2023-2024学年陕西省渭南市富平县八年级（下）期末数学试卷（A卷）（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年陕西省渭南市富平县八年级（下）期末数学试卷（A卷）（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是( )
A. ac+bcB. 2x−4xyC. ax+yD. −x2+xy
3.如图，在坡角为30∘的斜坡上要栽两棵树，BC⊥AC，要求BC为3m，则AB的长为( )
A. 6m
B. 3 3m
C. 9m
D. 9 3m
4.一个正多边形的内角和为720∘，则这个正多边形的边数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
5.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则关于x的不等式kx+b>x+a的解集是( )
A. x>−2
B. x<−2
C. x≤−2
D. x≥−2
6.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上.下列条件中不一定能判定四边形AECF是平行四边形的是( )
A. ∠BAE=∠DCFB. ∠AFD=∠CEB
C. AE=CFD. OE=OF
7.新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能.小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是( )
A. 600kmB. 500kmC. 450kmD. 400km
8.如图，在△AOB中，OA=OB=8，点C的坐标为(0,2)，点P是OB上一动点，连接CP，将CP绕C点逆时针旋转90∘得到线段CD，使点D恰好落在AB上，则点D的坐标为( )
A. (2,4)
B. (6,2)
C. (2,5)
D. (2,6)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.如图，DE是△ABC的中位线，若DE=10，则AC的长为______.
10.如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，若△ABC的周长为8cm，则四边形ABC′A′的周长为______cm.
11.若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是______.
12.若关于x的方程1−4x+2=kxx+2有增根，则k的值为______.
13.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF//BC交CE的延长线于F.则四边形AFBD的面积为______.
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
分解因式：x(x−y)2−y(y−x)2.
15.(本小题5分)
解分式方程：2x+3x−2−2=x−12−x.
16.(本小题5分)
已知a+b=4，若b≤−1，求a的取值范围.
17.(本小题5分)
将两个完全相同的含有30∘角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，其中点A，E，B，D依次在同一直线上，连接AF，CD.求证：四边形AFDC是平行四边形.
18.(本小题5分)
尺规作图(保留作图痕迹).如图，在∠ABC内求作一点P，使P到∠ABC两边的距离相等，且PG=PH.
19.(本小题5分)
解不等式组：{x−1>2①2x+13⩾1②，并把解集在数轴上表示出来.
20.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−2,1)，C(−1,3).
(1)若点C1的坐标为(4,0)，画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1；(点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1)
(2)若△ABC绕着坐标原点O按逆时针方向旋转90∘得到A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出B2的坐标.(点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2)
21.(本小题6分)
先化简，再求值：x+2x2−4÷xx2−4x+4，其中x=5.
22.(本小题7分)
在四边形ABCD中，AD//BC.连结对角线AC，BD交于点E，且AE=CE.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AC⊥BC，已知AB=5，AC=4，求BD的长.
23.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，以BC为边向三角形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60∘后得到△ECD，若AB=4，AC=2.
(1)求∠ADE的度数；
(2)AD的长.
24.(本小题8分)
观察下列等式，并回答问题.
4×1=22−02，4×2=32−12，4×3=42−22，4×4=52=32，…
(1)用含有字母n(n≥1且n是整数)的等式表示这一规律，并用因式分解的方法验证这一规律；
(2)相邻的两个正整数的平方差一定是4的倍数吗？请用因式分解的方法说明你的理由.
25.(本小题8分)
每年的6、7月，各种夏季水果相继成熟，也是水果销售的旺季.某商家抓住商机，在6月份主推甲、乙两种水果的销售.已知6月份甲种水果的销售总额为12000元，乙种水果的销售总额为9000元，乙种水果每千克的售价是甲种水果每千克的售价的1.5倍，乙种水果的销售数量比甲种水果的销售数量少1000kg.
(1)求6月份甲种水果的售价是每千克多少元？
(2)7月份，该商家准备销售甲、乙两种水果共5000kg为了加大推销力度，将甲种水果的售价在6月份的基础上下调了30%，乙种水果售价在6月份的基础上打六折销售.要使7月份的总销售额不低于23400元，则该商家至多要卖出甲种水果多少千克？
26.(本小题10分)
【问题背景】
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E是AB边的中点，点F是AD边的中点，连接EF并延长到点G，EF=FG，连接DG.
【初步探究】
(1)如图1，求证：四边形BEGD是平行四边形；
【拓展延伸】
(2)如图2，连接DE、BF、CG，若AC=BF，CD=DF，在不添加任何辅助线的情况下，探究BD、EG、AD、CG之间有怎样的数量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判定．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．(1)如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．(2)如果一个图形绕某一点旋转180∘后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2.【答案】C
【解析】解：ac+bc=c(a+b)，则A不符合题意；
2x−4xy=2x(1−2y)，则B不符合题意；
ax+y无法因式分解，则C符合题意；
−x2+xy=−x(x−y)，则D不符合题意；
故选：C.
