2023-2024学年广东省茂名市高州市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市高州市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列计算中，正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6
C. (a−2)2=a2+4−4aD. (−2a)3=−6a3
2.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( ).
A. 1，2，6B. 2，2，4C. 1，2，3D. 2，3，4
4.如图，将一块含有45∘角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上.如果∠2=25∘，那么∠1的度数为( )
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘
5.下列说法：
①对顶角相等；
②同位角相等；
③平行于同一条直线的两条直线一定平行；
④在一次考试中，小明遇到一道单项选择题不会做，于是他从A、B、C、D四个选项中随机地选一个答案，则他答对的概率是14.
其中正确的是( )
A. ①③④B. ①②④C. ②③④D. ①②③
6.一辆公共汽车从车站开出，加速一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，发现没多少油了，开到加油站加了油，几分钟后，又开始匀速行驶．下面哪一幅图可以近似的刻画出该汽车在这段时间内的速度变化情况( )
A. B. C. D.
7.如图，下列条件中，能判定AD//BC的是( )
A. ∠C=∠CBE
B. ∠A+∠ADC=180∘
C. ∠ABD=∠CDB
D. ∠A=∠CBE
8.如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O′D′C′得∠AOB=∠A′O′B′，其依据的定理是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
9.若x−y=3，则x2−y2−6y=( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
10.如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过( )秒时，△DEB与△BCA全等．(注：点E与A不重合)
A. 4B. 4、8C. 4、8、12D. 4、12、16
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若an=4，am=2，则an−m=______.
12.一个角的补角比这个角的余角的4倍少60∘，这个角的度数是______(度).
13.若x2+(k−1)x+25是一个完全平方式，则常数k的值为______.
14.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂重物的质量x(kg)有下面的关系，那么弹簧总长y(cm)与所挂重物x(kg)之间的关系式为______.
15.如图，C为线段AE上一动点(不与A、E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③CP=CQ；④∠AOB=60∘，一定成立的有______(填序号).
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：−12022+|−2|+(3.14−π)0−(13)−1；
(2)先化简，再求值：[(2x−y)2−4x(x+y)]÷(−y)，其中x=−1，y=2.
17.(本小题7分)
已知直线l和l外一点P，过点P作l的平行线.要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹.
18.(本小题7分)
某市为了节约用水，采用分段收费标准.若某户居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间关系的图象如图，根据图象回答：
(1)该市自来水收费时，若使用不足5吨，则每吨收费多少元？超过5吨部分每吨收费多少元？
(2)写出每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间关系式.
(3)若某户居民每月用水3.5吨，应交水费多少元？若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？
19.(本小题9分)
初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响.针对这种现象某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”看法，统计整理并制作了如下的统计图：
(1)这次调查的家长总人数为______人，表示“无所谓”的家长人数为______人；
(2)随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是______；
(3)求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数.
20.(本小题9分)
如图①，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.
(1)求证：MN=AM+BN；
(2)如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N(AM>BN)，(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由.
21.(本小题9分)
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是______.
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：
方法1：______；方法2：______.
(3)观察图2，请你写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系是______.
(4)根据(3)中的等量关系解决如下问题：若x+y=6，xy=112，则(x−y)2=______.
22.(本小题12分)
【阅读探究】如图1，已知AB//CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM=45∘，∠CFM=25∘，求∠EMF的度数．
解：过点M作MN//AB，
因为AB//CD，
所以MN//CD，
所以∠EMN=∠AEM=45∘，
∠FMN=∠CFM=25∘，
所以∠EMF=∠EMN+∠FMN=45∘+25∘=70∘，
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图2，已知直线m//n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q.我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB.
(1)由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系．
【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图4所示的样子，并提出了一个问题：
在图4中，AB//CD，∠B=125∘，∠PQC=65∘，∠C=145∘，求∠BPQ的度数．
23.(本小题12分)
在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别是BC，CD上的点，并且EF=BE+FD，试探究图中∠BAE，∠FAD，∠EAF之间的数量关系.
