2023-2024学年陕西省咸阳市秦都区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年陕西省咸阳市秦都区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若代数式2xx−6有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x=0B. x=6C. x≠0D. x≠6
2.下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如果a>b，那么下列各式中正确的是( )
A. −2a>−2bB. a+22b+3D. 2a<2b
4.下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是( )
A. −x2+6x+9B. −x2+6x−9C. x2−6x−9D. x2−2x+9
5.如图，△DEF沿边FE所在直线向左平移得到△ABC，则下列结论中错误的是( )
A. △ABC≌△DEFB. AC=DF
C. AB=DED. EC=FC
6.如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥AB于点E，DE交BC于点D，连接AD，AD=BD，若BE=3，则AC的长为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
7.王怡和李晶周末一起去攀登一座500米高的山，她们从山脚下同时出发，已知王怡的攀登速度是李晶的1.2倍，王怡到达顶峰所用时间比李晶少20分钟.若设李晶的攀登速度为x米/分，则下面所列方程正确的是( )
A. 500x=500x+20+1.2B. 5001.2x=500x−20
C. 500x=500x+20+20D. 500x=500x+20−1.2
8.如图，在▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，若AD=2AB，则下列结论：
①四边形ABFC是平行四边形；
②DE⊥AF；
③S△ECF=S△ECD；
④若BC=25，DE=24，则AF=16.
其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若关于x的分式方程a+1x=1的解是x=2，则a的值为______.
10.如图，将△DCE绕点C逆时针旋转100∘得到△ACB，若∠DCE=50∘，则∠ACE的度数为______ ∘.
11.一个多边形的内角和是720∘，这个多边形的边数是______.
12.如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=kx+b(k,b是常数，且k≠0)的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b>0的解集是______.
13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD=90∘.若E是BC边的中点，AC=6，BD=10，则OE的长为__________.
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
解不等式：2x>3x−22.
15.(本小题5分)
解分式方程：xx+2+4x2−4=1.
16.(本小题5分)
因式分解：x2(a−b)+4y2(b−a).
17.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，请用尺规作图法在AB边上求作一点D，使得点D到AC边的距离等于BD的长.(不写作法，保留作图痕迹)
18.(本小题5分)
如图，在△ABD中，∠ADB=90∘，点E是AD上一点，连接BE，将△BDE绕点D顺时针旋转得到△ADC，点B的对应点为点A，点E的对应点为点C，且∠DAC=32∘，求∠ABE的度数.
19.(本小题5分)
解不等式组：4x+1≤2x+32x>3x−22，并将解集在如图所示的数轴上表示出来.
20.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−4,5)，B(−3,1)，C(−2,3).
(1)将△ABC先向右平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1，B1，C1；
(2)将△ABC绕着点B按顺时针方向旋转90∘得到△A2BC2，请写出点A、C的对应点A2、C2的坐标.
21.(本小题6分)
先化简，再求值：x2−1x+2÷(1x+2−1)，其中x=12.
22.(本小题7分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，H分别为AB，DC的中点，F，G为AD，BC上两点，且满足DF=BG，求证：EF=HG.
23.(本小题7分)
【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.
【验证】
(1)①填空：(3+1)2−(3−1)2=______；
②用因式分解的方法计算：(a+2)2−(a−2)2；
【探究】
(2)设两个正整数为m、n，请用因式分解的方法证明“发现”中的结论.
24.(本小题8分)
如图，点P为∠MON内一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB交OP于点E，PA=PB.
(1)求证：OP是AB的垂直平分线；
(2)若∠MON=60∘，OA=2，求△AOB的面积.
25.(本小题8分)
某花店准备在父亲节前夕购进一批向日葵和康乃馨.已知每束向日葵的进价是每束康乃馨的54倍，用300元购进向日葵的数量比用300元购进康乃馨的数量少3束.
