2023-2024学年河南省南阳市南召县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市南召县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使分式1x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1B. x≠1C. x=1D. x≠0
2.华为Mate60系列的上市代表着国产芯片的突破.华为Mate60搭载的芯片麒麟9000S是华为自家研发的，采用了5nm制程工艺，拥有更高的性能和更低的功耗.5nm=0.000000005m，则数字0.000000005用科学记数法表示为( )
A. 5×10−8B. 0.5×10−8C. 5×10−9D. 5×10−10
3.已知一组数据：1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
4.下列性质菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A. 对角线相等B. 对边平行且相等C. 对角线垂直D. 两组对角分别相等
5.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
6.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60∘，AB=2，则AC的长是( )
A. 2
B. 4
C. 2 3
D. 4 3
7.如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0,2)，(−4,−4)，(4,−4)，则顶点D的坐标是( )
A. (−8,2)
B. (8,−4)
C. (4,2)
D. (8,2)
8.如图是同一直角坐标系中函数y1=2x和y2=2x的图象．观察图象可得不等式2x>2x的解集为( )
A. −1B. x<−1或x>1
C. x<−1或0D. −11
9.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为( )
A. 2.4cm
B. 4.8cm
C. 5cm
D. 9.6cm
10.对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算.例如：1⊗3=11−32=−18.则方程x⊗2=2x−4−1的解是( )
A. x=4B. x=5C. x=6D. x=7
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.mm2−1−1m2−1的运算结果是______.
12.请写出一个图象有经过第二、四象限的函数解析式：______.(填一次函数或反比例函数)
13.你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这个四边形一定是______(填形状).
14.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B−C−D−A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为3cm/s，设点P的运动时间为t(s)，△PAB的面积为y(cm2)，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为______cm2.
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD//x轴，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(1,0)，D(0,2)，则k的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(14)−1−(π−3)0+x−11−x；
(2)化简：(x−1x)÷x2−2x+1x2−x.
17.(本小题9分)
校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查.相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表.
甲、乙两家公司套餐得分表
甲、乙两家公司套餐得分统计表
根据以上信息，请回答下列问题：
(1)a=______，b=______，c=______.
(2)从方差的角度看，______公司套餐的得分较稳定.(填“甲”“乙”)
(3)你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由.
18.(本小题9分)
如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF.
(1)填空：∠B=______度；
(2)求证：四边形AECF是矩形．
19.(本小题9分)
善于思考喜欢探索的小明在研究平面直角坐标系中两点间的距离时，利用勾股定理，通过数形结合发现(如图).平面内的任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的距离，满足AB= AC2+BC2= (x2−x1)2+(y2−y1)2经小明查阅资料得知，以上发现是成立的.
在平面直角坐标系中，AB= AC2+BC2= (x2−x1)2+(y2−y1)2叫做A(x1,y1)，B(x2,y2)两点的距离公式.请你根据数形结合的思想和所学知识，解决以下问题
(1)A(3,0)，B(0,4)两点的距离为______；
(2)E(2,3)，F(4,−2)两点的距离为______；
(3)已知△ABC的顶点坐标为A(3,4)，B(0,5)，C(−1,2)，请判断此三角形的形状，并说明理由.
20.(本小题9分)
【感知】如图①，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交边AD、BC于点E、F，易证：OE=OF(不需要证明)；
【探究】如图②，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交边BA、DC的延长线于E、F，求证：OE=OF；
【应用】如图③，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交边BA、DC的延长线于E、F，连接DE、BF，若AB=2AE，△AOE的面积为1，则四边形BEDF的面积为______.
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1,0)，(0,2).直线y=2x+6交x轴于点C，交y轴于点D，直线AB与直线CD相交于点P.
(1)直线AB的表达式为______；
(2)点P的坐标为______，连接 OP，则：S△APO=______；
(3)若线段CD上存在一点E，使得2PE=CE，求点E的坐标.
22.(本小题10分)
河南是华夏文明的发源地，承载着丰富的非物质文化遗产其中，龙文化独具魅力，河南的非遗项目中，舞龙、剪纸龙、泥塑龙、钧瓷、汝瓷中，具有龙元素的工艺品各具特色，深受人们的喜爱.某商场决定购进一批剪纸龙和泥塑龙进行销售，已知每套泥塑龙的进价是每套剪纸龙进价的2倍，现用1500元购进泥塑龙的数量比用1200元购进剪纸龙的数量少15套.
