2023-2024学年广东省广州大学附中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州大学附中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 13C. a2D. 53
2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 6，8，10B. 9，12，15C. 2，3，4D. 2， 3， 5
3.用配方法解方程x2−4x−9=0时，原方程应变形为( )
A. (x−2)2=13B. (x−2)2=11C. (x−4)2=11D. (x−4)2=13
4.若点(3,y1)和(−1,y2)都在一次函数y=−2x+5的图象上，则y1与y2大小关系是( )
A. y1y2D. 无法确定
5.下列命题，其中是真命题的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
6.如图，▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，则对角线AC的长为( )
A. 27cm
B. 17cm
C. 12cm
D. 10cm
7.某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是( )
A. 2.7(1+x)2=2.36B. 2.36(1+x)2=2.7
C. 2.7(1−x)2=2.36D. 2.36(1−x)2=2.7
8.已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 甲每分钟走100米B. 甲比乙提前3分钟到达B地
C. 两分钟后乙每分钟走50米D. 当x=2或6时，甲乙两人相距100米
9.已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c.下列结论错误的是( )
A. 若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B. 若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C. 若5是方程M的一个根，则15是方程N的一个根
D. 若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x=1
10.如图，在△ABC和△AED中，AC交DE于点F，∠BAC=∠EAD，AB=AC，AE=AD，连接BE、CD、CE，延长DE交BC于点G，下列四个命题或结论：
①BE=CD；
②若∠BEG=∠CDF，则∠AEB=90∘；
③在②的条件下，则BG=CG；
④在②的条件下，当AE=CD时，BG= 2，则△DEC的面积是1.
其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数y= x−1中自变量x的取值范围是______.
12.计算： 48÷ 3=______.
13.小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是90分、80分、80分.若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分.
14.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，BC=6，则AC的长是______.
15.如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(1,2)，则关于x的不等式kx+b<2x的解集是______.
16.如图，在矩形ABCD中，已知AB=8，BC=12，点O，P分别是边AB，AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：x(2x−1)=4x−2.
18.(本小题8分)
已知，如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.求证：四边形DEBF是平行四边形．
19.(本小题8分)
某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次参加跳绳测试的学生人数为______，图①中m的值为______；
(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生有多少人？
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=4.
(1)尺规作图：作AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的基础上，连接BD，求BD的长度．
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−2x+2k−1=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两根分别是x1、x2，且x2x1+x1x2=x1⋅x2，试求k的值．
22.(本小题8分)
小冬在某网店选中A，B两款玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如表：
(1)第一次小冬用550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
23.(本小题8分)
如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0,−1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1.
(1)点D的坐标是(______)，直线BD的解析式是______；
(2)连接AC，求△ACD的面积.
(3)点P是直线BD上一点(不与点D重合)，设点P的横坐标为m，△ADP的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式.
24.(本小题8分)
我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”.设BC=a，AC=b，AB=c.特例探索：
(1)①如图1，∠ABE=45，c=2 2时，a=______；
②如图2，当∠ABE=30∘，c=4时，a=______，b=______；
(2)已知EPPB=FPPA=EFAB，请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
(3)如图4，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2 5，AB=3.求AF的长.
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，点B(m,0)，以AB为腰作等腰Rt△ABC，如图所示．
(1)若S△ABC的值为5平方单位，求m的值；
(2)BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求ADCE的值；
(3)连接OC，当OC+AC最小时，求点C的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 12= 4×3=2 3，不是最简二次根式；
B、 13是最简二次根式；
C、 a2=|a|，不是最简二次根式；
D、 53，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：B.
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】C
【解析】解：A.∵62+82=102，
∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵92+122=152，
∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵( 2)2+( 3)2=( 5)2，
∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C.
先求出两小边的平方的和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵x2−4x=9，
∴x2−4x+4=9+4，即(x−2)2=13，
故选：A.
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：当x=3时，y1=−2×3+5=−1；
当x=−1时，y2=−2×(−1)+5=7.
∵−1<7，
∴y1故选：A.
利用一次函数图象上点的坐标特征可分别求出y1，y2的值，比较后即可得出结论(利用一次函数的性质解决问题亦可).
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项是假命题，本选项不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项是假命题，本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以C选项是假命题，本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．
故选：D.
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．
本题考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，
∴AB+BC=15cm，AB+BC+AC=27cm，
∴AC=12cm，
故选：C.
