2023-2024学年广东省茂名市高州市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市高州市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−32的倒数是( )
A. 32B. 23C. −23D. 2
2.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列各式变形中，是因式分解的是( )
A. a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1B. 2x2+2x=2x2(1+1x)
C. (x+2)(x−2)=x2−4D. x2−1=(x+1)(x−1)
4.解不等式组{3−x<2x+12①2x⩽10②时，将不等式①②的解集表示在同一条数轴上，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象.如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为( )
A. 1080∘
B. 900∘
C. 720∘
D. 540∘
6.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A. AO=OC，OB=ODB. ∠ABC=∠ADC，AD//BC
C. AB=DC，AD//BCD. AB=DC，AD=BC
7.一次函数y=kx+b和y=mx+n的图象如图所示，三位同学根据图象得到了下面的结论：
甲：关于x，y的二元一次方程组y=kx+by=mx+n的解是x=−3y=2；
乙：关于x的一元一次方程kx+b=mx+n的解是x=−2；
丙：关于x的一元一次方程mx+n=0的解是x=−5.
丁：关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是x≥−3；
四人中，判断正确的是( )
A. 甲，丙B. 甲，丙，丁C. 乙，丙D. 乙，丙，丁
8.将关于x的分式方程3x−2−1x=0去分母可得( )
A. 3x+(x−2)=0B. 3x−(x−2)=0C. 3(x−2)+x=0D. 3(x−2)−x=0
9.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为( )
A. 14 1020
B. 14 1010
C. 7 1020
D. 7 1010
10.如图，O是等边△ABC内一点，OA=6，OB=8，OC=10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60∘得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60∘得到；
②点O与O′的距离为6；
③∠AOB=150∘；
④S四边形AOBO′=24+12 3；
⑤S△BOC=12+16 3.
其中正确的结论有( )个.
A. 5B. 4C. 3D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：3a2−2a=______.
12.如图，在△ABC中，∠B=30∘，∠C=50∘，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是______.
13.点P(5m−1,1)在第二象限，则m的取值范围是______.
14.如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A(−3,4)的对应点是A1(2,5)，则点B(−4,2)的对应点B1的坐标是______.
15.如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=15，S3=1，则S1的值是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解不等式组：x+1>01−12x≥0，并求不等式组最小的整数解；
(2)解方程：1x−1+1=32x−2.
17.(本小题7分)
定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，CD=6，求AD2+BC2.
18.(本小题7分)
在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)△A2B2C2可看作△A1B1C1以点(______，______)为旋转中心，旋转180∘得到的.
19.(本小题9分)
【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容.
(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程.
(2)【性质应用】如图2，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE=OF.
(3)【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接AF.若EF⊥AC，△ABF的周长是9，则▱ABCD的周长是______.
20.(本小题9分)
某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同.
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
21.(本小题9分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使得AB=2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF于DE交于点O.
(1)证明：AF与DE互相平分；
(2)如果AB=6，BC=10，求DO的长．
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(52,2)，B(4,0)
(1)求直线AB的表达式；
(2)在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形；
(3)是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出点P、Q的坐标；若不存在，试说明理由．
23.(本小题12分)
已知正方形ABCD中，∠MAN=45∘，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于M，N.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1所示)，并将△ABM逆时针旋转90∘，得到△ABM′，求证BM+DN=MN；
(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2所示)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
(3)当∠MAN绕点A旋转到(如图3所示)的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−32×(−23)=1，
∴实数−32的倒数是−23，
故选：C.
根据倒数的定义可直接进行求解．
本题主要考查实数与倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C.
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】D
【解析】解：A.a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B. 2x2+2x=2x2(1+1x)中1x不是整式，故B错误；
C.(x+2)(x−2)=x2−4是整式乘法，故C错误；
D.x2−1=(x+1)(x−1)，故D正确．
故选：D.
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
4.【答案】C
【解析】解：{3−x<2x+12①2x⩽10②，
解不等式①，得：x>−3，
解不等式②，得：x≤5，
∴该不等式组的解集是−3其解集在数轴上表示如下：
，
故选：C.