(1)求每套剪纸龙和泥塑龙的进价分别为多少元？
(2)现商场决定用1500元购进剪纸龙和泥塑龙，且购进剪纸龙的数量不超过泥塑龙的一半，则购进泥塑龙至少多少套？
(3)在(2)的条件下，该商场每套剪纸龙的售价为50元，每套泥塑龙的售价为90元，则如何安排进货，才能让商场获得最大利润？
23.(本小题10分)
已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立.
(1)如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：要使分式1x−1有意义，则x−1≠0，
解得：x≠1.
故选：B.
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：0.000000005=5×10−9，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意得：15(1+x+3+5+6)=5，解得：x=5，
则众数是5.
故选：B.
首先利用平均数的定义求得x的值，然后利用众数的定义即可求得众数．
本题考查了平均数与众数的定义，根据平均数的定义求得x的值是关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故选：C.
根据菱形的性质、矩形的性质判断即可．
本题考查的是菱形的性质、矩形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直、矩形的对角线相等但不一定垂直是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
随着时间的增多，蜡烛的高度就越来越小，由于时间和高度都为正值，所以函数图象只能在第一象限，由此即可求出答案．
本题主要考查函数的图象的知识点，解答时应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．
【解析】
设蜡烛点燃后剩下h厘米时，燃烧了t小时，
则h与t的关系是为h=20−5t，是一次函数图象，即t越大，h越小，
符合此条件的只有D.
故选：D.
6.【答案】B
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AO=12AC，BO=12BD，AC=BD，
∴AO=BO，
又∵∠AOB=60∘，
∴△AOB为等边三角形，
∴AC=2AB=4.
故选：B.
本题的关键是本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质即锐角三角函数关系求长度．
本题考查了矩形的性质和锐角三角函数关系，具有一定的综合性，难度不大属于基础性题目．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD//AB，
∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(0,2)、(−4,−4)、(4,−4)，
∴BC=8，OA=2，
∴顶点D的坐标为(8,2).
故选：D.
根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标．
此题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由图象可知，函数y1=2x和y2=2x的交点横坐标为−1，1，
∴当−11时，y1>y2，即2x>2x.
故选：D.
结合图象，观察得出y1=2x的图象在y2=2x的图象上方时x的取值范围即可．
本题主要考查一次函数和反比例函数的图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解题是关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示：因为四边形ABCD是菱形，
所以OA=12AC=4cm，OB=12BD=3cm，AC⊥BD，
所以AB= OA2+OB2= 42+32=5(cm)，
因为菱形ABCD的面积=AB⋅DE=12AC⋅BD=12×8×6=24(cm2)，
所以DE=245=4.8(cm)；
故选：B.
先由菱形的性质和勾股定理求出边长，再根据菱形面积的两种计算方法，即可求出菱形的高．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出边长是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：已知等式整理得：1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2−x+4，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选：B.
已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11.【答案】1m+1
【解析】解：原式=mm2−1−1m2−1
=1m+1.
故答案为：1m+1.
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
12.【答案】y=−1x
【解析】解：∵反比例函数位于二、四象限，
∴k<0，
解析式为：y=−1x.
故答案为：y=−1x.
位于二、四象限的反比例函数比例系数k<0，据此写出一个函数解析式即可．
本题考查了反比例函数的性质，要知道，对于反比例函数y=kx(k≠0)，(1)k>0，反比例函数图象在一、三象限；(2)k<0，反比例函数图象在第二、四象限内．
13.【答案】菱形
【解析】解：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形，
那么所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边，即四条边都相等，
故此四边形是菱形．
故答案为：菱形．
直接利用折叠方法结合菱形的判定方法分析得出答案．
本题主要考查了剪纸问题以及菱形的判定，掌握菱形的判定是解题的关键．
14.【答案】54
【解析】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，
当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间t的增大而增大，
由图2知，当t=2时，点P到达点C处，
∴BC=2×3=6(cm)；
当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为5−2=3(s)，
∴CD=3×3=9(cm)，
∴长方形ABCD面积=BC×CD=6×9=54(cm2).
故答案为：54.
根据△ABP的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，再根据矩形面积公式计算即可解答．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽．
15.【答案】5
【解析】解：∵BD//x轴，D(0,2)，
∴B、D两点纵坐标相同，都为2，
∴可设B(x,2).
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB=90∘.
∴E(12x,2).