由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意得2.36(1+x)2=2.7.
故选：B.
利用2022年间每年人均可支配收入=2020年间每年人均可支配收入×(1+每年人均可支配收入的增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由图象可得，
甲每分钟走：600÷6=100(米)，故选项A说法正确；
(500−300)÷(6−2)=50(米/分钟)，
乙到达B地用的时间为：2+(600−300)÷50=2+300÷50=2+6=8(分钟)，则甲比乙提前8−6=2(分钟)，故选项B说法错误；
两分钟后乙每分钟走：(500−300)÷(6−2)=200÷4=50(米)，故选项C说法正确；
当x=2时，甲乙相距300−100×2=300−200=100(米)，当x=6时，甲乙相距600−500=100(米)，故选项D说法正确；
故选：B.
选项A根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断该选项是否正确；
选项B根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断该选项是否正确；
选项C根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是500−300=200(米)，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断该选项是否正确；
选项D根据图象，可以分别计算出x=2和x=6时，甲乙两人的距离，从而可以判断该选项是否正确
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】D
【解析】解：A、∵方程M有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=0，
∵方程N的Δ=b2−4ac=0，
∴方程N也有两个相等的实数根，故不符合题意；
B、∵方程M的两根符号相同，
∴ca<0，且b2−4ac>0，
∴ac>0，且b2−4ac>0，
∴方程N也有一个正根和一个负根，故不符合题意；
C、∵把x=5代入ax2+bx+c=0得：25a+5b+c=0，
∴125c+15b+a=0，
∴15是方程N的一个根，故不符合题意；
D、∵方程M和方程N有一个相同的根，
∴ax2+bx+c=cx2+bx+a，
∴(a−c)x2=a−c，
∵a≠c，
∴x2=1，
∴x=±1，
即这个根可能是x=±1；故符合题意．
故选：D.
A、一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则Δ=b2−4ac=0，对于方程cx2+bx+a=0，Δ=b2−4ac=0，则方程N也有两个相等的实数根；
B、利用ac<0和根的判别式进行判断即可；
C、把x=5代入ax2+bx+c=0得：25a+5b+c=0，等式的两边同除以25得到125c+15b+a=0，于是得到15是方程N的一个根，无法得到5是方程N的一个根；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是x=±1.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解．
10.【答案】D
【解析】解：①∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAE，
即∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAE中，
AB=AC∠BAE=∠CAEAE=AD，
∴△BAE≌△CAE(SAS)，
∴BE=CD，
故结论①正确；
②∵AE=AD，如图1所示：
∴∠2=∠1，
∵∠BEG=∠CDF，
∴∠2+∠BEG=∠1+∠CDF，
即∠2+∠BEG=∠ADC，
∵△BAE≌△CAE，
∴∠AEB=∠ADC，
∴∠AEB=∠2+∠BEG，
又∵∠AEB+∠2+∠BEG=180∘，
∴∠AEB=90∘，
故结论②正确；
③过点C作CH//BE角EG的延长线于H，连接BH，如图2所示：
∵CH//BE，
∴∠BEG=∠CHG，
∵∠BEG=∠CDF，
∴∠CHG=∠CDF，
即∠CHD=∠CDH，
∴CH=CD，
由结论①正确可知：BE=CD，
∴CH=BE，
又∵CH//BE，
∴四边形BECH为平行四边形，
∴BG=CG，
故结论③正确；
④连接AG，分别过点A，C，A作DG的垂线，垂足分别为M，K，N，如图3所示：
由结论①正确可知：BE=CD，
又∵AE=CD，
∴BE=AE，
由结论②正确可知：∠AEB=90∘，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE=45∘，
由结论③正确可知：BG=CG，
∴AB=AC，
∴AG⊥BC，∠BAG=12∠BAC，
∵AE=AD，AN⊥DE，
∴∠EAN=12∠EAD，EN=DN，
∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAG=∠EAN，
∵∠2+∠EAN=90∘，
∴∠2+∠BAG=90∘，
∵∠AEB=90∘，
∴∠2+∠BEM=90∘，
∴∠BEM=∠BAG=∠EAN，
∵BM⊥DM，AG⊥BC，
∴∠BEM+∠MBE=90∘，∠BAG+∠ABG=90∘，
∴∠MBE=∠ABG，
即∠EBG+∠MBG=∠ABE+∠EBG，
∴∠MBG=∠ABE=45∘，
∴△MBG为等腰直角三角形，
∴MB=MG，∠MGB=45∘，
在Rt△MBG中，BG= 2，
由勾股定理得：MB2+MG2=BG2，
即2MB2=( 2)2，
∴MB=1，
∵∠CGK=∠MGB=45∘，CK⊥DG，
∵△CKG为等腰直角三角形，
又∵BG=CG= 2，
同理：由勾股定理，得：CK=1，
在△BEM和△EAN中，
∠M=∠ANE=90∘∠BEM=∠EANBE=AE，
∴△BEM≌△EAN，
∴BM=EN=1，
∴EN=DN=1，
∴DE=2，
∴S△DEC=12DE⋅CK=12×2×1=1，
故结论④正确．
综上所述：正确的结论是①②③④，共有4个．
故选：D.