先解出每个不等式组的解集，然后即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示出不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
5.【答案】A
【解析】解：∵正八边形的内角和为：
(8−2)×180∘
=6×180∘
=1080∘，
∴正八边形的窗户它的内角和为1080∘，
故选：A.
根据多边形的内角和公式，求出正八边形的内角和即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，解题关键是熟练掌握利用多边形内角和公式求出正八边形的内角和．
6.【答案】C
【解析】解：A.根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意；
B.∵AD//BC，
∴∠ADC+∠DCB=180∘，∠ABC+∠DAB=180∘，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠DCB=∠DAB，
∴可根据两组对角分别相等的四边形为平行四边形，判定四边形ABCD为平行四边形，故B不符合题意；
C.一组对边相等，另一组对边平行，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故C符合题意；
D.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故D不符合题意；
故选：C.
根据所给条件逐项进行判断即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
7.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=kx+b和y=mx+m的图象相交于(−3,2)，
∴关于x，y的二元一次方程组y=kx+b,y=mx+n 的解是x=−3y=2，故甲说法正确；
∴关于x的一元一次方程kx+b=mx+n的解是x=−3，故乙说法错误；
∵直线y=mx+n与x轴交点坐标是(−5,0)，
∴关于x的一元一次方程mx+m=0的解是x=−5，故丙说法正确；
∵一次函数y=kx+b和y=mx+m的图象相交于(−3,2)，
∴关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是x≥−3，故丁说法正确．
综上，四人中判断正确的是甲，丙，丁.
故选：B.
根据y=kx+b和y=mx+m的图象的交点坐标即为y=kx+b,y=mx+n 的解，可判定甲说法；根据两直线交点横坐标为方程kx+b=mx+n的解，可判定乙说法；根据直线与x轴交点的横坐标即为mx+m=0的解，可判定丙说法；根据两直线交点，结合图象可得不等式kx+b≤mx+n的解集，可判定丁说法．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与不等式的关系，掌握一次函数与方程(组)、不等式的关系是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：原方程两边同乘x(x−2)得：3x−(x−2)=0，
故选：B.
原方程两边同乘x(x−2)即可求得答案．
本题考查解分式方程-去分母，找到正确的最简公分母是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由题可得：
S△ABC=3×3−1×3×12−2×3×12−1×2×12=72，
BC= 12+32= 10，
∴AD× 10×12=72，
解得：AD=7 1010，
故选：D.
根据题意利用割补法求得△ABC的面积，利用勾股定理算出BC的长，再利用等面积法即可求得AD的长．
本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：在△BO′A和△BOC中，BO′=BO，∠O′BA=∠OBA，BA=BC.
∴△ABO′≌△BOC(SAS).
∴O′A=OC.
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60∘得到，①正确；
如图，连接OO′，
根据旋转的性质可知△BOO′′是等边三角形，.点O与O′的距离为8，②错误；
∵∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90∘+60∘=150∘，③正确；
在△AOO′′中，AO=6，OO′=8，AO′=10，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90∘.
∴Rt△AOO′ ′面积为12×6×8=24，
∵等边△BOO′面积为12×8×4 3=16 3，
∴四边形AOBO′的面积为24+16 3，④错误；
延长AO，过点O作BD⊥AO，
∵∠AOB=150∘，
∴∠BOD=30∘，
∴BD=4，
∴△ABO的面积为12×6×4=12，
∴S△BOC=S△BO′A=S四边形AOBO′−S△AOB=24+16 3−12=12+16 3.故⑤正确．
故选：C.
①)证明△BO′A≌△BOC即可说明△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60∘得到；
②根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，则点O与O′的距离为8，②不正确；
③∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90∘+60∘=150∘，③正确；
④利用四边形AOBO′的面积=等边△BOO′面积+Rt△AOO面积，进行计算即可判断；
⑤根据△AO′B面积+△AOB面积=四边形AO′BO面积即可求解．
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
11.【答案】a(3a−2)
【解析】解：3a2−2a=a(3a−2)
故答案为：a(3a−2).