【初步探索】
(1)如图1，∠B=∠ADC=90∘小王同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，由此可得出结论______；
【灵活运用】
(2)如图2，若∠B+∠D=180∘，上述结论是否仍然成立？请说明理由；
【延伸拓展】
(3)如图3，若∠ABC+∠ADC=180∘，点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故此选项不符合题意；
C、(a−2)2=a2−4a+4，故此选项符合题意；
D、(−2a)3=−8a3，故此选项符合题意；
故选：C.
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方运算法则分别计算即可．
本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方，熟练其运算法则是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【解答】
解：A、1+2<6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3>4，能组成三角形，故此选项正确；
故选：D.
4.【答案】B
【解析】解：∵直尺的对边分别平行，∠2=25∘，
∴∠3=∠2=25∘，
∵∠1+∠3=45∘，
∴∠1=45∘−∠3=20∘，
故选：B.
根据平行线的性质得到∠3=∠2=25∘，再根据∠1+∠3=45∘，即可求解．
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：①对顶角相等，故①正确；
②两直线平行，同位角相等，故②错误；
③平行于同一条直线的两条直线一定平行，故③正确；
④在一次考试中，小明遇到一道单项选择题不会做，于是他从A、B、C、D 四个选项中随机地选一个答案，则他答对的概率是14，故④正确；
故选：A.
根据对顶角的性质、平行线的相关性质、概率公式，逐一分析即可求解．
本题考查了对顶角的性质，平行线的相关性质，概率公式，解题的关键是掌握相关的知识．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了用图象表示变量之间的关系．正确分析题意是解题的关键．根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择即可．
【解答】
解：公共汽车经历：加速-匀速-减速到站-加速-匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0.
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合．
故选B.
7.【答案】D
【解析】解：A、∵∠C=∠CBE，∴AB//CD，故本选项错误；
B、∵∠A+∠ADC=180∘，∴AB//CD，故本选项错误；
C、∵∠ABD=∠CDB，∴AB//CD，故本选项错误；
D、∵∠A=∠CBE，∴AD//BC，故本选项正确．
故选：D.
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．平行线的判定定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：两条直线被第三条所内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知，OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△COD和△C′O′D′中，
OC=ODOD=O′D′CD=C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
故选：A.
根据SSS可以判断△COD≌△C′O′D′，进而得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS.
本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】C
【解析】解：∵x−y=3，
∴x2−y2−6y
=(x+y)(x−y)−6y
=3(x+y)−6y
=3x−3y
=3(x−y)
=3×3
=9，
故选C.
先根据平方差公式变形，代入后合并，最后再整体代入即可．
本题考查了平方差公式，求代数式的值的应用，能正确代入是解此题的关键，用了整体代入思想．
10.【答案】D
【解析】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
∵AC=12cm，
∴BE=12cm，
∴AE=24−12=12(cm)，
∴点E的运动时间为12÷3=4(秒)；
②当E在BN上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
∵AC=12cm，
∴BE=12cm，
∴AE=24+12=36(cm)，
∴点E的运动时间为36÷3=12(秒)；
③当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB=24cm，
∴BE=24cm，
∴AE=24+24=48(cm)，
∴点E的运动时间为48÷3=16(秒)，
综上所述t的值为：4，12，16.共3种情况．
故选：D.
首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC=BE和AB=EB，分别进行计算，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，找到所有符合题意的情况是解本题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵an=4，am=2，
∴an−m=an÷am=4÷2=2，
故答案为：2.
根据同底数幂相除，底数不变指数相减即可求解．
本题考查了同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则．
12.【答案】40
【解析】解：设这个角为x，
由题意得，180∘−x=4(90∘−x)−60∘，
解得x=40∘.
故答案为：40.
设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90∘，则这两个角互余；若两个角的和等于180∘，则这两个角互补．
13.【答案】11或−9
【解析】解：∵x2+(k−1)x+25是一个完全平方式，
∴(k−1)x=±2x⋅5，
解得：k=11或−9，
故答案为：11或−9.