将各式因式分解后进行判断即可．
本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=3m，
则AB=2BC=6(m)，
故选：A.
根据含30度角的直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，熟记在直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：(n−2)×180∘=720∘，
n−2=4，
∴n=6.
故选：B.
根据正多边形的内角和公式(n−2)×180∘列方程求解．
此题主要考查了多边形的内角和，关键是掌握多边形的内角和为(n−2)×180∘.
5.【答案】B
【解析】解：不等式kx+b>x+a的解集是x<−2.
故选：B.
不等式kx+b>x+a的解集：是一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图象的上边部分，对应的x的取值范围，据此即可解答．
本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系，理解不等式kx+b>x+a的解集是：一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图象的上边部分，对应的x的取值范围是关键．
6.【答案】C
【解析】解：在▱ABCD中，∵AB//CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE=CF，
∵AO=CO，BO=DO，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
同理∵∠AFD=∠CEB，
∴△ADF≌△CBE(AAS)，
∴∠AFD=∠CEB，AF=CE，
∴∠AFO=∠CEO，
∴AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故选：C.
根据全等三角形的判定和性质和平行四边形的判定和性质即可得到结论．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，对角线互相平分的四边形是平行四边形是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设两台汽车的续航里程是x千米，
由题意可得，40×9x=60×0.6x+0.54，
解得：x=600，
故选：A.
设两台汽车的续航里程是x千米，根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元列等式求解即可得到答案．
本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解．
8.【答案】D
【解析】解：过点D作y轴的垂线，垂足为M，
由旋转可知，
CD=CP，∠DCP=90∘，
∴∠DCM+∠PCO=90∘，
又∵∠PCO+∠CPO=90∘，
∴∠DCM=∠CPO.
在△DCM和△CPO中，
∠DMC=∠COP∠DCM=∠CPOCD=CP，
∴△DCM≌△CPO(AAS)，
∴DM=CO.
∵点C的坐标为(0,2)，
∴DM=OC=2.
∵OA=OB，∠AOB=90∘，
∴∠BAO=45∘，
∴∠BAO=∠ADM=45∘，
∴AM=DM=2，
∴MO=8−2=6，
∴点D的坐标为(2,6).
故选：D.
过点D作y轴的垂线，构造出全等三角形即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化-旋转及等腰三角形性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】20
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC，
∴AC=2DE，
∵DE=10，
∴AC=20，
故答案为：20.
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】10
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，
∴AA′=CC′=1(cm)，AC=A′C′，
∴四边形ABC′A′的周长=AB+(BC+CC′)+C′A′+AA′=AB+BC+AC+AC′+CC′，
∵△ABC的周长=8cm，
∴AB+BC+AC=8(cm)，
∴四边形ABC′A′的周长=8+1+1=10(cm).
故答案为：10.
据平移的性质可得AA′=CC′=1，AC=A′C′，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
11.【答案】14
【解析】解：不等式的解集是：x≤a−23，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
∴4≤a−23<5，
∴a的取值范围是14≤a<17.
∴整数a的最小值是14.
故答案为：14.
首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定a−23的范围是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．
12.【答案】2
【解析】解：将关于x的方程1−4x+2=kxx+2的两边都乘以x+2，得
x+2−4=kx，
由于关于x的方程1−4x+2=kxx+2有增根，而增根是x=−2，
把x=−2代入得，
−2+2−4=−2k，
解得k=2.
故答案为：2.
将分式方程去分母化为整式方程，再将分式方程的增根x=−2代入计算即可．
本题考查分式方程的增根，理解分式方程增根的定义，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．
13.【答案】12
【解析】解：∵AF//BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∠AFC=∠FCD∠AEF=∠DECAE=DE
∴△AEF≌△DEC(AAS).
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90∘，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12.
故答案为：12
由于AF//BC，从而易证△AEF≌△DEC(AAS)，所以AF=CD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，所以S四边形AFBD=2S△ABD，又因为BD=DC，所以S△ABC=2S△ABD，所以S四边形AFBD=S△ABC，从而求出答案．
本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
14.【答案】解：原式=x(x−y)2−y(x−y)2=(x−y)3.
【解析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15.【答案】解：原方程去分母得：2x+3−2x+4=1−x，
解得：x=−6，
检验：当x=−6时，x−2≠0，
故原方程的解为x=−6.
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
16.【答案】解：由a+b=4得b=4−a.
∵b≤−1，
∴4−a≤−1，
∴a≥5.
【解析】根据已知条件可以求得b=4−a，然后将b的值代入不等式b≤−1，通过解该不等式即可求得a的取值范围．
本题考查的是不等式的基本性质和一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解答本题的关键．
17.【答案】证明：由题意可知△ACB≌△DFE，
∴AC=DF，∠CAB=∠FDE=30∘，
∴AC//DF，
∴四边形AFDC是平行四边形．
【解析】由题意可知△ACB≌△DFE，进而可得AC=DF，AC//DF，则可求证结论．
本题考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
18.【答案】解：如图，点P即为所求．

【解析】连接GH，作出线段GH的垂直平分线和∠ABC的平分线，线段GH的垂直平分线和∠ABC的平分线的交点即为点P.