①先证∠BAE=∠CAE，进而可依据“SAS”判定△BAE和△CAE全等，然后根据全等三角形的性质可对结论①进行判断；
②先证∠2+∠BEG=∠ADC，再根据△BAE≌△CAE得∠AEB=∠ADC，进而可得∠AEB=∠2+∠BEG，然后根据平角的定义得∠AEB+∠2+∠BEG=180∘，据此可求出∠AEB的度数，继而可对结论②进行判断；
③过点C作CH//BE角EG的延长线于H，连接BH，先证∠CHD=∠CDH，进而得CH=CD，再根据结论①正确得BE=CD，由此可判定四边形BECH为平行四边形，然后根据平行四边形的性质可对结论③进行判断；
④连接AG，分别过点A，C，A作DG的垂线，垂足分别为M，K，N，先证∠ABE=45∘，再证∠BEM=∠BAG=∠EAN，进而证△MBG为等腰直角三角形，由此可求出MB=1，然后证△CKG为等腰直角三角形，由此求出CK=1，最后证△BEM和△EAN全等得BM=EN=1，由此可求出DE=2，据此可求出△DEC的面积，继而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
11.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得：x−1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1.
根据二次根式 a(a≥0)可得x−1≥0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：原式= 48÷3= 16=4.
故答案为：4.
根据二次根式的除法法则求解．
本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的除法法则．
13.【答案】83
【解析】解：根据题意得：90×3+80×4+80×33+4+3=83(分).
故小明的最终比赛成绩为83分．
故答案为：83.
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=12AB，
∵CD=5，
∴AB=10，
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8，
故答案为：8.
先利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度，然后利用勾股定理即可求解．
本题主要考查直角三角形斜边中线的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边中线的性质和勾股定理是解题的关键．
15.【答案】x>1
【解析】解：∵函数y=kx+b(k<0)和y=2x的图象相交于点A(1,2)，
根据题意得，当x>1时，kx+b<2x.
故答案为：x>1.
利用函数图象，找出正比例函数y=2x的图象在一次函数y=kx+b(k≠0)上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16.【答案】4 10−2 13
【解析】解：如图，连接EO、PO、OC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠OAP=90∘，
在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，
∴OC== 42+122=4 10，
在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，
∴OP= 42+62=2 13，
∵OE=OC=4 10，PE≥OE−OP，
∴PE的最小值为4 10−2 13.
故答案为：4 10−2 13.
如图，连接EO、PO、OC.根据三边关系，PE≥OE−OP，求出OE，OP即可解决问题．
本题考查了翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．
17.【答案】解：x(2x−1)=4x−2，
即x(2x−1)−2(2x−1)=0，
∴(x−2)(2x−1)=0，
解得：x1=2,x2=12.
【解析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：∵连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，进而得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证．
19.【答案】(Ⅰ)5010
(Ⅱ)平均数是：150(10×2+5×3+25×4+10×5)=3.7(分)，
众数是：4分；中位数是：4分；
(Ⅲ)该校九年级跳绳测试中得3分的学生有1200×10%=120(人).
答：该校九年级跳绳测试中得3分的学生有120人．
【解析】【分析】
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
(Ⅰ)求得条形图中各组人数的和即可求得跳绳的学生人数，利用百分比的意义求得m；
(Ⅱ)利用加权平均数公式求得平均数，然后利用众数、中位数的定义求解；
(Ⅲ)利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】
解：(Ⅰ)本次参加跳绳的学生人数是10+5+25+10=50(人)，
m=100×550=10.
