2025届高考数学一轮复习专练12 对数与对数函数（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)已知x,y为正实数,则( )
A.lg(x2y)=(lg x)2+lg y
B.lg (xy)=lg x+12lg y
C.eln x+ln y=x+y
D.eln x-ln y=xy
【解析】选B.x,y为正实数,lg(x2y)=lg x2+lg y=2lg x+lg y,故A错误;lg(xy)=lg x+lg y=lg x+12lg y,故B正确;eln x+ln y=eln x·eln y=xy,故C,D错误.
2.(5分)函数f(x)=lg0.5(2x-1)的定义域为( )
A.(12,1]B.[12,1)
C. (-∞,12]D.[1,+∞)
【解析】选A.由题意,要使函数f(x)=lg0.5(2x-1)有意义,则满足lg0.5(2x-1)≥0,所以00,且a≠1)的反函数是f(x)=lgax,
又f(2)=1,即lga2=1,所以a=2.故f(x)=lg2x.
4.(5分)设a=14lg213,b=(12)0.3,则有( )
A.a+b>abB.a+b1),成立,故A正确;
当x∈(0,+∞)时,x+1∈(1,+∞),又a>1,所以f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1),由复合函数单调性可知,当x∈(0,+∞)时,f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1)单调递增,故B错误;
当x∈[-12,1]时,x+1∈[12,2],
所以f(x)=|lga(x+1)|≥lga1=0,故C正确;当x∈[1,2]时,f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1)≥1恒成立,所以由函数为增函数知lga2≥1,解得10,解得x2,
因为f(μ)=lg5μ在其定义域上单调递增,
又μ=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以y=f(x2-2x)的单调递减区间是(-∞,0).
答案:(-∞,0)
9.(10分)设f(x)=lg2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=lg212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的最大值.
【解析】(1)因为f(x)=lg2(ax-bx),
且f(1)=1,f(2)=lg212,
所以lg2(a-b)=1,lg2(a2-b2)=lg212,
即a-b=2,a2-b2=12,解得a=4,b=2.
(2)由(1)得f(x)=lg2(4x-2x),
令t=4x-2x,
则t=4x-2x=(2x-12)2-14,
因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4,
所以94≤(2x-12)2≤494,即2≤t≤12,
因为y=lg2t在[2,12]上单调递增,
所以ymax=lg212=2+lg23,
即函数f(x)的最大值为2+lg23.
【能力提升练】
10.(5分)若实数x,y,z互不相等,且满足2x=3y=lg4z,则( )
A.z>x>yB.z>y>x
C.x>y,x>zD.z>x,z>y
【解析】选D.设2x=3y=lg4z=k>0,
则x=lg2k,y=lg3k,z=4k,
根据指数、对数函数图象易得4k>lg2k,4k>lg3k,即z>x,z>y.
11.(5分)(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)=x+1x-2,x∈(2,8),当x=m时,f(x)有最小值n.则在平面直角坐标系中,函数g(x)=lg1m|x+n|的图象是( )
【解析】选A.因为x∈(2,8),所以x-2>0,
所以f(x)=x-2+1x-2+2
≥2(x-2)·1x-2+2=4,
当且仅当x-2=1x-2,
即x=3时取等号,所以m=3,n=4.
则函数g(x)=lg13|x+4|的图象在(-4,+∞)上单调递减,在(-∞,-4)上单调递增,观察选项可知,A符合.
12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则( )
A.f(ln 2)=ln 52
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(0,+∞)上单调递增
D.f(x)的最小值为ln 2
【解析】选ACD.f(ln 2)=ln(e2ln 2+1)-ln 2=ln 52,A正确;
f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex
=lne2x+1ex=ln(ex+e-x),
所以f(-x)=ln(ex+e-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,B错误;
当x>0时,y=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,因此y=ln(ex+e-x)在(0,+∞)上单调递增,C正确;
由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,
所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(0)=ln 2,D正确.
13.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a