提取公因式进行因式分解即可作答．
本题考查了因式分解，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
12.【答案】35∘
【解析】解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=30∘，
∵∠B=30∘，∠C=50∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=180∘−30∘−50∘=100∘，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=100∘−30∘=70∘，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=12∠CAD=12×70∘=35∘，
故答案为：35∘.
由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD=30∘，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
13.【答案】m<0.2
【解析】解：∵P(5m−1,1)在第二象限，
∴5m−1<0，
解得m<0.2，
故答案为：m<0.2.
根据点在第二象限，为(−,+)，进行列式化简，即可作答．
本题考查了点的坐标，解一元一次不等式，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键．
14.【答案】(1,3)
【解析】解：∵点A(−3,4)的对应点是A1(2,5)，
∴点B(−4,2)的对应点B1的坐标是(1,3).
故答案为：(1,3).
根据点A(−3,4)的对应点是A1(2,5)，可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单位至A1，进而可以解决问题．
本题考查了坐标与图形变化-平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．
15.【答案】9
【解析】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴S1=(CG+DG)2
=CG2+DG2+2CG⋅DG
=GF2+2CG⋅DG，
S2=GF2，
S3=(NG−NF)2=NG2+NF2−2NG⋅NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG⋅DG+GF2+NG2+NF2−2NG⋅NF=3GF2=15，
∴GF2=5，
∴S2=5，
∵S3=1，
∴S1的值是9.
故答案为：9.
根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据S1=(CG+DG)2，S2=GF2，S3=(NG−NF)2，S1+S2+S3=27得出3GF2=27，求出GF2的值即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GF2=27是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1){x+1>0①1−12x⩾0②，
由①得x>−1，
由②得x≤2，
∴不等式组的解集为−1(2)解方程1x−1+1=32x−2，
去分母得：2+2x−2=3，
解得，x=32，
检验，当x=32时，x−1≠0，
∴原方程的解为x=32.
【解析】(1)先求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可求出不等式组的解集，根据不等式组的解集即可求得最小的整数解；
(2)先去分母，将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．
17.【答案】解：∵四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴AC⊥BD，
则AD2+BC2=OA2+OD2+OC2+OB2=AB2+CD2，
∵AB=5，CD=6，
∴AD2+BC2=AB2+CD2=52+62=25+36=61.
【解析】根据“垂美”四边形的定义得AD2+BC2=OA2+OD2+OC2+OB2=AB2+CD2，代入AB=5，CD=6进行计算，即可作答．
本题考查了勾股定理，关键是勾股定理的熟练应用．
18.【答案】−20
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点C1的坐标为(−1,2).
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
点C2的坐标为(−3,−2).
(3)连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点M，
则△A2B2C2可看作△A1B1C1以点M为旋转中心，旋转180∘得到的，
由图可知，点M的坐标为(−2,0).
故答案为：−2；0.
(1)根据平移的性质作图，即可得出答案．
(2)根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
(3)连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点M，则△A2B2C2可看作△A1B1C1以点M为旋转中心，旋转180∘得到的，即可得出答案．
本题考查作图-平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】18
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
∠BAO=∠DCOAB=CD∠ABO=∠CDO，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴OA=OC，OB=OD；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AD//BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，
在△DEO和△BFO中，
∠EDO=∠FBO∠DEO=∠BFOOB=OD，
∴△DEO≌△BFO(AAS)，
∴OE=OF；
(3)解：如图2，∵△DEO≌△BFO，
∴BF=DE，OE=OF，
∵EF⊥AC，即AC垂直平分EF，
∴AE=AF，
∴AE+DE=AF+BF，
∴△ABF的周长=AB+AF+BF=AB+AE+DE=AB+AD=9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2×9=18，
故答案为：18.
