2023-2024学年河南省南阳市淅川县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市淅川县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中是分式的是( )
A. y3B. y3+xC. 13+yD. 3+y2
2.魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为355113，其与π的误差小于0.00000027.其中0.00000027用科学记数法可表示为( )
A. 2.7×10−7B. 0.27×10−6C. 2.7×10−6D. 2.7×107
3.腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是( )
A. 水，食盐水的浓度B. 水，食盐水
C. 食盐量，食盐水D. 食盐量，食盐水的浓度
4.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形.其依据是( )
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5.若点A(a,3)与B(2,b)关于x轴对称，则点M(a,b)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是( )
A. 平均数是9B. 众数是9C. 中位数是9D. 方差是9
7.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABC中，IJ//KL，EF//GH，∠1=∠2=30∘，∠3的度数为( )
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘
8.如图，在矩形ABCD中，AD=13，AB=5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为( )
A. 12
B. 5
C. 1
D. 3
9.如图所示：点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=AE，Rt△FEG的两直角边EF，EC分别交BC，CD于点M，N.若正方形ABCD的边长为8，则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A. 64
B. 32
C. 16
D. 8
10.如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠ADC=120∘，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为( )
A. 34B. 43C. 32D. 53
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若(x−4)0=1，则x的取值范围是______.
12.如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象交于点P，则方程组2x−y=−bkx−y=3的解是______.
13.学校举行演讲比赛，共有15名同学进入决赛，比赛将评出金奖1名，银奖3名，铜奖4名．某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应当关注的有关成绩的统计量是__________(填“平均数”、“中位数”或“众数”).
14.将一副三角板如图所示摆放在▱ABCD中，已知∠1=30∘，则∠2=______.
15.如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点，将长方形沿AE折叠，点B落在点B′处，当△B′EC是直角三角形时，BE的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)计算：327−(−2024)0+(12)−1；
(2)解方程：2x−3=3x−2.
17.(本小题9分)
先化简，在求值：a2−6a+9a2−2a÷(1−1a−2)，其中3a=2.
18.(本小题9分)
如图所示：直线.y=4x−k与x轴相交于点B，A是直线上一点，过点A，B分别作x轴、y轴的平行线交于点C，已知点C恰好在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半：
(1)求反比例函数y=kx的解析式；
(2)直接写出B点的坐标.
19.(本小题9分)
“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水⋅珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：
A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100)，
下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96.
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a=______，b=______，m=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是多少？
20.(本小题9分)
如图：在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若∠AOE=60∘，AE=4，求AC的长.
21.(本小题10分)
某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元.
(1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，问：分别购进篮球和足球多少个，能使商场获利最大？最大利润是多少？
22.(本小题10分)
【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容.
【方法探究】如图②，在▱ABCD中，点E在边BC上.若BE=2EC，求S△ABE与S△CDE数量关系.
【方法应用】如图③，正方形ABCD的边长为5，点P是正方形内部一点，连结AP、BP.当△ABP是以AB为腰的等腰三角形，且S△ABP=10时，直接写出BP的长.
23.(本小题11分)
如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C(a,4).
(1)求点C的坐标及直线AB的表达式；
(2)如图2，在(1)的条件下，过点E作直线l⊥x轴于点E，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是(4,0).
①求△CGF的面积；
②直线l上是否存在点P，使OP+BP的值最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、y3是整式，故此选项不符合题意；
B、y3+x是整式，故此选项不符合题意；
C、13+y是分式，故此选项符合题意；
D、3+y2是整式，故此选项不符合题意；
故选：C.
一般地，如果A、B(B≠0)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，由此判断即可．
本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．据此可得出结果．
此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定a的值以及n的值是本题的关键．
【解答】
解：0.00000027=2.7×10−7，
故选：A.
3.【答案】D
【解析】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度．
故选：D.
根据对浓度的认识解答本题，水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可．
此题考查的是常量与变量的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知，AD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B.
由题意可知，AD=BC，CD=AB，再由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟记“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵点A(a,3)与B(2,b)关于x轴对称，
∴a=2，b=−3，
∴点M坐标为(2,−3)，在第四象限．
故选：D.