∵∠DAB=90∘，
∴AD2+AB2=BD2，
∵A(1,0)，D(0,2)，B(x,4)，
∴12+22+(x−1)2+22=x2，
解得x=5，
∴E(52,2).
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点E，
∴k=52×2=5.
故答案为5.
根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B(x,2).利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90∘.根据线段中点坐标公式得出E(12x,2).由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程12+22+(x−1)2+22=x2，求出x，得到E点坐标，利用待定系数法求出k.
本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(14)−1−(π−3)0+x−11−x
=4−1−1
=2；
(2)(x−1x)÷x2−2x+1x2−x
=x2−1x⋅x2−xx2−2x+1
=(x+1)(x−1)x⋅x(x−1)(x−1)2
=x+1
【解析】(1)原式分别计算负整数指数幂，零指数幂和约分，然后再进行加减运算即可；
(2)先把括号内通分和除法运算转换为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可．
本题主要考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】88 88 90 乙
【解析】解：(1)将乙公司套餐得分相加除以7可得：
乙公司套餐平均数：80+84+86+90+90+92+947=88，
将甲公司套餐得分按从小到大进行排序后，第4个数即为中位数，
则b=88，
在乙公司套餐得分中，90出现的次数最多，为2次，
则其众数为90，
故答案为：88，88，90；
(2)甲公司套餐得分方差为：17×[(70−88)2+⋯(96−88)2]=5147，
乙公司套餐得分方差为：17×[(80−88)2+⋯(94−88)2]=1447，
∵5147>1447，
∴乙公司套餐的得分较稳定；
(3)∵甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，
∴选择乙公司套餐品质较好．
(1)根据平均数，中位数和众数的定义即可得；
(2)先利用方差公式求出方差，再根据方差的意义即可得；
(3)从中位数和方差的意义进行分析即可得．
本题考查了中位数与众数、方差，熟练掌握中位数和方差的意义是解题关键．
18.【答案】(1)60；
(2)证明：由(1)得三角形ABC为等边三角形，
同理可得，△ACD为等边三角形，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AE⊥BC，CF⊥AD，AE//CF，
∵AF//CE，
∴四边形AECF为矩形．
【解析】解：(1)因为四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵AC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=60∘，
故答案为：60；
(2)见答案．
【分析】
(1)根据菱形的性质可得AB=BC，然后根据AB=AC，可得△ABC为等边三角形，继而可得出∠B=60∘；
(2)根据△ABC为等边三角形，同理得出△ACD为等边三角形，然后根据E、F分别是BC、AD的中点，可得AE⊥BC，CF⊥AD，然后根据AF//CE，即可判定四边形AECF为矩形．
本题考查了菱形的性质以及矩形的判定，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，注意掌握矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
19.【答案】5 29
【解析】解：(1)根据两点间距离公式，得：
AB= (3−0)2+(0−4)2= 9+16=5，
故答案为：5；
(2)根据两点间距离公式，得：
EF= (2−4)2+[3−(−2)]2= 4+25= 29，
故答案为： 29；
(3)△ABC是等腰直角三角形；理由如下：
∵A(3,4)，B(0,5)，C(−1,2)，
∴AB= (3−0)2+(4−5)2= 9+1= 10；
BC= (−1−0)2+(2−5)2= 1+9= 10；
AC= (−1−3)2+(2−4)2= 16+4= 20；
∴AB=BC，
∵( 10)2+( 10)2=( 20)2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(1)根据题意，直接套用公式代入即可得答；
(2)根据题意，直接套用公式代入即可得答；
(3)根据两点间距离公式求出△ABC三边长，再判断三角形的形状即可．
本题属于三角形综合题，就主要考查勾股定理的应用及其逆定理的应用，等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
20.【答案】12
【解析】【感知】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF；
【探究】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AB//CD，
即BE//DF，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF；
【应用】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
由【探究】知OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴S△BOE=S△DOE=S△BOF=S△DOF，
∵AB=2AE，
∴S△AOB=2S△AOE=2×1=2，
∴S△BOE=S△AOB+S△AOE=2+1=3，
∴S平行四边形BEDF=4S△BOE=4×3=12，
故答案为：12.