故答案是：50，10；
(Ⅱ)(Ⅲ)见答案.
20.【答案】解：(1)如图所示：直线DE是AB的垂直平分线；
(2)∵直线DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
设BD=x，则AD=x，CD=8−x，
由勾股定理得：BD2=CD2+BC2，
∴x2=(8−x)2+42，
解得：x=5，
∴BD=5.
【解析】(1)分别以A，B为圆心，任意长为半径画弧，交于M和N两点，作直线MN交AD于D，交AB于E，直线DE即为所求；
(2)先根据垂直平分线的性质得：AD=BD，设BD=x，借助勾股定理列出关于x的方程，通过解方程即可求得x的值，从而得到BD的长．
本题考查作图-线段的垂直平分线、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)解：∵原方程有实数根，
∴b2−4ac≥0，
∴(−2)2−4(2k−1)≥0
∴k≤1；
(2)∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
x1+x2 =2，x1 ⋅x2 =2k−1，
又∵x2x1+x1x2=x1⋅x2，
∴x12+x22x1⋅x2=x1⋅x2，
∴(x1+x2)2−2x1 x2 =(x1 ⋅x2)2，
∴22−2(2k−1)=(2k−1)2 ，
解之，得：k1= 52,k2=− 52.经检验，都符合原分式方程的根，
∵k≤1，
∴k=− 52.
【解析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
(1)根据一元二次方程x2−2x+2k−1=0有两个不相等的实数根得到Δ=(−2)2−4(2k−1)≥0，求出k的取值范围即可；
(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可．
22.【答案】解：(1)设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进(30−x)个，由题意得：
20x+15(30−x)=550，
解得：x=20，
30−20=10(个).
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
(2)设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进(45−a)个，获利y元，由题意得：
y=(28−20)a+(20−15)(45−a)=3a+225，
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
∴a≤12(45−a)，
∴a≤15，
∵y=3a+225，
∴k=3>0，
∴y随a的增大而增大．
∴a=15时，y最大=3×15+225=270(元)，
∴B款玩偶为：45−15=30(个).
答：按照A款玩偶购进15个、B款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
(2)根据题意，可以写出利润与购进A中玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得到A中玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
23.【答案】(1,2)y=3x−1
【解析】解：(1)将x=1代入函数y=x+1得D点纵坐标为2，
将点B(0,−1)；D(1,2)，代入y=kx+b得：
k+b=2b=−1
解得k=3b=−1，
故解析式为：y=3x−1，
故答案为：(1,2)；y=3x−1；
(2)
如图：点A的坐标为(0,1)，AB=1+1=2，点C的坐标为(13,0)，
∴S△ACD=S△ABD−S△ABC=2×1×12−2×13×12=1−13=23；
(3)①如图，点P在BD之间：
S△APD=S△ABD−S△ABP=2×1×12−2×m×12=1−m(0≤m<1)；
②点P在B点下方，如图：
S△APD=S△ABD+S△ABP=2×1×12+2×(−m)×12=1−m(m<0)；
③点P在D点的上面
S△APD=S△ABP−S△ABD=2×m×12−2×1×12=m−1；
综上所述：S=1−m(m<1)m−1(m>1).
(1)根据D点横坐标及y=x+1得出纵坐标进而得出D点坐标；最后通过两点坐标得出一次函数解析式；
(2)根据各点坐标即三角形面积公式即可求出；
(3)分情况讨论，利用图形面积的和差以及三角形的面积公式列式求解即可．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的图形的面积的求解，会分割图形面积是关键．
24.【答案】2 5 2 13 2 7
【解析】解：(1)①由题可得EF即为△ABC的中位线，
∴EF//AB，且EF=12AB，
当∠ABE=45∘,c=2 2时，
∵∠APB=90∘，
∴PA=PB=2，
∵EF//AB，∠ABE=45∘，
∴∠FEP=∠ABE=45∘，
∵EF=12AB，
∴EF= 2，
∴PF=PE=1，
在Rt△PFB中，FB= 1+22= 5，
∵AF是△ABC的中线，
∴a=2FB=2 5，
故答案为：2 5；
②当∠ABE=30∘，c=4时，
PA=2,PB=2 3，
同理可得PF=1,PE= 3，
在Rt△PFB和Rt△PEA中，
FB= 1+(2 3)2= 13,EA= ( 3)2+22= 7，
∴a=2FB=2 13,b=2EA=2 7，
故答案为：2 13；2 7；
(2)猜想a2，b2，c2三者之间的关系是：a2+b2=5c2.
