2023-2024学年陕西省渭南市临渭区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

展开

这是一份2023-2024学年陕西省渭南市临渭区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024年4月25日，中国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功.某同学搜集的下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. 中国火箭B. 中国探火
C. 航天神舟D. 中国行星探测
2.已知aA. a3>b3B. a+10>b+10C. 1−a>1−bD. πa>πb
3.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. x2−x−2=x(x−1)−2B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x−1=x(1−1x)
4.下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2=b2，则a=b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
5.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，我校新科技馆铺设地面，请问工人师傅可以用以下哪一种形状大小完全相同的正多边形地砖在平整的地面上镶嵌( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形
6.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为( )
A. 1.4−x2.4−x=813B. 1.4+x2.4+x=813C. 1.4−2x2.4−2x=813D. 1.4+2x2.4+2x=813
7.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O.如果AB=AC，那么图中全等的直角三角形的对数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF.下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△BEF=S△ABE.其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设______.
10.若关于x的分式方程2x−ax−1=1的解为正数，那么字母a的取值范围是______.
11.如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC=BD=56cm，且与闸机侧立面夹角.∠PCA=∠BDQ=30∘，求当双翼收起时，两机箱之间的宽度为______cm.
12.如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，点E在AB上，连接CE，分别延长CE，DA交于点F，若CE=EF=4，则CD的长为______.
13.如图，在△ABC中，BC=BA=36，∠C=15∘，AD平分∠BAC，点E、F分别是射线AD和线段AC上的动点，连接CE、EF，则CE+EF的最小值为______.
三、解答题：本题共10小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 5×(− 10)−(17)−1+|−23|.
15.(本小题5分)
解不等式组{2x−13−5x+12⩽15x−1<3(x十1).
16.(本小题5分)
因式分解：
(1)12m3n4−8m2n6；
(2)x3−4x2y+4xy2.
17.(本小题5分)
先化简，再求值：(a2−5a+2a+2+1)÷a2−4a2+4a+4，其中a=2+ 3.
18.(本小题5分)
如图，已知平行四边形ABCD，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规作出折痕所在的直线．(保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题5分)
如图，点A、D、B在同一条直线上，AC=BD，AB=DE，∠C=∠DFB.试说明：∠E=∠ABC.
20.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A(−4,4)，B(−2,5)，C(−2,1).
(1)平移△ABC，使点C移到点C1(2,2)，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点(0,0)旋转180∘，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2.
21.(本小题7分)
在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C.已知点A(−1,0)，B(2,0)，观察图象并回答下列问题：
(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是______；关于x的不等式kx+b<0的解集是______；
(2)直接写出关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集；
(3)若点C(1,3)，求关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集和△ABC的面积．
22.(本小题7分)
炎炎夏日来临，某超市用3000元购进新款冰淇淋准备出售，每支售价定为10元，很快冰淇淋全部售完.由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种冰淇淋，但这次的进价比第一次进价提高了20%，购进冰淇淋的数量是第一次的2倍还多300支.
(1)求该种冰淇淋第一次进价每支多少元？
(2)第二次购买的冰淇淋，按每支10元售出200支时，出现滞销，剩下的冰淇淋降价后才顺利全部售出.要使这两次销售的总利润不低于7700元，每支冰淇淋至多降价多少元？(利润=销售收入一进价)
23.(本小题7分)
阅读下面的材料，然后解决问题：
苏菲⋅热门，19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解x4+4时，因为该式只有两项，而且都属于平方和的形式，即(x2)2+22，所以要使用公式就必须添加一项4x2，同时减去4x2，即x4+4=x4+4x2+4−4x2=(x2+2)2−(2x)2=(x2+2x+2)(x2−2x+2).人们为了纪念苏菲⋅热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲⋅热门的做法，将下列各式因式分解：
(1)x4+4y4；
(2)x2−2ax−b2−2ab.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】A、图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
B、图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A.
根据中心对称图形的定义判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：A.∵aB.当∵aC.∵a−b，1−a>1−b，故原选项正确，符合题意．
D.∵a故选：C.
根据不等式的性质或通过举反例的方式逐项判断即可求解．
本题考查了不等式的性质，不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B中等式右边不是乘积的形式，故A、B不是因式分解；
选项D中等式右边1x不是整式，故D不是因式分解；
有选项C中的等式的右边是最简整式的积的形式．
故选：C.