根据完全平方式得出(k−1)x=±2x⋅5，再求出即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2，a2−2ab+b2.
14.【答案】y=12+0.5x
【解析】解：由题意可知：弹簧原长为12，重物质量每增加1kg，弹簧则增加0.5cm，
当重物质量为xkg时，弹簧长度为y=12+0.5x，
故答案为：y=12+0.5x.
由表知，重物质量每增加1kg，弹簧则增加0.5cm，由此找到规律即可求得弹簧总长y(cm)与所挂重物x(kg)之间的关系式．
本题考查了求两个变量间的关系式，根据规律：重物质量每增加1千克，弹簧则增加0.5cm，是解决问题的关键．
15.【答案】①②③⑤
【解析】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠BCD=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴∠ACP=∠BCQ=60∘，
在△ACP和△BCQ中，
∠CAP=∠CBQ∠ACP=∠BCQAC=BC，
∴△ACP≌△BCQ(AAS)，
∴CP=CQ，结论③正确；
又∵∠PCQ=60∘，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60∘，
∴PQ//AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠AEO，
∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60∘，结论⑤正确．
没有条件证出BO=OE，④错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故答案是：①②③⑤．
①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE；
③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP=CQ，③正确；
②根据∠PCQ=60∘，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC=∠DCE=60∘，得出PQ//AE，②正确；
④没有条件证出BO=OE，得出④错误；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60∘，⑤正确；即可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)−12022+|−2|+(3.14−π)0−(13)−1
=−1+2+1−3
=−1；
(2)[(2x−y)2−4x(x+y)]÷(−y)
=[4x2−4xy+y2−(4x2+4xy)]÷(−y)
=(4x2−4xy+y2−4x2−4xy)÷(−y)
=(y2−8xy)÷(−y)
=8x−y，
当x=−1，y=2时，原式=8×(−1)−2=−10.
【解析】(1)先算乘方、绝对值，再算加减即可；
(2)根据整式的混合运算法则化简，再代入值计算即可．
本题考查了有理数的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握相关的运算法则．
17.【答案】解：如图，直线PM即为所求．

【解析】作一个角等于已知角的步骤．过点P作直线EF交直线l于E，再作∠EPM=∠EFG，直线PM即为所求．
此题主要考查了尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线，解答此题的关键是熟练掌握基本尺规作图．
18.【答案】解：(1)使用不足5吨：10÷5=2(元)，
超过5吨部分每吨收费：(20.5−10)÷(8−5)=3.5(元)，
∴若使用不足5吨，则每吨收费2元，超过5吨部分每吨收费3.5元；
(2)当0≤x≤5时，y=2x，
当x>5时，y=10+3.5(x−5)=3.5x−7.5，
∴y=2x(0≤x≤5)3.5x−7.5(x>5)；
(3)∵3.5<5，
∴每月用水3.5吨，应交水费：2×3.5=7(元)；
∵17>10，
∴用水量超过5吨，
∴3.5x−7.5=17，
解得：x=7，
∴若某月交水费17元，该户居民用水7吨．
【解析】(1)根据图象列式计算即可；
(2)分为两种情况：当0≤x≤5时，当x>5时，结合图象即可求解；
(3)根据(2)中的解析式计算即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是数形结合．
19.【答案】20040110
【解析】解：(1)这次调查的家长总人数为：50÷25%=200(人)，
表示“无所谓”的家长人数为：200×20%=40(人).
故答案为：200，40；
(2)“很赞同”的家长人数为：200−90−50−40=20(人)，
抽到“很赞同”的家长的概率是20÷200=110.
故答案为：110；
(3)“不赞同”的扇形的圆心角度数为：90200×360∘=162∘.