(1)求每束康乃馨的进价；
(2)如果该花店决定再购进30束向日葵和20束康乃馨进行销售，若每束向日葵的售价比每束康乃馨的售价多5元，则将本次购进的两种鲜花销售完后，每束向日葵的售价应至少定为多少元才能使获得的总利润不低于500元？
26.(本小题10分)
【问题背景】
如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，连接DE.
【问题探究】
(1)如图1，当点B′恰好落在AD边上时，求证：四边形ABEB′是平行四边形；
(2)如图2，若∠B=60∘，AB=6，BC=9，当点B′落在DE上时，求B′D的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵代数式2xx−6有意义，
∴x−6≠0，
∴x≠6.
故选：D.
根据分式有意义的条件可求出答案．
本题考查了分式有意义条件．熟练掌握分母不为0是分式有意义的条件是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：A.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案．
本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a>b，
∴−2a<−2b，
∴选项A不符合题意；
∵a>b，
∴a+2>b+2，
∴选项B不符合题意；
∵a>b，
∴2a>2b，
∴2a+3>2b+3，
∴选项C符合题意；
∵a>b，
∴2a>2b，
∴选项D不符合题意．
故选：C.
根据a>b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】B
【解析】解：A.−x2+6x+9=−(x2−6x−9)，因此不能利用完全平方公式进行因式分解，所以选项A不符合题意；
B.−x2+6x−9=−(x2−6x+9)=−(x−3)2，因此选项B符合题意；
C.x2−6x−9不能利用完全平方公式进行因式分解，所以选项C不符合题意；
D.x2−2x+9不能利用完全平方公式进行因式分解，所以选项D不符合题意．
故选：B.
根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
本题考查公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵△DEF沿边FE所在直线向左平移得到△ABC，
∴△ABC≌△DEF，AC=DF，AB=DE，
故选项A、B、C不符合题意；
EC=CF不能成立，故选项D符合题意．
故选：D.
由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，即可选择正确答案．
本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
6.【答案】A
【解析】解：∵DB=DA，DE⊥AB，
∴AB=2BE=6，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC=6，
故选：A.
先利用等腰三角形的三线合一性质可得AB=6，然后利用等角对等边可得AB=AC=6，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
5001.2x=500x−20，
故选：B.
根据王怡到达顶峰所用时间比李晶少20分钟，可以列出分式方程5001.2x=500x−20，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
8.【答案】C
【解析】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，如图所示：
∴AB//CD，
∴AB//CF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵E是BC边的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∠1=∠3∠2=∠4BE=CE，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB=CF，
∴四边形ACFB是平行四边形，
故命题①正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD，AB=CD，
∴∠DAE=∠AEB，∠CED=∠ADE，∠BAD+∠ADC=180∘，
∵E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∵AD=2AB，
∴AB=BE=CE=CD，
∴∠1=∠AEB，∠CDE=∠CED，
∴∠1=∠DAE，∠CDE=∠ADE，
∴∠BAD=2∠DAE，∠ADC=2∠ADE，
∴2∠DAE+2∠ADE=180∘，
即∠DAE+∠ADE=90∘，
∴∠AED=180∘−(∠DAE+∠ADE)=90∘，
即DE⊥AF，
故命题②正确；
③∵E是BC边的中点，AD//BC，
∴S△ABE=S△ECD，
∵△ABE≌△FCE，
∴S△ABE=S△ECF，
∴S△ECF=S△ECD，
故命题③正确；
④∵∠AED=90∘，
∴△AED为直角三角形，
∵BC=25，DE=24，
∴AD=BC=25，
在Rt△AED中，AD=25，DE=24，
由勾股定理得：AE= AD2−DE2=7，
∵△ABE≌△FCE，
∴EF=AE=7，
∴AF=AE+EF=14，
故命题④不正确．
综上所述：正确的命题是①②③，
故选：C.