判断因式分解有两点：①分解的对象是多项式；②分解的结果是n个整式的积的形式，对于A，等式的右边不是乘积的形式，据此即可判断正误．
本题考查因式分解概念，正确记忆因式分解的概念是解题关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
【解答】
解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题；
②若a2=b2，则a=b的逆命题是若a=b，则a2=b2是真命题；
③锐角与钝角互为补角的逆命题是互补的角是锐角与钝角，是假命题；
④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；
故选：B.
5.【答案】B
【解析】解：A、正五边形的内角为108∘，360÷108=313，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360∘，故选项不符合题意；
B、正六边形的内角为120∘，360∘÷120∘=3，所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360∘，故选项符合题意；
C、正八边形的内角为135∘，360÷135∘=223，所以正八边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360∘，故选项不符合题意；
D、正十边形的内角为144∘，360÷144∘=212，所以正十边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360∘，故选项不符合题意；
故选：B.
正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360∘.判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360∘，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
1.4+2x2.4+2x=813，
故选：D.
根据题意可知，装裱后的长为(2.4+2x)米，宽为(1.4+2x)米，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
共有3对，分别为△ADC≌△AEB，△BOD≌△COE.Rt△ADO≌Rt△AEO；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找，并为直角三角形即可．
【解答】
解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90∘，
∵在△ADC和△AEB中，∠ADC=∠AEB∠DAC=∠EABAC=AB，
∴△ADC≌△AEB(AAS)；
∴AD=AE，∠C=∠B，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
在△BOD和△COE中，∠B=∠C∠BOD=∠COEBD=CE，
∴△BOD≌△COE(AAS)；
∴OB=OC，OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，OA=OAOD=OE，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)；
∴共有3对全等三角形，
故选C.
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60∘，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD(SAS)；
①正确；
∵△FCD与△ABC等底(AB=CD)等高(AB与CD间的距离相等)，
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，
∴S△ABE=S△CEF.
若AD与BF相等，则BF=BC，
题中未限定这一条件，
若S△BEF=S△ACD；则S△BEF=S△ABC，
则AB=BF，
∴BF=BE，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确．
若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC，
即EC=CD=BE
即BC=2CD，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
故选：B.
由平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60∘，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由S△AEC=S△DEC，S△ABE=S△CEF得出④即可．
此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
9.【答案】∠B≠∠C
【解析】解：已知：在△ABC中，AB=AC，
求证：∠B=∠C.
用反证法来证明这个结论，可以假设∠B≠∠C，
故答案为：∠B≠∠C.
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10.【答案】a>1且a≠2
【解析】解：分式方程去分母得：2x−a=x−1，
解得：x=a−1，
根据题意得：a−1>0且a−1−1≠0，
解得：a>1且a≠2.
故答案为：a>1且a≠2.
将a看做已知数求出分式方程的解得到x的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键．注意分式方程分母不等于0.
11.【答案】68
【解析】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图②，
∵AC=BD=56cm，∠PCA=∠BDQ=30∘，
∴AE=12AC=28cm，
由对称性可知：BF=AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB=28×2+12=68cm，
故答案为：68.
过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出BF与AE的长度，然后求出EF的长度即可得出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．
12.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠F=∠BCE，∠EAF=∠B，
∵CE=EF=4，
∴△BCE≌△AFE(AAS)，
∴BC=AF，
∴AD=AF，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90∘，
∴∠DAC=∠ACB=90∘，
∴AC垂直平分DF，
∴CD=CF=CE+EF=8.
故答案为：8.
四边形ABCD是平行四边形则AD//BC，AD=BC，得到∠F=∠BCE，∠EAF=∠B，由CE=EF=4，则可证明△BCE≌△AFE(AAS)，得到BC=AF，则AD=AF，再证AC垂直平分DF，则CD=CF=CE+EF，即可得到答案．
此题考查了平行四边形性质、垂直平分线的定义和性质、三角形全等的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
13.【答案】18
【解析】解：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，连接CM交射线AD于E，
∵AD平分∠BAC，
∴M必在AB上，
∵F关于AD的对称点为M，
∴ME=EF，
∴EF+EC=EM+EC，
即EM+EC=MC≥PC(垂线段最短)，
∵BC=BA=36，∠C=15∘，
∴∠BAC=∠BCA=15∘，
∴∠PBC=∠BAC+∠BCA=30∘，
∴PC=12BC=18，
即CE+EF的最小值为18
故答案为：18.