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，从而得到点M的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
6.【答案】D
【解析】解：A、平均数是：150×(2×7+12×8+20×9+16×10)=9，故此选项说法正确；
B、众数是9，故此选项说法正确；
C、中位数是9，故此选项说法正确；
D、方差是：150×[2×(7−9)2+12×(8−9)2+20×(9−9)2+10×(10−9)2]=0.6，故此选项说法错误．
故选：D.
利用加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义即可求解．
本题考查了加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义，理解方差的计算公式是关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90∘，
∴∠1+∠MJG=90∘，∠2+∠MGJ=90∘，
∵∠1=∠2=30∘，
∴∠MJG=∠MGJ=60∘，
∴∠GMJ=180∘−∠MJG−∠MGJ=60∘，
∴∠5=60∘，
∵IJ//KL，EF//GH，
∴四边形NPMO是平行四边形，
∴∠4=∠5=60∘，
∴∠3=∠4=60∘，
故选：D.
首先利用等角的余角相等得到∠MJG=∠MGJ=60∘，然后利用IJ//KL，EF//GH判断出四边形NPMO是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得到∠3=∠4=∠5.
本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∵DE平分∠AEC，
∵∠DEC=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=13，
在直角△ABE中，BE= AE2−AB2= 132−52=12，
∴CE=BC−BE=AD−BE=13−12=1.
故选：C.
根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE=∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，则CE的长即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，正确求得AE的长是关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接BD，如图所示：
∵点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=AE，
∴对角线BD经过点E，
∴ED=EC，∠EDN=∠ECM=45∘，AC⊥BD，
∴∠DEC=90∘，
∴∠DEN+∠NEC=90∘，
∵∠GEF=90∘，
∴∠CEM+∠NEC=90∘，
∴∠DEN=∠CEM，
在△DEN和△CEM中，
∠DEN=∠CEMED=EC∠EDN=∠ECM，
∴△DEN≌△CEM(ASA)，
∴S△DEN=S△CEM，
∴S四边形EMCN=S△CEM+S△ECN=S△DEN+S△ECN=S△ECD，
∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴S△ECD=12S△BCD，S△BCD=12S正方形ABCD，
∴S△ECD=14S正方形ABCD，
即S四边形EMCN=14S正方形ABCD，
∵四边形ABCD为正方形边长为8，
∴S正方形ABCD=64，
∴S四边形EMCN=14×64=16.
故选：C.
连接BD，依题意得对角线BD经过点E，先证明∠DEN=∠CEM，进而可判定△DEN和△CEM中全等，则S△DEN=S△CEM，进而可得S四边形EMCN=S△ECD，然后根据S△ECD=12S△BCD，S△BCD=12S正方形ABCD，得S四边形EMCN=141S正方形ABCD，据此即可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ADB=12∠ADC=60∘，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60∘，
又∵∠ADB=60∘，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，∠ADE=∠BDFAD=BD∠A=∠DBF，
∴△ADE≌△BDF(ASA)，
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC−CF=5−2t，
∴t=5−2t
∴t=53，
故选：D.
连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BC−CF=5−2t求出时间t的值．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出AE=BF.
11.【答案】x≠4
【解析】解：由(x−4)0=1，得
x−4≠0.
解得x≠4，
故答案为：x≠4.
根据非零的零次幂等于1，可得答案．
本题考查了零指数幂，注意零指数幂的底数不能为零．
12.【答案】x=4y=−6
【解析】解：∵点P(4,−6)为函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象的交点，
∴方程组2x−y=−bkx−y=3的解为x=4y=−6.
故答案为x=4y=−6.
利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13.【答案】中位数
【解析】【分析】
根据进入决赛的15名学生所得分数互不相同，所以这15名学生所得分数的中位数即是获奖的学生中的最低分，所以某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数，据此解答即可．
此题主要考查了统计量的选择，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大．
【解答】
解：∵进入决赛的15名学生所得分数互不相同，共有1+3+4=8个奖项，
∴这15名学生所得分数的中位数即是获奖的学生中的最低分，
∴某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数，
如果这名学生的分数大于或等于中位数，则他能获奖，
如果这名学生的分数小于中位数，则他不能获奖．
故答案为：中位数．
14.【答案】75∘
【解析】解：如图，过点E作MN//AB，
∴∠BEN=∠1=30∘，
由题意得：∠3=45∘，
∴∠FEN=180∘−∠3−∠BEN=105∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴MN//CD，
∴∠2=180∘−∠FEN=75∘，
故答案为：75∘.