证明：如图3，连接EF，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF//AB，且EF=12AB=12c.
∴PEPB=PFPA=EFAB=12.
设PF=m，PE=n，则AP=2m，PB=2n，
在Rt△APB中，(2m)2+(2n)2=c2①；
在Rt△APE中，(2m)2+n2=(b2)2②；
在Rt△BPF中，m2+(2n)2=(a2)2③；
由①，得m2+n2=c24.
由②+③，得5(m2+n2)=(a2+b2)4.
∴a2+b2=5c2.
(3)设AF，BE交于点P.取AB的中点H，连接FH，AC.如图4，
∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点，
∴EG//AC//FH.
又∵BE⊥EG，
∴FH⊥BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC=2 5，
∴AE=BF= 5,AE//BF，
∴AP=FP，
∴△ABF是“中垂三角形”，
∴AB2+AF2=5BF2，
即32+AF2=5( 5)2，
∴AF=4.
(1)①由题可得EF即为△ABC的中位线，即EF//AB，且EF=12AB，由题意可得PA=PB=2，继而可知∠FEP=∠ABE=45∘，则EF= 2，那么PF=PE=1，利用勾股定理可求得FB，结合中线的性质即可求得a=2FB；
②由题意得PA=2,PB=2 3，同理可得PF=1,PE= 3，利用勾股定理可求得FB，EA，结合中线的性质即可求得a=2FB，b=2EA；
(2)连接EF，由已知可知PE与PB、PF与PA的比例关系，设PF=m，PE=n，由此可得AP、PB的长，依次将线段长代入Rt△APB、Rt△APE和Rt△BPF中，即可求解；
(3)由题可知，BE⊥EG，设AF、BE交于点P，取AB的中点H，连接FH、AC，结合平行四边形的性质可证得△ABF为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解．
本题属于主要考查了三角形中位线的判定以及性质、平行四边形的判定以及性质和勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，利用数形结合的断想解决问题．
25.【答案】解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴S△ABC=12AB2，
∴AB2=10，
∵AO2+BO2=AB2，
∴9+BO2=10，
∴BO=1，
∵点B在x轴的负半轴，
∴m=−1；
(2)如图2，延长CE，AB交于点H，
∵y轴平分∠BAC，
∴∠CAE=∠HAE，
在△AEH和△AEC中，
∠CAE=∠HAEAE=AE∠AEC=∠AEH=90∘，
∴△AEH≌△AEC(ASA)，
∴HE=EC，
∴CH=2EC，
∵∠H+∠HAE=90∘，∠H+∠HCB=90∘，
∴∠HAE=∠HCE，
又∵AB=BC，∠ABC=∠CBH=90∘，
∴△ABD≌△CBH(ASA)，
∴AD=CH=2CE，
∴ADCE=2；
(3)如图3，过点C作CP⊥x轴于P，
∵∠ABO+∠CBP=90∘，∠ABO+∠BAO=90∘，
∴∠BAO=∠CBP，
又∵∠AOB=∠BPC=90∘，AB=BC，
∴△ABO≌△BCP(AAS)，
∴BO=CP=−m，AO=BP=3，
∴OP=m+3，
∴点C坐标为(m+3,m)，
∴点C在直线y=x−3上运动，
如图，直线y=x−3与x轴交于点K，与y轴交于点M，过点O作MK的对称点N，连接ON交直线MK于点F，连接AN交MK于点C′，即点C′为所求点，
∴点M(0,−3)，点N(3,0)，
∴OM=OK，
∵点O，点N关于直线MK对称，
∴OF⊥MK，OF=FN，
∴点F(32,−32)，
∴点N(3,−3)，
∴直线AN解析式为：y=−2x+3，
联立方程组y=−2x+3y=x−3，
解得x=2y=−1，
∴点C坐标为(2,−1).
【解析】(1)由三角形的面积公式可得AB2=10，由勾股定理可求解；
(2)延长CE，AB交于点H，由“ASA”可证△AEH≌△AEC，可得HE=EC，由“ASA”可证△ABD≌△CBH，可得AD=CH=2CE，可求解；
(3)先求出点C的运动轨迹，由一次函数的性质可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．A款玩偶
B款玩偶
进货价(元/个)
20
15
销售价(元/个)
28
20