)将Rt△OAB先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△O1A1B1，画出△O1A1B1；
(2)将Rt△OAB绕点O按逆时针方向旋转90∘，得到△O2A2B2，画出△O2A2B2.
20.(本小题5分)
解不等式组{2x−13−5x+12<1①5x−1<3(x+1)②，并把解集表示在数轴上.
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(1+1x−2)÷2x−2x2−4x+4，其中x=−8.
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠B=36∘，求∠CAD的度数；
(2)若点E在边AC上，EF//AB交AD的延长线于点F，求证：AE=EF.
23.(本小题7分)
如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交对角线BD于点E，CF平分∠DCB交对角线BD于点F，连接AF，CE.
(1)若∠BCF=50∘，求∠ADC的度数；
(2)求证：四边形AECF为平行四边形.
24.(本小题8分)
如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22−02，12=42−22，20=62−42，…因此4，12，20…都是“神秘数”.
(1)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
(2)在正整数中，两个连续奇数的平方差是4的倍数吗？为什么？
(皆用因式分解的方法解答)
25.(本小题8分)
某五金店用3000元购进A、B两种型号的机器零件1100个，购买A型零件与购买B型零件的费用相同.已知A型零件的单价是B型零件的1.2倍.
(1)求A、B两种型号零件的单价各是多少？
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购买A、B两种型号的零件共2600个，已知两种零件的进价不变，则A型零件最多可购进多少个？
26.(本小题10分)
课本再现：
在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.
(1)如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA=OC，OB=OD.
知识应用
(2)在△ABC中，点P为BC的中点.延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连接DE.如图2，连接BE，若∠BAC=60∘，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你的结论，并加以证明.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：正多边形每个内角的度数为360∘÷30∘=12，
180∘×(12−2)
=180∘×10
=1800∘.
故答案为：D.
先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式即可得出答案．
本题主要考查多边形的内角和外角，根据正多边形的外角求出正多边形的边数是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.4a2−1=(2a+1)(2a−1)，故本选项不符合题意；
B.−a2+25=(5+a)(5−a)，故本选项符合题意；
C.a2−6ab+9b2=(a−3b)2，故本选项不符合题意；
D.a2−8a+16=(a−4)2，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．
本题考查了利用公式法分解因式，能熟记平方差公式和完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，符合全等三角形的判定定理SAS(不是两直角三角形全等的判定定理HL)，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF(SAS)，故本选项不符合题意；
B.∠ACB=∠DFE，∠B=∠DEF，AB=DE，符合全等三角形的判定定理AAS(不是两直角三角形全等的判定定理HL)，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF(AAS)，故本选项不符合题意；
C.∵BA//EF，
∴∠A=∠ACF，
由AB=DE，∠B=∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意；
D.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B=∠DEF=90∘，AC=DF，AB=DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，故本选项符合题意．
故选：D.
根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
本题考查了直角三角形全等的判定定理，能熟记直角三角形的判定定理(三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL)是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：mx+5=m−15+x，
去分母，得：m=m(x+5)−1，即：x=1m−4，
∵有增根，
∴x+5=0，即：1m−4+5=0，解得：m=−1，
故选：C.
解分式方程得：x=1m−4，根据方程由增根，得到1m−4+5=0，即可求解，
本题考查了，根据分式方程解的情况求值，解题的关键是：根据方程有增根，列出等量关系式．
6.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y1=k1x+b1(k1、b1均为实数，且k1≠0)和一次函数y2=k2x+b2(k2、b2均为实数，且k2≠0)的图象的交点的横坐标为23，
∴当x<23时，一次函数k1x+b1图象在一次函数y2=k2x+b2的图象上方，
∴关于x的不等式k1x+b1>k2x+b2的解集是x<23.
故选：B.
结合函数图象，写出一次函数k1x+b1图象在一次函数y2=k2x+b2的图象上方时所对应的自变量的取值范围即可．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7.【答案】D
【解析】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意．
故选：D.
由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设轮船在静水中的速度为x千米/小时，
由题意得：50x+3+30x−3=80x，
解得x=12，
经检验，x=12是原方程的解，
∴顺水航行的速度是12千米/小时．
故选：B.
设轮船在静水中的速度为x千米/小时，根据“轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间”，列出方程，即可求解．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键．
9.【答案】x
【解析】解：多项式x3+12xy的公因式是x.