过点E作MN//AB，先根据平行线的性质可得∠BEN=∠1=30∘，从而可得∠FEN=105∘，再根据平行四边形的性质可得AB//CD，然后根据平行公理推论可得MN//CD，最后根据平行线的性质即可得．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
15.【答案】3或6
【解析】解：当△B′EC为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 36+64=10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90∘，
当△B′EC为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90∘，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图1，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=10−6=4，
设BE=x，则EB′=x，CE=8−x，
在Rt△B′EC中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+42=(8−x)2，
解得x=3，
∴BE=3；
②当点B′落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=6.
综上所述，BE的长为3或6.
故答案为：3或6.
①当点B′落在矩形内部时，连接AC，利用勾股定理可求AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90∘，而当△B′EC为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90∘，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x.
②当点B′落在AD边上时．此时四边形ABEB′为正方形．
本题考查了折叠变换的性质、直角三角形的性质、矩形的性质等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3−1+2
=4；
(2)原方程去分母得：2x−4=3x−9，
解得：x=5，
检验：当x=5时，(x−2)(x−3)≠0，
故原方程的解为x=5.
【解析】(1)利用立方根的定义，零指数幂，负整数指数幂计算即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查实数的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：a2−6a+9a2−2a÷(1−1a−2)
=(a−3)2a(a−2)÷a−3a−2
=(a−3)2a(a−2)⋅a−2a−3
=a−3a
=1−3a，
把 3a=2代入得，原式=1−3a=1−2=−1.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把3a=2代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)在一次函数y=4x−k中，令y=0，则4x−k=0，
解得x=k4，
∵点A的横坐标为点B横坐标的一半，
∴点A的横坐标为k8，
把x=k8代入y=4x−k，
解得y=−k2，
∴A(k8,−k2)，
∴C(k4,−k2)，
∴k4×(−k2)=k，
∵k≠0，
∴k=−8，
∴反比例函数的解析式为y=−8x；
(2)∵C(−2,4)，
∴B点坐标为(−2,0).
【解析】(1)解方程得到x=k4，求得点A的横坐标为k8，把x=k8代入y=4x−k，得到A(k8,−k2)，C(k4,−k2)，解方程即可得到反比例函数的解析式为y=−8x；
(2)根据C(−2,4)，得到B 点坐标为(−2,0).
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，设点C的坐标导出点A、B坐标是关键．
19.【答案】解：(1)30，96，93；
(2)八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；
(3)估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是：1200×6+10×30%20=540(人)，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是540人．
【解析】【分析】
(1)根据扇形统计图以及中位数和众数的定义即可得到结论；
(2)根据八年级的众数高于七年级，得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
(3)利用样本估计总体的思想求解可得．
【解答】
解：(1)∵a%=1−20%−10%−410×100%=30%，
∴a=30，
∵10×(10%+20%)=3，八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5个和第6个数据的平均数，
∴m=92+942=93，
∵七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
∴b=96，
故答案为：30，96，93；
(2)八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；
(3)估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是：1200×6+10×30%20=540(人)，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是540人．
【点评】
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断来解决问题．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=AC，
∴DE=AC.
∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠ADC=90∘，
又∵D为BC中点，
∴CD=BD.
∴CD//AE，CD=AE.
∴四边形AECD是平行四边形，
又∴∠ADC=90∘，
∴四边形ADCE是矩形．
(2)解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO=EO，
∴△AOE为等边三角形，
∴AO=4，
故AC=8.
【解析】(1)根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．
(2)根据∠AOE=60∘和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．
本题考查了矩形的性质与判定，二者相结合是常见的出题方式，要注意灵活运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形中位线定理．
21.【答案】解：(1)设足球的单价是x元，则篮球单价是(x+30)元，
根据题意得：360x=480x+30，
解得：x=90，
经检验，x=90是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=90+30=120.