【感知】根据平行四边形的性质可得出AO=CO，AD//BC，于是得出∠EAO=∠FCO，然后利用ASA证得△AOE和△COF全等，即可得出OE=OF；
【探究】根据平行四边形的性质可得出AO=CO，AB//CD，于是得出∠EAO=∠FCO，然后利用ASA证得△AOE和△COF全等，即可得出OE=OF；
【应用】先证四边形BEDF是平行四边形，再求出△AOB的面积，继而求出△BOE的面积，即可得出四边形BEDF的面积．
本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，以及平行四边形的面积的计算，熟练掌握这些知识是解题的关键．
21.【答案】y=−2x+2(−1,4)2
【解析】解：(1)设直线AB的表达式为y=kx+b，
把(1,0)，(0,2)代入，得：
k+b=0b=2，
解得，k=−2b=2，
所以，直线AB的表达式为y=−2x+2；
(2)联立方程组得y=2x+6y=−2x+2，
解得，x=−1y=4，
∴点P的坐标为(−1,4)；
∵A(1,0)；
∴OA=1，
∴S△APO=12OA⋅y|P|=12×1×4=2；
(3)对于y=2x+6，当x=0时，y=6；当y=0时，2x+6=0，
解得，x=−3，
∴C(−3,0)，D(0,6)，
设点E的坐标为(m,2m+6)，
∵P(−1,4)，
∴PE= (−1−m)2+(4−2m−6)2,CE= (−3−m)2+(0−2m−6)2，
∵2PE=CE，
∴4PE2=CE2，
∴4(−1−m)2+4(−2m−2)2=(−3−m)2+(−2m−6)2，
解得，m=−53,m=1(不符合题意，舍去)，
∴m=−53，
∴点E坐标为(−53,83).
(1)利用待定系数法即可得到直线AB的表达式；
(2)通过解方程组即可得到点P的坐标，然后根据三角形面积公式求得△APO的面积；
(3)设点E的坐标为(m,2m+6)，根据2PE=CE列方程求解即可．
本题主要考查了一次函数图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解．
22.【答案】解：(1)设每套剪纸龙进价为x元，则每套泥塑龙的进价为2x元，根据题意得：
15002x=1200x−15，
解得x=30，
经检验，x=30是原方程的解．
∴2x=2×30=60，
答：每套剪纸龙进价为30元，则每套泥塑龙的进价为60元；
(2)设购进泥塑龙至少a套，剪纸龙b套，根据题意得：
60a+30b=1500，
∴b=50−2a，
∵购进剪纸龙的数量不超过泥塑龙的一半，
∴b≤12a，
∴50−2a≤12a，
解得a≥20，
∴购进泥塑龙至少20套；
(3)设利润为y，根据题意得：
y=(90−60)a+(50−30)b
=30a+20b
=30a+20(50−2a)
=30a+1000−40a
=−10a+1000，
∵−10<0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=20，b=50−40=10时，y有最大值，
∴安排购进泥塑龙20套，剪纸龙10套，才能让商场获得最大利润．
【解析】(1)首先设每套剪纸龙进价为x元，则每套泥塑龙的进价为2x元，根据关键语句用1500元购进泥塑龙的数量比用1200元购进剪纸龙的数量少15套列出方程，解方程即可；
(2)首先设购进泥塑龙至少a套，剪纸龙b套，根据用1500元购进剪纸龙和泥塑龙可列方程60a+30b=1500，求出b=50−2a，由购进剪纸龙的数量不超过泥塑龙的一半得50−2a≤12a可求出a的最小值；
(3)设利润为y，得y=(90−60)a+(50−30)b=−10a+1000，根据一次函数的性质可得结论．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出两种龙每套进价，根据购进的龙的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
23.【答案】(1)解：猜想：PE=PB，
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SAS)，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB.
(2)解：(1)中的结论成立．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SAS)，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB.
(3)：①PE=PB，②PE⊥PB.
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)利用三角形全等即可解决问题．
(2)证明△PDC≌△PBC(SAS)，即可解决问题．
(3)如图3所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB.利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】
(1)(2)见答案；
(3)解：如图3所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB.
理由：设PB交EC于J.
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，∠BCD=∠BCE=90∘，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SAS)，
∴PD=PB，∠1=∠2，
∵PE=PD，
∴PE=PB，∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠CJB=∠PJE，
∴∠BCJ=∠JPE=90∘，
∴PB⊥PE，PB=PE.1
2
3
4
5
6
7
甲公司套餐
70
85
86
88
95
96
96
乙公司套餐
80
84
86
90
90
92
94
平均数
中位数
众数
甲公司套餐
88
b
96
乙公司套餐
a
90
c