故答案为：x.
根据找公因式的方法找出各项的公因式即可．
本题考查了因式法，能熟记找公因式的方法(系数找多项式各项系数的最大公因数，相同字母找最低次幂)是解此题的关键．
10.【答案】−3
【解析】解：x−9>3x−5，
移项，合并同类项得，−2x>4，
系数化为1得，x<−2，
∴不等式x−9>3x−5的最大整数解是−3.
故答案为：−3.
先求出不等式的解集，再求出最大整数解即可．
本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
11.【答案】32
【解析】解：∵D是BC的中点，BC=6，
∴CD=12BC=3，
∵点G、E分别是AD、AC的中点，
∴GE是△ADC的中位线，
∴EG=12CD=32，
故答案为：32.
根据线段中点的定义求出CD，再根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】108cm2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴BC=AD=12cm，
∵AC⊥BC，
∴AC= AB2−BC2=9(cm)，
绿地的面积为：BC×AC=12×9=108(cm2).
故答案为：108cm2.
利用平行四边形对边相等的性质得出BC，根据勾股定理求出AC，绿地的面积为：BC×AC.
本题主要考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积求法等知识，根据勾股定理求出AC是解题关键．
13.【答案】2 3或2 7
【解析】解：分两种情况：①当E在CA延长线上时，过点A作AM⊥BE于M，如图1：
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD=4，BC=2，
∴AE=CE−AC=4−2=2，∠BAC=60∘，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=30∘，
在Rt△ABM中，
AM=12AB=1，BM= 3AM= 3，
∴BE=2BM=2 3；
②当点E在线段AC的延长线上时，过点B作BH⊥AC于H，如图2：
则BH= 3，CH=1，
∴EH=CE+CH=5，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
BE= BH2+EH2=2 7，
综上所述：BE=2 3或2 7，
故答案为：2 3或2 7.
分两种情况：①当E在CA延长线上时，过点A作AM⊥BE于M，根据△ABC与△CDE都是等边三角形，CD=4，BC=2，可得AE=AB，∠AEB=∠ABE=30∘，在Rt△ABM中，可得BM= 3AM= 3，从而求得BE；②当点E在线段AC的延长线上时，过点B作BH⊥AC于H，在Rt△BEH中，由勾股定理求得
BE.
本题主要考查了旋转的性质等知识，掌握勾股定理、旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】解：原式=2a(a−b)(1−4a2)
=2a(a−b)(1+2a)(1−2a).
【解析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上方法是解题的关键．
15.【答案】解：根据题意，可得AF=CE=1cm，
∵AE=4cm，
∴FC=AE−AF−CE=4−1−1=2(cm).
【解析】根据平移的性质可得AF=CE=1cm，据此计算即可获得答案．
本题考查的是平移的性质，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．
16.【答案】解：如图，点P即为所求．

【解析】作∠ABC的角平分线BT，作线段AE的垂直平分线MN，直线MN交射线BT于点P，点P即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：2x−5x2−2x+1=x−5x−2，
2x−5+x2−2x=x(x−5)，
2x−5+x2−2x=x2−5x，
解得，x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解．
【解析】先去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，然后检验即可．
本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C.
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEA=∠BFC
在△DEA和△BFC中
∠A=∠C∠DEA=∠CFBAD=BC，
∴△DEA≌△BFC
∴AE=CF
【解析】要证明AE=CF，可通过证明它们所在的三角形全等来实现．即证明△DEA≌△BFC.
本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定和性质．解决本题即可证明△DEA≌△BFC，亦可证明四边形DFBE是矩形，通过AB−BE=CD−DF得结论．
19.【答案】解：(1)如图1，△O1A1B1即为所求；
(2)如图2所示，△O2A2B2即为所求，
.
【解析】(1)作出O、A、B平移后的对应点，顺次连接即可；
(2)作出O、A、B绕点O按逆时针方向旋转90∘后的对应点，顺次连接即可．
此题考查了平移和旋转的作图，准确找到变化后的对应点是解题的关键．
20.【答案】解：解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x<2，
所以不等式组的解集是−1在数轴上表示如下：
.
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；<”，“>”要用空心圆点表示．
21.【答案】解：(1+1x−2)÷2x−2x2−4x+4
=(x−2x−2+1x−2)÷2(x−1)(x−2)2
=x−1x−2⋅(x−2)22(x−1)
=x−22，
当x=−8时，
原式=−8−22
=−5.