(1)用“赞同”的家长数除以对应的百分比就是调查的家长总人数，用调查的家长总人数乘“无所谓”的家长百分比就是“无所谓”的家长人数．
(2)用总人数减去“赞同”“不赞同”“无所谓”的家长人数就是“很赞同”的家长人数，“很赞同”的家长人数除以总数就是概率．
(3)“不赞同”的扇形的圆心角度数=“不赞同”的扇形的百分比乘360∘.
本题主要考查了概率公式，条形统计图和扇形统计图，解题的关键是把条形统计图和扇形统计图的数据相结合求解．
20.【答案】证明：(1)∵AM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，
∴∠AMC=∠CNB=90∘，
∴∠MAC+∠ACM=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACM+∠NCB=90∘，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中，
∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCBAC=BC，
∴△ACM≌△CBN(AAS)，
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=MC+CN=AM+BN；
(2)(1)中的结论不成立，MN与AM、BN之间的数量关系为MN=AM−BN.理由如下：
∵AM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，
∴∠AMC=∠CNB=90∘，
∴∠MAC+∠ACM=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACM+∠NCB=90∘，
∴∠MAC=∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCBAC=BC，
∴△ACM≌△CBN(AAS)，
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=CN−CM=AM−BN.
【解析】(1)先根据垂直的定义得到∠AMC=∠CNB=90∘，则∠MAC+∠ACM=90∘，又∠ACB=90∘，则∠ACM+∠NCB=90∘，于是根据等量代换得到∠MAC=∠NCB，根据“AAS”可证明△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM=CN，CM=BN，则MN=MC+CN=AM+BN；
(2)与(1)证明方法一样可得到△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM=CN，CM=BN，而MN=CN−CM=AM−BN.
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
21.【答案】(1)a−b
(2)(a−b)2，(a+b)2−4ab
(3)(a−b)2=(a+b)2−4ab
(4)14
【解析】解：(1)由拼图可得，图2中阴影部分的正方形的边长为a−b，
故答案为：a−b；
(2)方法一：阴影部分是边长为a−b的正方形，因此面积为(a−b)2，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长a，宽为b的长方形面积，即(a+b)2−4ab；
故答案为：(a−b)2，(a+b)2−4ab；
(3)由(2)得，(a−b)2=(a+b)2−4ab，
故答案为：(a−b)2=(a+b)2−4ab；
(4)∵x+y=6，xy=112，(x−y)2=(x+y)2−4xy，
∴(x−y)2=(x+y)2−4xy
=36−22
=14，
故答案为：14.
(1)由拼图可直接得出答案；
(2)一方面阴影部分是边长为a−b的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为a+b的正方形面积中减去4个长为a，宽为b的长方形面积即可；
(3)由(2)两种方法所表示的面积相等可得答案；
(4)由(3)的结论代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
22.【答案】解：【方法运用】
(1)∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由如下，
如图2，过点P作PE//OA，则PE//BQ，
所以∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE，
因为∠OPQ=∠OPE+∠QPE，
所以∠OPQ=∠AOP+∠BQP.
(2)∠OPQ=∠ORQ；
理由如下：
由(1)得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ，
同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ，
因为入射角等于反射角，
所以∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，
所以∠OPQ=∠ORQ.
【应用拓展】
如图4，过点P作PM//AB，过点Q作QN//AB，则AB//PM//QN//CD，
所以∠ABP+∠BPM=180∘，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180∘，
因为∠B=125∘，∠C=145∘，
所以∠BPM=180∘−125∘=55∘，∠CQN=180∘−145∘=35∘，
因为∠PQC=65∘，
所以∠PQN=∠PQC−∠CQN=65∘−35∘=30∘，
因为MP//QN，
所以∠QPM=∠PQN=30∘，
所以∠BPQ=∠BPM+∠QPM=55∘+30∘=85∘.