根据题意画出符合条件的图形，作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，求出EM+EC=MC，根据垂线段最短得出EM+EC=MC≥PC，求出PC即可得出CE+EF的最小值．
本题考查了平面展开-最短路线问题，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
14.【答案】解：原式=−5 2−7+|−8|
=−5 2−7+8
=−5 2+1.
【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15.【答案】解：解不等式2x−13−5x+12≤1，得：x≥−1，
解不等式5x−1<3(x+1)，得：x<2，
则不等式组的解集为−1≤x<2.
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=4m2n4(3m−2n2)；
(2)原式=x(x2−4xy+4y2)
=x(x−2y)2.
【解析】(1)找到公因式，提取公因式即可；
(2)先提取公因式，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法、公式法是解决本题的关键．
17.【答案】解：(a2−5a+2a+2+1)÷a2−4a2+4a+4，
=a2−5a+2+a+2a+2÷(a+2)(a−2)(a+2)2
=(a−2)2a+2×a+2a−2
=a−2.
把a=2+ 3代入，原式=2+ 3−2= 3.
【解析】通过化除法为乘法、约分进行化简，然后代入求值．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．注意分式有意义的条件．
18.【答案】解：如图所示，直线EF即为所求．

【解析】根据轴对称的性质作出线段AC的垂直平分线即可得．
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和线段中垂线的尺规作图．
19.【答案】证明：∵∠C=∠DFB，
∴AC//DE，
∴∠A=∠EDB，
∵AC=BD，∠A=∠EDB，AB=DE，
∴△ABC≌△DEB(SAS)，
∴∠E=∠ABC.
【解析】由∠C=∠DFB，可得AC//DE，则∠A=∠EDB，证明△ABC≌△DEB(SAS)，进而结论得证．
本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确全等的条件．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可．
本题考查作图-平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)x=−1，x>2;
(2)根据图象可以得到关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集−1(3)∵点C(1,3)，
∴由图象可知，不等式k1x+b1>kx+b的解集是x>1，
∵AB=3，
∴S△ABC=12AB⋅yC=12×3×3=92.
【解析】解：(1)∵一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=−1，关于x的不等式kx+b<0的解集，为x>2，
故答案为x=−1，x>2；
(2)(3)见答案.
(1)利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；
(2)利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
(3)利用三角形面积公式求得即可．
此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
22.【答案】解：(1)设该种冰淇淋第一次进价每支x元，则第二次进价每支(1+20%)x元，
根据题意，得9000(1+20%)x=3000x×2+300，
解得x=5，
经检验，x=5是所列方程的解，
答：该种冰淇淋第一次进价每支5元；
(2)由(1)得第二次购进冰淇淋的数量为90005×(1+20%)=1500(支)，第一次购进冰淇淋的数量为3000÷5=600(支)，
设每支冰淇淋降价y元，
根据题意，得10×200+(1500−200)×(10−y)+600×10−3000−9000≥7700，
解得y≤1，
答：每支冰淇淋至多降价1元．
【解析】(1)设该种冰淇淋第一次进价每支x元，则第二次进价每支(1+20%)x元，根据“购进冰淇淋的数量是第一次的2倍还多300支”列方程求解即可；
(2)设每支冰淇淋降价y元，根据“两次销售的总利润不低于7700元”列不等式求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键．
23.【答案】解：(1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y4−4x2y2
=(x2+2y2)2−(2xy)2
=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2−2xy)；
(2)原式=x2−2ax+a2−a2−b2−2ab
=(x−a)2−(a+b)2
=(x−a+a+b)(x−a−a−b)
=(x+b)(x−2a−b).
【解析】(1)原式变形为x4+4x2y2+4y4−4x2y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得；
(2)原式变形为x2−2ax+a2−a2−b2−2ab，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得．
本题主要考查因式分解，解题的关键是理解题意，灵活运用完全平方公式和平方差公式．