①根据平行四边形的性质得AB//CF，进而可证△ABE和△FCE全等，从而得AB=CF，据此可对命题①进行判断；
②证∠BAD=2∠DAE，∠ADC=2∠ADE，再根据AB//CD得2∠DAE+2∠ADE=180∘，进而得∠DAE+∠ADE=90∘，从而得∠AED=90∘，据此可对命题②进行判断；
③根据E是BC边的中点，AD//BC得S△ABE=S△ECD，再根据△ABE≌△FCE得S△ABE=S△ECF，据此可对命题③进行判断；
④根据△AED为直角三角形，AD=BC=25，DE=24，利用勾股定理得AE=7，进而得AF=14，据此可对命题④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
9.【答案】1
【解析】解：把x=2代入分式方程得，
a+12=1，
解得a=1，
故答案为：1.
根据分式方程解的定义代入计算即可．
本题考查分式方程的解，理解分式方程解的定义是正确解答的关键．
10.【答案】50
【解析】解：由旋转得，∠ACD=100∘，
∵∠DCE=50∘，
∴∠ACE=∠ACD−∠DCE=50∘.
故答案为：50.
由旋转得，∠ACD=100∘，根据∠ACE=∠ACD−∠DCE可得答案．
本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
11.【答案】六
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和定理即n边形的内角和为(n−2)⋅180∘，难度较易．根据n边形的内角和(n−2)⋅180∘即可求得．
【解答】
解：∵n边形的内角和为(n−2)⋅180∘，
∴(n−2)×180∘=720∘，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是六．
故答案为六．
12.【答案】x<2
【解析】解：函数y=kx+b的图象经过点(2,0)，并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x<2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b>0的解集是x<2.
故答案为：x<2.
从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b>0的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=10，AC=6，
∴OC=3，OD=5，
∵∠OCD=90∘，
∴CD= OD2−OC2= 52−32=4，
∵E是BC边的中点，O是BD的中点，
∴2OE=CD，
∴OE=2.
故答案为：2.
根据平行四边形的性质得出OC=3，OD=5，进而利用勾股定理得出CD的长，利用三角形中位线得出OE即可．
此题考查平行四边形的性质以及中位线定理，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．
14.【答案】解：去分母，得4x>3x−2，
移项，得4x−3x>−2，
系数化为1，得x>−2.
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
15.【答案】解：方程两边同乘以(x+2)(x−2)，得
x(x−2)+4=(x+2)(x−2)，
解得：x=4，
经检验：x=4是原方程的解．
所以原方程的解为x=4.
【解析】方程两边同乘以(x+2)(x−2)，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，解题的关键是注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：x2(a−b)+4y2(b−a)
=x2(a−b)−4y2(a−b)
=(a−b)(x2−4y2)
=(a−b)(x+2y)(x−2y).
【解析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练运用以上知识点是解题的关键．
17.【答案】解：点D即为所求．

【解析】作∠ACB的角平分线CD，交AB于点D，点D即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：由旋转得，AD=BD，∠DBE=∠DAC=32∘.
∵∠ADB=90∘，
∴∠ABD=∠BAD=45∘，
∴∠ABE=∠ABD−∠DBE=45∘−32∘=13∘.
【解析】由旋转得，AD=BD，∠DBE=∠DAC=32∘，进而可得∠ABD=∠BAD=45∘，再根据∠ABE=∠ABD−∠DBE可得答案．
本题考查旋转的性质、等腰直角三角形，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：解4x+1≤2x+3得：x≤1，
解2x>3x−22得：x>−2，
∴不等式组解集为−2将解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据两定原则在数轴上表示其解集．
本题考查的是解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2BC2即为所求．
由图可得，A2(1,2)，C2(−1,0).
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：x2−1x+2÷(1x+2−1)
=(x+1)(x−1)x+2÷1−(x+2)x+2
=(x+1)(x−1)x+2÷−(x+1)x+2
=(x+1)(x−1)x+2⋅x+2−(x+1)
=−(x−1)
=−x+1，
当x=12时，原式=−12+1=12.
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠C.
∵DF=BG，
∴AD−DF=BC−BG，即AF=CG.
又∵H分别为AB，DC的中点，
∴AE=CH.