(1)由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，则∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，再由ASA证得△ABO≌△CDO，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得出OB=OD，AD//BC，则∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，再由AAS证得△DEO≌△BFO，即可得出结论；
(3)由△DEO≌△BFO，得出BF=DE，OE=OF，证AC垂直平分EF，得出AE=AF，则AE+DE=AF+BF，推出△ABF的周长=AB+AD，再由平行四边形的性质即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质与判定等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
20.【答案】解：(1)设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是(x−200)元．
根据题意：2000x=1200x−200，
解这个方程，得：x=500，
经检验，x=500是原方程的根，
∴x−200=300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
(2)设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型(40−m)台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40−m≤3m，
解得：m≥10，
w=500m+300×(40−m)，
即：w=200m+12000，
∵200>0，
∴w随m的减小而减小．
当m=10时，w取得最小值14000，
∴40−m=30，
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是14000元．
【解析】(1)根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解；
(2)先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解．
本题考查了分式方程的应、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，找到相等关系是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵BE=EC，AF=FC，
∴EF//AB，AB=2EF，
∵AB=2AD，
∴AD=EF，AD//EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
(2)解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=90∘，AB=6，BC=10，
∴AC= 102−62=8，
∵EF=12AB=3，
∴OA=OF=14QC=2，
∴OD=OE= 32+22= 13.
【解析】(1)证明四边形ADFE是平行四边形即可．
(2)利用勾股定理求出AC，OE即可解决问题．
本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)设直线AB解析式为y=kx+b，把点A(52,2)，B(4,0)代入得52k+b=24k+b=0，
解得k=−43b=163，
∴直线AB解析式为y=−43x+163.
(2)如图1中，
①当AB=AC时，点C坐标(1,0).
②当BC′=BA或BC′′=BA时，
∵AB= 22+(32)2=52，
∴点C′(132,0)，C′′(32,0)，
综上所述，当△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形时，点C坐标为(1,0)或(132,0)或(32,0).
(3)如图2中，存在．
①当AB为平行四边形的边时，P1(32,0)，Q1(0,2)或P3(−32,0)，Q3(0,−2).
②当AB为平行四边形的对角线时，P2(132,0)，Q2(0,2).
【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题．
(2)如图1中，①当AB=AC时，②当BC′=BA或BC′′=BA时，画出图形即可解决问题．
(3)如图2中，存在．分两种情形讨论即可．①当AB为平行四边形的边时，②当AB为平行四边形的对角线时，分别求出P、Q坐标即可．
本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)证明：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADN=∠BAD=90∘，
∵∠MAN=45∘，
∴∠BAM+∠DAN=90∘−45∘=45∘，
由题意得：△ABM≌△ADM′，
∴∠ADM′=∠B=90∘，∠DAM′=∠BAM，AM=AM′，
∴∠ADN+∠ADM′=180∘，
∴N，D，M′三点共线，
∵∠NAM′=∠DAN+∠DAM′=45∘=∠MAN，
∵AN=AN，
∴△MAN≌△M′AN(SAS)，
∴MN=NM′，
∵NM′=DN+DM′，DM′=BM，
∴BM+DN=MN；
(2)解：猜想：BM+DN=MN，理由如下：
如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，
在△ABE和△ADN中，
AB=AD∠ABE=∠DBE=DN，
∴△ABE≌△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∵∠BAD=90∘，∠MAN=45∘，
∴∠BAM+∠DAN=45∘，
∴∠EAB+∠BAM=45∘，
∴∠EAM=∠NAM，
同理得：△AEM≌△ANM(SAS)，
∴ME=MN，
又ME=BE+BM=BM+DN，
∴BM+DN=MN；
(3)解：DN−BM=MN，理由如下：
如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF，
△ABM和△ADF中，
AB=AD∠ABM=∠DBM=DF，
∴△ABM≌△ADF(SAS)，
∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90∘，即∠MAF=∠BAD=90∘，
∵∠MAN=45∘，
∴∠MAN=∠FAN=45∘，
在△MAN和△FAN中，
AM=AF∠MAN=∠FANAN=AN，
∴△MAN≌△FAN(SAS)，
∴MN=NF，
∴MN=DN−DF=DN−BM，
∴DN−BM=MN.
【解析】(1)先证明N，D，M′三点共线，根据SAS证明△MAN≌△M′AN，则MN=NM′，可得出结论；
(2)如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；
(3)如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN−BM=MN.
本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和与差等，在(1)中证得△MAN≌△M′AN是解题的关键，在(2)、(3)中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点不多，但三角形全等的构造难度较大．平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分.我们可以用演绎推理证明这个结论.
已知：如图1，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.