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
(2)设购进篮球m个，则购进足球(100−m)个，
根据题意得：120m+90(100−m)≤10350，
解得：m≤45.
设购进的两种球全部售出后商场获得的总利润为w元，则w=(150−120)m+(110−90)(100−m)，
即w=10m+2000，
∵10>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=45时，w取得最大值，最大值为10×45+2000=2450，此时100−m=100−45=55.
答：当购进45个篮球，55个足球时，能使商场获利最大，最大利润是2450元．
【解析】(1)设足球的单价是x元，则篮球单价是(x+30)元，利用数量=总价÷单价，结合用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值(即足球的单价)，再将其代入(x+30)中，即可求出篮球的单价；
(2)设购进篮球m个，则购进足球(100−m)个，利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种球全部售出后商场获得的总利润为w元，利用总利润=每个篮球的销售利润×购进篮球的数量+每个足球的销售利润×购进足球的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
22.【答案】【教材呈现】证明：过点A作AE⊥l2于点E，过点D作DF⊥l2于点F，如图所示，
∴AE//DF，
∵l1//l2，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AE=DF，
∵S△ABC=12×BC×AE，S△DBC=12×BC×DF，
∴S△ABC=S△DBC；
【方法探究】解：由教材呈现可知：
∵AD//BC，
∴△ABE与△DEC两底BE，CE上的高相等，
∴S△ABE：S△DEC=BE：CE=2：1，
∴S△ABE=2S△DEC；
【方法应用】解：过点P作PE⊥AB于点E，
∵S△APB=10，AB=5，
∴12AB×PE=10，
∴PE=4，
当AP=AB时，AE= AP2−PE2= 52−42=3，
∴BE=2，
∴PB= PE2+BE2= 22+42=2 5，
当PB=AB时，PB=5.
综上所述，PB的长为5或2 5.
【解析】【教材呈现】只要说明l1与l2之间的距离相等即可；
【方法探究】因为两个三角形的高相等，所以面积之间的数量关系等于两底之比，即可求出；
【方法应用】因为三角形ABP为等腰三角形，所以要分类讨论，即可求出．
本题考查了矩形的判定与性质，两平行线间的距离处处相等，三角形面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些知识点是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把点C(a,4)代入直线y=2x得：a=2，
∴点C坐标为(2,4)，
把A(6,0)，C(2,4)代入y=kx+b得：
6k+b=02k+b=4，
解之得：k=−1b=6，
∴直线AB的表达式为：y=−x+6；
(2)①∵直线l⊥x轴于点E，点E的坐标是(4,0)，
∴点F，G的横坐标都为4，
设点F(4,m)，
把点F(4,m)代入直线y=2x得：m=8，
设点G(4,n)，
把点G(4,n)代入直线y=−x+6得：n=2，
∴点F(4,8)，G(4,2)，
∴EF=8，GE=2，FG=6，
如图，过点C作CH⊥FG于点H，
∵点C坐标为(2,4)，
∴CH=4−2=2，
∴S△FCG=12FG×CH=12×6×2=6，
②存在点P(4,3)，使得OP+BP的值最小，理由如下：
设点O关于直线l的对称点为D(8,0)，
设直线BD的解析式为：y=wx+h，
将B(0,6)，D(8,0)代入y=wx+h得：
h=68w+h=0，
解之得：w=−34h=6，
∴直线BD的表达式为：y=−34x+6，
∵点P在直线：x=4上，
把x=4代入y=−34x+6得：y=3，
∴P(4,3).
【解析】(1)把点C(a,4)代入直线y=2x求出a值，再用待定系数法把A，C两点坐标代入y=kx+b求出k，b即可；
(2)①首先过点C作CH⊥FG于点H，根据垂直于x轴的直线上的所有点的横坐标相同，求出F，G两点的横坐标，再利用待定系数法求出F，G两点的坐标，从而求出FG，利用三角形面积公式求出即可；
②利用轴对称的性质找出点O关于直线BD的对称点D，利用待定系数法求出直线BD的解析式，从而求出点P的坐标．
本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式和求直线与坐标轴围成的图形的面积，解题关键是根据已知条件，求出各条直线上点的坐标．年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
如图①，如果直线l1//l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的.