在△AEF≌△CHG中，
AF=CG∠A=∠CAE=CH，
∴△AEF≌△CHG(SAS).
∴EF=HG.
【解析】欲证明EF=HG，只需推知△AEF≌△CHG即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23.【答案】12
【解析】解：(1)①(3+1)2−(3−1)2
=16−4
=12，
故答案为：12；
②(a+2)2−(a−2)2
=(a+2+a−2)(a+2−a+2)
=2a⋅4
=8a；
(2)(m+n)2−(m−n)2
=(m+n+m−n)(m+n−m+n)
=2m⋅2n
=4mn
∴(m+n)2−(m−n)2能被4整除，
故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
(1)①根据有理数的乘方计算即可；
②根据平方差公式计算即可；
(2)利用平方差公式分解因式即可得出结论．
本题考查了平方差公式，理解题意，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴∠PAO=∠PBO=90∘，
在Rt△OAP与Rt△OBP中，
PA=PBOP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，
∴OA=OB，
∴点O、P均在AB的垂直平分线上，则OP是AB的垂直平分线；
(2)解：∵∠MON=60∘，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=2，
∵OP是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=1，
则OE= OA2−AE2= 3，
∴S△AOB=12⋅AB⋅OE= 3.
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠PAO=∠PBO=90∘，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到OP是AB的垂直平分线；
(2)根据等边三角形的性质得到AB=OA=OB=2，得到AE=BE=1，根据勾股定理得到OE= OA2−AE2= 3，于是得到S△AOB=12⋅AB⋅OE= 3.
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设每束康乃馨的进价是x元，则每束向日葵的进价为54x元，
由题意得：300x=30054x+3，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
答：每束康乃馨的进价是20元；
(2)每束向日葵的进价为：20×54=25(元)，
设每束向日葵的售价为m元，则每束康乃馨的售价为(m−5)元，
由题意得：30(m−25)+20(m−5−20)≥500，
解得：m≥35，
答：每束向日葵的售价应至少定为35元才能使获得的总利润不低于500元．
【解析】(1)设每束康乃馨的进价是x元，则每束向日葵的进价为54x元，根据用300元购进向日葵的数量比用300元购进康乃馨的数量少3束．列出分式方程，解方程即可；
(2)设每束向日葵的售价为m元，则每束康乃馨的售价为(m−5)元，根据获得的总利润不低于500元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC，∠B=∠ADC，
∴AB′//BE，
由折叠的性质得到：∠B=∠AB′E，
∴∠AB′E=∠ADC，
∴B′E//DC，
∴AB//B′E，
∴四边形ABEB′是平行四边形．
(2)解：如图2，
过作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
由折叠的性质得到：∠AED=∠AEB，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD.
∵DC//AB，∠B=60∘，AB=6，BC=9，
∴∠DCH=∠B=60∘，DE=AD=BC=9，
∴∠CDH=90∘−∠DCH=30∘，
∴CH=12CD=3，
∴DH2=DC2−CH2=62−32=27，
∴EH= DE2−DH2=3 6，
∵DE=BC，B′E=BE，
∴DB′=DE−EB′=BC−BE=CE，
∵CE=EH−CH=3 6−3，
∴B′D的长是3 6−3.
【解析】(1)由平行四边形的性质推出AD//BC，AB//DC，∠B=∠ADC，由折叠的性质得到∠B=∠AB′E，因此∠AB′E=∠ADC，推出B′E//DC，即可证明四边形ABEB′是平行四边形．
(2)作DH⊥BC交BC的延长线于点H，由平行线的性质推出∠DAE=∠AEB，由折叠的性质得到∠AED=∠AEB，因此∠DAE=∠AED，推出DE=AD，由含30度角的直角三角形的性质得到CH=12CD=3，由勾股定理求出EH= DE2−DH2=3 6，即可得到B′D=CE=EH−CH=3 6−3.
本题考查平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定，关键是由平行四边形的性质，折叠的性质推出∠AB′E=∠ADC；判定DE=AD，由勾股定理求出EH的长．