本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
19.【答案】解：{x−1>2①2x+13⩾1②，
解①，得x>3，
解②，得x≥1.
所以原不等式组的解集为：x>3.
解集在数轴上表示为：

【解析】分别求出组中各不等式的解集，借助数轴得结论．
本题考查了解不等式组，掌握一元一次不等式的解法和解一元一次不等式的一般步骤是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，B2的坐标为(−1,−2).
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图-旋转变换变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：x+2x2−4÷xx2−4x+4
=x+2(x+2)(x−2)⋅(x−2)2x
=1x−2⋅(x−2)2x
=x−2x，
当x=5时，原式=5−25=35.
【解析】先把除法化为乘法，再把x=5代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BCE，
在△DAE与△BCE中，
∠DAE=∠BCEAE=CE∠AED=∠CEB，
∴△DAE≌△BCE(ASA)，
∴BE=DE，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE=DE，CE=AE=2，
∵AC⊥BC，AB=5，AC=4，
∴BC= AB2−AC2= 52−42=3，
∴BE= BC2+CE2= 32+22= 13，
∴BD=2BE=2 13.
【解析】(1)根据ASA证明△ADE与△BCE全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可；
(2)根据勾股定理得出BC=3，进而利用平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质与判定，关键根据ASA证明△ADE与△BCE全等解答．
23.【答案】解：(1)∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60∘后得到△ECD，
∴∠ADE=60∘；
(2)∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60∘后得到△ECD，
∴∠ADE=60∘，AD=DE，
∴△ADE是等边三角形，
四边形ABDC中，∠BAC=120∘，∠BDC=60∘，
∠ABD+∠ACD=360∘−120∘−60∘=180∘，
∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60∘后得到△ECD，
∴∠ECD=∠ABD，
∴∠ECD+∠ACD=180∘，即∠ACE=180∘，
∴A、C、E三点共线，
即E和E′重合，
∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60∘后得到△ECD，AB=4，AC=2，
∴EC=AB=4，AD=DE，∠ADE=60∘，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE=2+4=6.
【解析】(1)根据旋转的性质得出∠ADE的度数等于旋转角的度数．
(2)求出A、C、E三点共线，根据旋转的性质得出EC=AB=4，AD=DE，∠ADE=60∘，求出△ADE是等边三角形，即可得出答案．
本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
24.【答案】解：(1)由题意可知；4n=(n+1)2−(n−1)2，
证明：右边=(n+1)2−(n−1)2
=[(n+1)+(n−1)][(n+1)−(n−1)]
=2n×2=4n=左边．
(2)相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下；设相邻的两个整数分别为：a，a+1，a≥1，
根据题意可知；(a+1)2−a2
=(a+1+a)(a+1−a)
=2a+1，
∵a为a≥1的整数，
∴2a+1为奇数，
∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数．
【解析】(1)利用整式的运算法则即可验证；
(2)根据题意列出式子即可求证．
本题考查了因式分解的应用，列代数式，解题的关键掌握相关运算．
25.【答案】解：(1)设6月份甲种水果的售价是x元，则6月份乙种水果的售价为1.5x元，
依题意得：12000x−90001.5x=1000，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．
答：6月份甲种水果的售价是6元；
(2)设该商家要卖出甲种水果m kg，则要卖出乙种水果(5000−m)kg，
依题意得：6×(1−30%)m+1.5×6×0.6(5000−m)≥23400，
解得：m≤3000.
答：该商家至多要卖出甲种水果3000kg.
【解析】(1)设6月份甲种水果的售价是x元，则6月份乙种水果的售价为1.5x元，根据数量=总价÷单价，结合乙种水果的销售数量比甲种水果的销售数量少1000kg，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设该商家要卖出甲种水果m kg，则要卖出乙种水果(5000−m)kg，根据总价=单价×数量，结合7月份的总销售额不低于23400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(3)利用总利润=每千克的利润×销售数量，求出商家获得的利润．
26.【答案】(1)证明：∵点E是AB边的中点，点F是AD边的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF//BD，BD=2EF，
∵EF=FG，EG=EF+FG，
∴BD=EG，
∴四边形BEGD是平行四边形；
(2)解：BD=EG=AD=2CG，理由如下：
∵AD⊥BD，
∴∠BDF=∠ADC=90∘，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
BG=ACDF=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，
∴BD=AD，CD=DF=2AD，BD=EG=2FG，
∴CD=FG，
∵FG//CD，
∴四边形CDFG是平行四边形，
∴CG=DF=12AD，
∴BD=EG=AD=2CG.
【解析】(1)由三角形中位线定理得出EF//BD，BD=2EF，结合题意求出BD=EG，即可得证；
(2)证明Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，得出BD=AD，由CD=DF=12ADBD=EG=2FG，得出CD=FG，证明四边形CDFG是平行四边形，得出CG=DF=12AD即可得证．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．