【解析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
【方法运用】(1)过点P作PE//OA，则PE//BQ，由平行线的性质求得∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE，即可得到结果；
(2)由(1)得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ，∠DOR+∠CQR=∠ORQ，然后结合入射角等于反射角，即可得到结果；
【应用拓展】过点P作PM//AB，过点Q作QN//AB，则AB//PM//QN//CD，由平行线的性质得到∠ABP+∠BPM=180∘，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180∘，然后借助已知条件依次求出∠BPM，∠CQN，∠PQN，∠QPM，最后得到∠BPQ的度数．
23.【答案】∠BAE+∠FAD=∠EAF
【解析】解：(1)如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，则GF=DG+FD=BE+FD，
∵EF=BE+FD，
∴GF=EF，
∵∠B=∠ADC=90∘，
∴∠ADG=∠B=90∘，
在△ADG和△ABE中，
AD=AB∠ADG=∠BDG=BE，
∴△ADG≌△ABE(SAS)，
∴∠DAG=∠BAE，AG=AE，
在△AGF和△AEF中，
AG=AEGF=EFAF=AF，
∴△AGF≌△AEF(SSS)，
∴∠GAF=∠EAF，
∵∠GAF=∠DAG+∠FAD=∠BAE+∠FAD，
∴∠BAE+∠FAD=∠EAF，
故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF.
(2)成立，
理由：如图2，延长FD到点G，使DH=BE，连接AG，则HF=DH+FD=BE+FD，
∵EF=BE+FD，
∴HF=EF，
∵∠ADH+∠ADC=180∘，∠B+∠ADC=180∘，
∴∠ADH=∠B，
在△ADH和△ABE中，
AD=AB∠ADH=∠BDH=BE，
∴△ADH≌△ABE(SAS)，
∴∠DAH=∠BAE，AH=AE，
在△AHF和△AEF中，
AH=AEHF=EFAF=AF，
∴△AHF≌△AEF(SSS)，
∴∠HAF=∠EAF，
∵∠HAF=∠DAH+∠FAD=∠BAE+∠FAD，
∴∠BAE+∠FAD=∠EAF.
(3)∠EAF=180∘−∠DAB，
证明：如图3，延长DC到点L，使DL=BE，连接AL，
∵LF=DL+FD=BE+FD，EF=BE+FD，
∴LF=EF，
∵∠ABC+∠ADC=180∘，∠ABC+∠ABE=180∘，
∴∠ADC=∠ABE，
在△ADL和△ABE中，
AD=AB∠ADL=∠ABEDL=BE，
∴△ADL≌△ABE(SAS)，
∴∠DAL=∠BAE，AL=AE，
在△AFL和△AEF中，
LF=EFAL=AEAF=AF，
∴△AFL≌△AEF(SSS)，
∴∠LAF=∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠DAF+∠DAL=∠LAF=∠EAF，
∵∠EAF+∠DAF+∠BAE+∠DAB=360∘，
∴∠EAF+∠EAF+∠DAB=360∘，
∴∠EAF=180∘−12∠DAB.
(1)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，则GF=DG+FD=BE+FD=EF，而AD=AB，∠ADG=∠B=90∘，可根据“SAS“证明△ADG≌△ABE，得∠DAG=∠BAE，AG=AE，再根据“SSS”证明△AGF≌△AEF，得∠GAF=∠EAF，即可证明∠BAE+∠FAD=∠EAF，于是得到问题的答案；
(2)延长FD到点G，使DH=BE，连接AG，则HF=DH+FD=BE+FD=EF，可证明∠ADH=∠B，进而证明△ADH≌△ABE，得∠DAH=∠BAE，AH=AE，再证明△AHF≌△AEF，得∠HAF=∠EAF，即可证明∠BAE+∠FAD=∠EAF；
(3)延长DC到点L，使DL=BE，连接AL，则LF=DL+FD=BE+FD=EF，再证明∠ADC=∠ABE，而AD=AB，可证明△ADL≌△ABE，得∠DAL=∠BAE，AL=AE，再证明△AFL≌△AEF，得∠LAF=∠EAF，而∠DAF+∠BAE=∠DAF+∠DAL=∠LAF=∠EAF，则∠EAF+∠EAF+∠DAB=360∘，所以∠EAF=180∘−12∠DAB.
此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．x(kg)
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