【解析】先对括号内的进行通分，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数值代入即可．
本题主要考查分式的化简求值，能正确地进行分式的混合运算是解题的关键．
22.【答案】(1)解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=90∘，
∵∠B=36∘，
∴∠BAD=90∘−∠B=54∘，
∴∠CAD=54∘；
(2)证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF//AB，
∴∠F=∠BAD，
∴∠F=∠CAD，
∴AE=EF.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD，∠ADB=90∘，再由∠B=36∘得∠BAD=54∘，由此可得∠CAD的度数；
(2)根等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD，再根据EF//AB得∠F=∠BAD，由此得∠F=∠CAD，然后根据等腰三角形的判定进而得出结论．
此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解平行线的性质是解决问题的关键．
23.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DCB=180∘，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF=∠BCF=50∘，
∴∠ADC=180∘−∠DCF−∠BCF=180∘−50∘−50∘=80∘；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠DCB，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得出∠ADC+∠DCB=180∘，再根据角平分线的定义得出∠DCB的度数即可求解；
(2)由ASA证明△ABE≌△CDF得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，再根据平行线的判定得出AE//CF即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)根据题意得，(2k+2)2−(2k)2=2(4k+2)=4(2k+1)，
因为k取非负整数，
所以4(2k+1)是4的倍数，
因此，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数；
(2)设两个连续偶数为2k+3和2k+1(其中k取非负整数)，
它们的平方差为：(2k+3)2−(2k+1)2=2(4k+4)=4(2k+2)，
因为k取非负整数，
所以4(2k+2)是4的倍数，
因此，在正整数中，两个连续奇数的平方差是4的倍数．
【解析】(1)根据神秘数的定义，列代数式并整理化简即可；
(2)根据题意，列代数式并整理化简即可．
本题主要考查了因式分解的应用，关键在于正确列式计算，熟记平方差公式．
25.【答案】解：(1)3000÷2=1500(元).
设B型零件的单价是x元，则A型零件的单价是1.2x元，
根据题意得：1500x+15001.2x=1100，
解得：x=2.5，
经检验，x=2.5是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×2.5=3.
答：A型零件的单价是3元，B型零件的单价是2.5元；
(2)设购进y个A型零件，则购进(2600−y)个B型零件，
根据题意得：3y+2.5(2600−y)≤7000，
解得：y≤1000，
∴y的最大值为1000.
答：A型零件最多可购进1000个．
【解析】(1)设B型零件的单价是x元，则A型零件的单价是1.2x元，利用数量=总价÷单价，结合该五金店共购进A、B两种型号的机器零件1100个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值(即B型零件的单价)，再将其代入1.2x中，即可求出A型零件的单价；
(2)设购进y个A型零件，则购进(2600−y)个B型零件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过7000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∴△OAD≌△OCB(ASA)，
∴OA=OC，OB=OD；
(2)解：BE=2AP，证明如下：
如图所示，过点B作BH//AE交DE于H，连接PH，CH，
∴∠DBH=∠BAC=60∘，
∵AB=CE，AC=BD，
∴AB+BD=AC+CE，即AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠D=60∘，DE=DA，
∴△DBH是等边三角形，
∴BH=BD=DH，
∴BH=AC，
又∵BH//AC，
∴四边形ABHC是平行四边形，
∵点P为对角线BC的中点，
∴点P也是另一条对角线的中点，
∴A、P、H三点共线，
∴AH，BC互相平分，
∴AH=2AP，
在△ADH和△EDB中，
AD=ED∠D=∠DDH=DB，
∴△ADH≌△EDB(SAS)，
∴BE=AH，
∴BE=2AP.
【解析】(1)由平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，证明△OAD≌△OCB(ASA)，即可证明OA=OC，OB=OD；
(2)过点B作BH//AE交DE于H，连接PH，CH，则∠DBH=∠BAC=60∘，先证明△ADE是等边三角形，得到∠D=60∘，DE=DA，进而证明△DBH是等边三角形，得到BH=BD=DH，接着证明四边形ABHC是平行四边形，得到AH，BC互相平分，则AH=2AP，进一步证明△ADH≌△EDB(SAS)，得到BE=AH，则BE=2AP.
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，添加辅助线构造平行四边形是解题的关键．